МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ


Кафедра высшей математики


Контрольная работа по курсу

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Вариант 5
Проверил: Выполнил:

Ф.И.О. преподавателя Ст. гр. № __________

Ф.И.О.________________


Минск 2023

Задание1. Вычислить предел функции по правилу Лопиталя.



Решение

Пусть функции f и g определены и непрерывны в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки . Если существует предел , то в целях устранения неопределенности или можно взять две производные – от числителя и знаменателя. При этом значение предела не изменится. Предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.

Подставим и получим неопределенность вида .

Найдем обе производные, от числителя и знаменателя.

;

_.

Применим правило Лопиталя и получим:



_Ответ:
Задание2. Вычислить все частные производные второго порядка указанных функций.

_.

Решение

Найдем частные производные первого порядка функции z:

При нахождении

---

считаем аргумент y постоянным:

.

При нахождении считаем аргумент x постоянным:



.

Найдем вторые и смешанную частную производную функции z:

Для того, чтобы найти дифференцируем по x:

.

Для того, чтобы найти дифференцируем по y:



.

Для того, чтобы найти дифференцируем по у:



.

Ответ: ;

;

.
Задание3. Вычислить.

, если

Решение

Для вычисления данной частной производной, необходимо сначала продифференцировать функцию по y, затем 2 раза по z, а затем по x.

При нахождении считаем аргументы z и x постоянными:



.

При нахождении считаем аргументы y и x постоянными:

---

.

При нахождении считаем аргументы y и x постоянными:



.

При нахождении считаем аргументы y и z постоянными:



.

Ответ: .

Задание4. Вычислить неопределенные интегралы:

_а) ; б) .

Решение

а)

Выражение подведем под знак дифференциала, т.е.:

_.

.

_б)

К данному интегралу применим метод интегрирования по частям:





К полученному интегралу применим метод интегрирования по частям:





.

Получим:

.

Ответ: а) ;

б) .
Задание5. Вычислить определенные интегралы:

---

а) ; б) .

Решение

а) Применяем универсальную тригонометрическую подстановку:

_{; ; ; ; .}





Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:



Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие слева и справа должны совпадать:







.





.

б)

Введем замену: , тогда , .



.

Ответ: а) ;

б) .
Задание6. Найти общее решение дифференциального уравнения:

---

Решение



Сделаем замену: , , .

Получим:





Первое решение x=0.

Делим обе части на .









Проинтегрируем:











Учитывая, что , получим: ,

,

,

.

Ответ: ; x=0.
Задание7. Решить задачу Коши при начальном условии :

, .

Решение

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно y, и оно имеет вид: .

Решение будем искать в виде произведения двух функций , где и - неизвестные функции от переменной x. Тогда

---

Смотрите также файлы

• 1. Раскройте понятие объективного вменения.doc

• Примечание y.pdf

• Рассказу Рэя Брэдбери Каникулы.doc

• Самостоятельная работа по теме 1 Цель занятия закрепление знаний о психологических основах творческой деятельности детей, формирование умения применять их.docx

• Руководитель практики от профильной организации.docx