Файл: Выявление систематических погрешностей.pdf

РОСЖЕЛДОР
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(ФГБОУ ВПО РГУПС)
Г.В. Рядченко, М.А. Буракова, В.А. Бондаренко
ВЫЯВЛЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие к практическим занятиям
Ростов-на-Дону
2015

2
УДК 389(07) + 06
Рецензент – кандидат технических наук, доцент А.В. Костюков
Рядченко, Г.В.
Выявление систематических погрешностей: учебно-методическое пособие к практическим занятиям / Г.В. Рядченко, М.А. Буракова, В.А. Бондаренко;
ФГБОУ ВПО РГУПС. – Ростов н/Д, 2015. – 16 с. – Библиогр.: с. 15.
Учебно-методическое пособие предназначено для проведения практиче- ских работ по дисциплине «Метрология, стандартизация, сертификация». При- ведена методика решения задач по выявлению систематических погрешностей при проведении измерений, а также варианты индивидуальных заданий для вы- полнения самостоятельных работ.
Предназначено для студентов 3-го курса всех форм обучения по направ- лениям подготовки 23.05.03 – «Подвижной состав железных дорог», 13.03.02 –
«Электроэнергетика и электротехника», 08.03.01 – «Строительство», изучаю- щих дисциплины «Метрология, стандартизация и сертификация» и «Основы метрологии, стандартизации, сертификации и контроля качества».
Одобрено к изданию кафедрой «Основы проектирования машин».
Рядченко Г.В., Буракова М.А.,
Бондаренко В.А., 2015
ФГБОУ ВПО РГУПС, 2015

3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Цель работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1 Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2 Основы дисперсионного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Пример решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 4 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Закрепление теоретических и привитие практических знаний в области расчѐта систематических погрешностей измерения методом дисперсионного анализа.
1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Погрешность результата измерения – это отклонение результата изме- рения от истинного (действительного) значения измеряемой величины.
Истинное значение величины неизвестно, его применяют только в теоре- тических исследованиях [1]. На практике используют действительное значение величины х
д
. Тогда погрешность измерения Δх
изм определяется по формуле:
Δх
изм
= х
изм
– х
д
,
(1) где х
изм
– измеренное значение величины.
По способу выражения погрешности измерений можно разделить на аб- солютные и относительные.
Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины и определяется по формуле (1).
Относительная погрешность выражается отношением абсолютной по- грешности измерения к действительному или измеренному значению измеряе- мой величины. Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений:
δ =
x
x
; δ =
x
x
1 0 0 % ,
(2) где Δх – абсолютная погрешность измерений;
х – действительное или измеренное значение величины.
По характеру проявления погрешности делятся на систематические и случайные.
Систематическая погрешность измерения – это составляющая погреш- ности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменя- ющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.
В зависимости от характера изменения систематические погрешности подраз- деляют на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменя- ющиеся по сложному закону. Систематические погрешности должны быть определены и исключены из результатов измерений введением поправки – ве- личины, равной по абсолютному значению систематической погрешности и противоположной ей по знаку.
Случайная погрешность измерения – это составляющая погрешности ре- зультата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и тоже физической величины.
Характеристиками систематических погрешностей являются: значение
(для постоянной погрешности), функция определения (для переменной по- грешности).

5
Случайные погрешности можно описать:
– вероятностными характеристиками;
– распределением (плотностью распределения) вероятностей;
– числовыми (точечными) характеристиками;
– интервальной характеристикой.
2 ОСНОВЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА
Для проверки наличия систематических погрешностей используется дис- персионный анализ. Основная его идея заключается в разложении суммарной дисперсии на две величины: дисперсию, обусловленную техникой измерения, и дисперсию, вызванную действием изучаемого фактора.
Рассмотрим простейшую схему дисперсионного анализа, применяемую при проверке гипотезы о влиянии фактора
A
на результаты экспериментов.
Пусть даны результаты измерений, разделенные на k серий:
1 2
1 1 1 2 1 3 1
2 1 2 2 2 3 2
1 2
3
,
,
, ...,
,
,
, ...,
,
,
, ...,
k
n
n
k
k
k
k n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Таким образом, всего произведено
1
k
i
i
N
n
опытов, результаты которых мы обозначим
x
с двумя индексами, обозначающими: первый – номер группы, а второй – номер опыта в соответствующей группе. Мы предполагаем, что по наблюдениям каждой группы представляют выборку из нормальной совокуп- ности; дисперсия этих совокупностей
2
предполагается одинаковой, не зави- сящей от номера группы. Это предположение будет играть очень существен- ную роль, и потребует проверки приемом, описанным, например в [2]. Обозна- чая через
i
a
центр i-й совокупности, можно положить:
'
i
i
i
x
a
x
,
(3) где
i
x
– случайные отклонения в каждом индивидуальном опыте.
Изменение «существенных» компонент
i
a
в разложении (3) будет отра- жать влияние факторов: каждому варианту
i
A
отвечают соответствующие зна- чения
i
a
. Для того, чтобы обнаружить влияние этих факторов, мы «построим» нулевую гипотезу:
1 2
c o n s t
k
a
a
a
a
, как раз основанную на отрицании этого влияния.
Пусть
i
x
– среднее арифметическое i-й выборки
1
i
n
i
i
i
x
x
n
. Для каждого
i
(
i
= 1, 2 , …,
k
) можно написать соотношение:

6 2
2 2
1 1
)
)
(
)
(
(
i
i
n
n
i
i
i
i
i
i
i
x
a
x
x
n
x
a
(4)
Суммируя соотношения, подобные (2) при всех
i
, получим:
2 2
2 1
1 1
1 1
)
)
(
)
(
(
i
i
n
n
k
k
k
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
a
x
x
n x
a
(5)
Первая из сумм правой части (5) по теории сложения для
2
– распреде- ления будет распределена, как
2 2
с
N
k
(
1
k
i
i
N
n
) степенями свободы, то- гда как вторая распределяется по тому же закону с
k
степенями свободы – оба члена представляют независимые друг от друга величины. Каждое из слагае- мых, поделенное на соответствующее число степеней свободы, может рассмат- риваться как оценка параметра
2
Полагая
2 2
1 1
)
(
i
n
k
i
i
i
r
s
x
x
N
k
,
(6) мы будем иметь несмещенную оценку
2
, основанную лишь на колебаниях внутри каждой из выборок и не зависящую от величины центров
1 2
,
, ...,
k
a
a
a
от- дельных совокупностей.
Полагая
2 2
1
(
)
1
k
i
i
i
a
n
x
x
s
k
,
(7) мы будем иметь оценку
2
, распределенную по закону
2
и основанную на ко- лебаниях средних в выборках около общего среднего. Она не зависит от
2
r
s
, ос- нованной на колебаниях индивидуальных значений внутри каждой серии около отвечающих им средних.
Тогда при нашем предположении отношение
2 2
a
r
s
F
s
(8) имеет
F
– распределение с
1
k
и
N
k
степенями свободы. Если гипотеза не- верна, то величина
2
a
s
будет больше
2
и отношение
2 2
a
r
s
s
будет стремиться зна- чительно превзойти единицу. Это обстоятельство позволяет установить нали- чие систематических погрешностей в результатах измерений [3].
Рассмотренная нами простейшая схема дисперсионного анализа пред- ставлена в табл. 1.

7
Таблица 1 – Простейшая схема дисперсионного анализа
Вариация
Соответствующая сумма квадратов
Число степеней свободы
Оценка дисперсии
Между выборками
2 1
(
)
k
i
i
i
n
x
x
1
k
2
a
s
Внутри выборок
2 1
1
)
(
i
n
k
i
i
i
x
x
1
k
i
i
n
k
N
k
2
r
s
Общая
2 1
1
)
(
i
n
k
i
i
x
x
1
N
Схему вычисления запишем в виде таблицы (см. табл. 2).
Таблица 2 – Вычислительная схема дисперсионного анализа
№
вы борок
Наблюдения
Чи сло на блю де ни й
Суммы
Суммы квадратов
Квадраты сумм, от- несѐнные к числу наблюде- ний в группе
Суммы квадратов отклонений
Число сте- пеней сво- боды
1 1
1 1 1 2 1
,
, ...,
n
x
x
x
1
n
1 1
1
n
x
1 2
1 1
n
x
1 2
1 1
1
n
x
n
1 2
1 1
1
)
(
n
x
x
1 1
n
2 2
2 1 2 2 2
,
, ...,
n
x
x
x
2
n
2 2
1
n
x
2 2
2 1
n
x
2 2
2 1
2
n
x
n
2 2
2 2
1
)
(
n
x
x
2 1
n
….
….
….
….
….
….
….
….
k
1 2
,
, ...,
k
k
k
k n
x
x
x
k
n
1
k
n
k
x
2 1
k
n
k
x
2 1
k
n
k
k
x
n
2 1
)
(
k
n
k
k
x
x
1
k
n
Общий итог
N
1 1
i
n
k
i
i
x
2 1
1
i
n
k
i
i
x
2 1
1
i
n
i
k
i
i
n
x
2 1
1
)
(
i
n
k
i
i
i
x
x
N
k

8
Вычисление сумм, характеризующих вариации между выборками и внут- ри их, происходит по формулам, в которых использованы итоговые данные таблицы:
2 2
1 1
(
)
(
)
i
n
k
r
i
i
i
N
k
x
x
s
,
(9)
2 2
1 1
1 2
2 1
1 1)
(
)
(
i
i
n
n
k
i
i
k
k
i
a
i
i
i
i
i
x
x
s
k
n
x
x
n
N
(10)
Для проверки можно использовать соотношение:
2 2
2 1
1
)
(
)
(
1)
(
i
n
k
i
r
a
i
x
x
s
N
k
s
k
(11)
Если нулевая гипотеза подтвердилась, оценим дисперсию
2
с помощью несмещенной оценки
2 0
s
по совокупности всех наблюдений:
2 2
1 1
0
)
1 1
(
i
n
k
i
i
x
x
Q
s
N
N
(12)
Для оценки
a
при этом мы используем
x
и можем построить довери- тельный интервал, пользуясь распределением Стьюдента для:
0
x
a
t
s
N
(13) с
(
1)
N
степенями свободы.
Если же зависимость от факторов обнаружена (нулевая гипотеза не под- твердилась), то возможно оценить «существенные» компоненты
i
a
с помощью
i
x
, воспользовавшись опять отношением Стьюдента
i
i
i
r
i
x
a
t
s
n
(14) с
(
)
N
k
степенями свободы при любом i.
Таким образом, для каждого a
i
мы можем построить доверительный ин- тервал. В некоторых случаях представляет интерес оценить разность
i
j
a
a
меж- ду центрами двух групп; c этой целью обычно используют критерий Стьюдента
(
)
(
)
1 1
i
j
i
j
r
i
j
x
x
a
a
t
s
n
n
(15) с
(
)
N
k
степенями свободы.

9
3 ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Пусть известны данные об отклонениях показаний в микрометрах по об- щепринятому критерию
c k
H
чистоты поверхности четырех различных моделей профилометров от показаний образцового профилометра при поверке поверх- ности 7-го класса чистоты. В табл. 3 приведены данные, полученные в резуль- тате четырех повторных проверок одной и той же поверхности с помощью каждого из четырех приборов.
Таблица 3 – Результаты четырех повторных проверок поверхности
№ повторных измерений
Номера и модели приборов
1
КВ
2
ПИ5 3
ПИ5/6 4
ПИ6 1
–0,21
+0,16
+0,10
+0,12 2
–0,06
+0,08
–0,07
–0,04 3
–0,17
+0,03
+0,15
–0,02 4
–0,14
+0,11
–0,05
+0,11
Дисперсии во всех четырех сериях предполагаются одинаковыми. Требу- ется проверить гипотезу об однородности ряда средних
1 2
3 4
a
a
a
a
, ины- ми словами, требуется проверить предположение об отсутствии существенных систематических погрешностей у приборов. Данную задачу решим по изложен- ной выше методике. Для удобства и наглядности вычислений расположим наши данные в табл. 4 и табл. 5.
Таблица 4 – Транспонированная таблица результатов измерений
№ при- боров по порядку
Наблюденные значения в сотых долях микрометра
1
i
x
2
i
x
3
i
x
4
i
x
1
i
n
i
x
2 1
i
n
i
x
1
–21
–6
–17
–14
–58 962 2
16 8
3 11 38 450 3
10
–7 15
–5 13 399 4
12
–4
–2 11 17 285 1
k
i
17
–9
–1 3
10 2096

10
Таблица 5 – Сводные результаты дисперсионного анализа
№ прибо- ров по порядку
i
n
1
i
n
i
x
2 1
i
n
i
x
2 1
i
n
i
x
2 1
i
n
i
i
x
n
2 1
)
(
i
n
i
i
x
x
i
f
i
x
1 4
–58 962 3364 841 121 3
–14,5 2
4 38 450 1444 361 89 3
9,5 3
4 13 399 169 42,25 356,75 3
3,25 4
4 17 285 289 72,25 212,75 3
4,25 1
1
i
n
k
i
16 10 2096 5266 1316,5 779,5 12 2,5
Вычисляем по формулам (9) и (10) суммы, характеризующие вариации, используя итоговые данные табл. 5.
2 2
1 1
(
)
(
)
7 7 9 , 5
i
n
k
r
i
i
i
s
N
k
x
x
,
2 2
2 1
1 1
2 2
1 1
1 0
(
1)
(
)
1 3 1 6 , 5 1 3 1 0 , 2 5 1 6
i
i
n
n
k
i
i
k
k
i
a
i
i
i
i
i
s
k
n
x
x
n
N
x
x
С целью проверки вычислений определяем еще, следуя (11), сумму
2 2
1 1
1 0
)
2 0 9 6 2 0 8 9 , 7 5 1 6
(
i
n
k
i
i
x
x
и убеждаемся, что 2089,75 = 779,5 + 1310,25, откуда следует, что вычисления сделаны верно.
Определяем теперь критерий
F
согласно (8):
2 2
1 3 1 0 , 2 5 1 2 6 , 7 .
7 7 9 , 5 3
a
r
s
F
s
При числах степеней свободы
1 3
k
и
(
)
1 6 4
1 2
N
k
соответствен- но для
2
a
s
и
2
r
s
по табл. 7 находим
0 , 0 5 3 , 4 9
F
и
0 , 0 1 5 , 9 5
F
, мы же получили из наблюдений
6 , 7
F
Таким образом,
q
F
F
и с высокой степенью достоверности гипотезу об однородности ряда средних, т. е. предположение об отсутствии систематиче- ских погрешностей у приборов, следует отвергнуть на основании проведенных наблюдений.

11
Построим теперь доверительные интервалы для систематических по- грешностей
i
a
приборов. Задаваясь уровнем значимости
0 , 0 5 1 0 0
q
, мы по таб- лице 8 находим для
(
)
1 6 4
1 2
N
k
степеней свободы пятипроцентный пре- дел
5 ,1 2 2 , 1 7 9
t
, откуда, пользуясь (9) и (14), находим:
2 7 7 9 , 5 6 4 , 9 6 1 2
r
s
,
6 4 , 9 6 8 , 0 6
r
s
и
1 8 , 0 6 8 , 0 6 1 4 , 5 2 , 1 7 9 1 4 , 5 2 , 1 7 9 4
4
a
,
1 2 3, 3 5 , 7
a
и аналогично
2 0 , 7 1 8 , 3
a
,
3 5 , 5 5 1 2 , 0 5
a
,
4 4 , 5 5 1 3, 0 5
a
Мы видим, что прибор КВ имеет отрицательную систематическую погрешность, которая оценивается 95 %-ными доверительными границами от
–0,23 до –0,06; наименьшую систематическую погрешность имеет прибор
ПИ5/6; она лежит в пределах от –0,06 до –0,12 мкм.
Если принять прибор ПИ5/6 за образцовый, то систематическая состав- ляющая отклонений прибора ПИ6 от его показаний может быть оценена на ос- нове (15) следующим доверительным интервалом:
4 3
1 1
1 1
1 2 , 1 7 9 8 , 0 6 1
2 , 1 7 9 8 , 0 6 4
4 4
4
a
a
или
4 3
0 , 1 1 м к м
0 ,1 3 м к м
a
a
Таким образом, между систематическими составляющими этих приборов в действительности отсутствует какое-либо различие.

12
4 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1 Что называется погрешностью результата измерения?
2 Какое значение принимают за истинное при измерениях: а) однократ- ном; б) многократном?
3 Дайте определение погрешности: а) абсолютной; б) относительной; в) систематической; г) случайной.
4 Какими могут быть систематические погрешности по характеру изме- нения во времени?
5 Какими характеристиками можно описать случайные погрешности?
5 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Варианты 1–9
Решить задачу, рассмотренную в примере, используя данные табл. 6.
Варианты 10–24
При сличении показаний грузопоршневых барометров различных типов с показаниями эталонного ртутного барометра были получены следующие дан- ные об отклонениях в кгс (см. табл. 6). Полагая, что дисперсии в каждой из се- рии измерений однородны, требуется проверить предположение об отсутствии существенных систематических погрешностей у приборов и оценить эти по- грешности с доверительной вероятностью
0 , 9 5
P
Таблица 6 – Наблюденные значения в сотых долях единицы измеряемой величины
Номер повтор- ных из- мерений
Номер варианта
1 2
3
Номера приборов
I
II
III
I
II
III
IV
I
II III IV V
1
–6 4
4 3
4
–1 2
5 2
–1 2 4
2
–7
–1 2
5 1
1
–2 –3 4 6
3
–3 3
–4 2
–1 2
–2 2
3 6
–2 4 2
4 4
1 5
6
–1 2
1 4
7 5
3 4
5
Номер повтор- ных из- мерений
Номер варианта
4 5
6
Номера приборов
I
II
III
I
II
III
IV
I
II III IV V
1
–6 3
–4 2
–1 3
3 2
3 3
2 1
2
–4
–1 2
4 2
2
–1 –3 1 2
–1 –3 3
2 5
1 2
–1
–1 2
1 3
2
–3 3 4
2 3
–2 3
3
–2 3
2
–1 –2 2 2
5
–3
–2 2
–2
–2 1
–1 3
2 1
3
–3