Файл: Б. М. Верников Уральский федеральный университет.pdf

§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук,
кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Неприводимые многочлены (определение)
В арифметике немаловажную роль играет то обстоятельство, что произвольное натуральное число, отличное от 1, можно разложить на простые множители
, т. е. представить, причем единственным образом, в виде произведения простых чисел. Аналог этого факта имеет место и в теории многочленов. Это находит многочисленные применения как в алгебре, так и за ее пределами (в частности, в математическом анализе).
Прежде чем формулировать и доказывать соответствующий факт, дадим необходимое определение и докажем один вспомогательный факт.
Определение
Ненулевой многочлен f над кольцом R называется неприводимым
, если он необратим в кольце R[x] и его нельзя представить в виде произведения двух многочленов из R[x], степень каждого из которых меньше степени f .
Как мы увидим ниже, неприводимые многочлены как раз и являются аналогом простых чисел.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Неприводимые многочлены (свойство)
Предложение о неприводимых многочленах
Если f — неприводимый многочлен над полем F и f делит произведение некоторых многочленов g и h над F , то f делит один из этих двух многочленов.
Доказательство.
Если g = o или h = o, то доказывать нечего. Пусть теперь g , h 6= o. Положим d = НОД(g , f ). Тогда f = dq для некоторого многочлена q. В силу неприводимости f один из многочленов d и q обратим. Если обратим многочлен d , то он ассоциирован с 1 (так как dd
−1
= 1 и 1 · d = d ). Следовательно, 1 является НОД g и f , т. е. эти два многочлена взаимно просты. В силу п.
2)
предложения о взаимно простых многочленах (см. § 18) f делит h. Предположим теперь, что обратим многочлен q. Тогда qr = 1 для некоторого многочлена r . Следовательно,
fr
= dqr = d . Далее, из построения многочлена d вытекает, что g = ds для некоторого многочлена s. Следовательно, g = frs, т. е. f делит g .
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители (1)
Перейдем к утверждению, упоминавшемуся в начале параграфа.
Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители
Всякий ненулевой многочлен f над полем F представим в виде f
= αg
1
g
2
· · · g n
,
(1)
где α ∈ F , а g
1
,
g
2
, . . . ,
g n
— неприводимые над F многочлены со старшим членом
1. Это представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей в правой части равенства
Доказательство. Существование.
Пусть f ∈ F [x] и f 6= o. Докажем, что f представим в виде (1). Если f обратим в F [x], то, в силу замечания о необратимых многочленах (см. § 18), f ∈ F . Но тогда f имеет вид (1), где
α
= f , а n = 0. Будем далее считать, что f необратим. Если f неприводим над F , то он также представим в виде (1), где, на этот раз, α = lc(f ),
n
= 1 и g
1
=
1
α
· f
. Пусть, наконец, f приводим, т. е. f = gh, где g и h необратимы в F [x]. Из замечания о необратимых многочленах (см. § 18)
вытекает, что deg g , deg h > 1. Поскольку deg f = deg g + deg h, получаем,
что deg g , deg h < deg f . Мы доказали, что если многочлен f приводим, то его можно разложить в произведение необратимых многочленов g и h,
степени которых меньше степени f .
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители (2)
Если какой-то из многочленов g и h приводим, представим его в виде произведения необратимых многочленов меньшей степени. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока среди получаемых многочленов будут встречаться приводимые. Поскольку на каждом шаге степени новых многочленов уменьшаются, через конечное число шагов этот процесс орборвется, и мы представим наш многочлен как произведение неприводимых мнгогочленов.
Единственность.
Пусть f = αg
1
· · · g n
= βh
1
· · · h m
, где α, β ∈ F , а g
1
, . . . ,
g n
,
h
1
, . . . ,
h m
— неприводимые над F многочлены со старшим коэффициентом 1. Ясно, что lc(αg
1
· · · g n
) = α и lc(βh
1
· · · h m
) = β.
Отсюда вытекает, что α = β, и потому αg
1
· · · g n
= αh
1
· · · h m
. Разделив обе части последнего равенства на α, получим g
1
· · · g n
= h
1
· · · h m
Докажем, что каждый из многочленов g
1
, . . . ,
g n
совпадает с одним из многочленов h
1
, . . . ,
h m
. Пусть 1 6 i 6 n. Многочлен g i
делит многочлен h
1
· · · h m
. В силу предложения о неприводимых многочленах g
1
делит h j
для некоторого 1 6 j 6 m, т. е. h j
= wg i
для некоторого многочлена w . В
частности, deg h j
= deg w + deg g i
. Если deg w > 0, то deg g i
<
degh j
. Но многочлен h j
неприводим, и потому его нельзя представить как произведение двух многочленов меньшей степени. Следовательно,
deg w 6 0, т. е. w ∈ F . Поскольку lc(h j
) = w · lc(g i
) = w · 1 = w , получаем,
что w = 1, и потому h j
= g i
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители (3)
Не ограничивая общности, можно считать, что g
1
= h
1
(в противном случае можно переставить сомножители в произведении h
1
· · · h m
). Кроме того, без ограничения общности будем считать, что n 6 m. Если n
= m = 1, то все доказано. Случай, когда n = 1, а m > 1, невозможен,
так как в этом случае deg h
1
· · · h m
>
deg h
1
= deg g
1
вопреки равенству g
1
= h
1
· · · h m
. Пусть теперь n > 1. Тогда g
1
g
2
· · · g n
= g
1
h
2
· · · h m
, откуда g
1
(g
2
· · · g n
− h
2
· · · h m
) = o. Если g
2
· · · g n
− h
2
· · · h m
6
= o, то deg g
1
(g
2
· · · g n
− h
2
· · · h m
)
> deg g
1
>
0 вопреки равенству g
1
(g
2
· · · g n
− h
2
· · · h m
) = o. Следовательно, g
2
· · · g n
= h
2
· · · h m
Рассуждая так же, как в начале доказательства единственности, получаем,
что g
2
= h j
для некоторого 2 6 j 6 m. Без ограничения общности можно считать, что g
2
= h
2
. Если m = n = 2, то все доказано. Случай, когда n
= 2, а m > 2, невозможен, так как в этом случае deg h
2
· · · h m
>
deg h
2
= deg g
2
вопреки равенству g
2
= h
2
· · · h m
. Пусть теперь n > 2. Тогда g
2
g
3
· · · g n
= g
2
h
3
· · · h m
, откуда g
2
(g
3
· · · g n
− h
3
· · · h m
) = o. Как и в предыдущем параграфе, отсюда выводится, что g
3
· · · g n
= h
3
· · · h m
. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим, что g i
= h i
для всех i = 1, 2, . . . , n. Если n = m, то все доказано. Если же n < m, то g
1
· · · g n
= g
1
· · · g n
h n+1
· · · h m
. Но это невозможно, так как deg(g
1
· · · g n
h n+1
· · · h m
) > deg(g
1
· · · g n
).
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Кратность неприводимого множителя
В силу теоремы о разложении многочлена на неприводимые множители произвольный многочлен f над полем F единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей) представим в виде f
= αp k
1 1
p k
2 2
· · · p k
m m
,
(2)
где α ∈ F , а p
1
,
p
2
, . . . ,
p m
— попарно различные неприводимые над полем
F
многочлены со старшим членом 1.
Определение
Если выполнено равенство (2), то многочлены p
1
,
p
2
, . . . ,
p m
называются неприводимыми множителями многочлена f , а число k i
(где 1 ≤ i ≤ m) —
кратностью неприводимого множителя p i
Поскольку степень произведения многочленов над полем равна сумме степеней сомножителей, выполнено равенство deg f =
m
X
i =1
k i
deg p i
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Производная многочлена (1)
Определение
Пусть f (x) = α
n x
n
+ α
n−1
x n−1
+ · · · + α
n
— многочлен над кольцом R.
Если n > 0, то производной многочлена f (x) называется многочлен nα
n x
n−1
+ (n − 1)α
n−1
x n−2
+ · · · + α
1
, обозначаемый через f
′
(x). Если n
= 0 (т. е. f (x) ∈ R), то, по определению, f
′
(x) = o.
В случае многочленов над полем R производная многочлена во введенном только что смысле совпадает с производной многочлена как функции от одной переменной в смысле математического анализа.
Лемма о свойствах производной
Если f
(x) и g (x) — многочлены над кольцом R, α ∈ R, а m — натуральное число такое, что m >
1, то:
1)
(αf )
′
= αf
′
,
2)
(f + g )
′
= f
′
+ g
′
,
3)
(fg )
′
= f
′
g
+ fg
′
,
4)
(f m
)
′
= mf m−1
f
′
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Производная многочлена (2)
Доказательство.
Свойства
1)
и
2)
непосредственно вытекают из определений суммы многочленов, умножения многочлена на константу и производной многочлена.
3)
В силу свойств
1)
и
2)
свойство
3)
достаточно доказать в случае, когда f
(x) = x n
, а g (x) = x m
для некоторых n и m. В самом деле, в этом случае
(fg )
′
= (x n+m
)
′
= (n + m)x n+m−1
,
f
′
g
= nx n−1
· x m
= nx n+m−1
,
и fg
′
= x n
· mx m−1
= mx n+m−1
Следовательно, f
′
g
+ g
′
f
= (n + m)x n+m−1
= (fg )
′
4)
Докажем это свойство индукцией по m. Если m = 2, то, используя свойство
3)
, имеем (f m
)
′
= (f · f )
′
= f
′
f
+ ff
′
= 2ff
′
. Это доказывает базу индукции. Чтобы доказать шаг индукции, предположим, что m > 2.
Используя предположение индукции и свойство
3)
, имеем
(f m
)
′
= (f m−1
f
)
′
= (f m−1
)
′
f
+ f m−1
f
′
=
= (m − 1)f m−2
f
′
f
+ f m−1
f
′
=
= (m − 1)f m−1
f
′
+ f m−1
f
′
= mf m−1
f
′
Это завершает доказательство.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Неприводимые множители многочлена и его производной (1)
Лемма о неприводимом многочлене и его производной
Если p — неприводимый многочлен над полем F , то
НОД(p, p
′
) = 1.
Доказательство.
Положим d = НОД(p, p
′
). Тогда p = dq и p
′
= dr для некоторых многочленов q и r . Если deg q = 0, то deg p = deg dq = deg d + deg q = deg d ≤ deg p
′
= deg p − 1.
Полученное противоречие показывает, что deg q 6= 0. Поскольку многочлен p
неприводим и p = dq, отсюда вытекает, что deg d = 0, т. е. d ∈ F .
Следовательно, d ассоциирован с 1. Учитывая замечание о многочленах,
ассоциированных с НОД (см. § 18), мы получаем, что НОД(p, p
′
) = 1.
Предложение о неприводимых множителях многочлена и его производной
Пусть f — многочлен над полем F характеристики
0, а p — неприводимый множитель многочлена f кратности k. Если k
= 1, то p не делит f
′
. Если k >
1, то p является неприводимым множителем многочлена f
′
кратности k −
1.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Неприводимые множители многочлена и его производной (2)
Доказательство.
Обозначим через g произведение всех неприводимых множителей многочлена f , отличных от p, и старшего члена многочлена f
. Тогда f = p k
g и НОД(p, g ) = 1. В силу леммы о неприводимом многочлене и его производной НОД(p, p
′
) = 1. Из п.
3)
предложения о взаимно простых многочленах (см. § 18) вытекает теперь, что
НОД(p, p
′
g
) = 1. В частности, p не делит p
′
g
. Если k = 1, то f = pg , и потому f
′
= (pg )
′
= p
′
g
+ pg
′
. Если бы p делил f
′
, то p делил бы и p
′
g
= f
′
− pg
′
. Следовательно, если k = 1, то p не делит f
′
. Пусть теперь k >
1. Тогда f
′
= (p k
g
)
′
= (p k
)
′
g
+ p k
g
′
= kp k−1
p
′
g
+ p k
g
′
= p k−1
(kp
′
g
+ pg
′
).
Чтобы завершить доказательство, осталось проверить, что p не делит kp
′
g
+ pg
′
. Предположим, напротив, что p делит kp
′
g
+ pg
′
. Тогда,
очевидно, p делит и kp
′
g
, т. е. kp
′
g
= pa для некоторого многочлена a.
Обозначим единицу поля F через e, чтобы не путать ее с числом 1. Тогда pa
= kep
′
g
. Если ke = 0, то kx = kex = 0 · x = 0 для всякого x ∈ F . Но это невозможно, поскольку характеристика поля F равна 0. Таким образом,
ke 6
= 0, и потому p
′
g
= pb, где b =
1
ke
· a
. Следовательно, p делит p
′
g
. Но выше было показано, что это не так.
В частности, заключение предложения о неприводимых множителях многочлена и его производной справедливо для многочленов над полями Q, R и C.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Отделение кратных множителей
Пусть f = αp k
1 1
p k
2 2
· · · p k
m m
— разложение на неприводимые множители многочлена f над полем F нулевой характеристики. Из предложения о неприводимых множителях многочлена и его производной вытекает, что
НОД(f , f
′
) = p k
1
−1 1
p k
2
−1 2
· · · p k
m
−1
m
. Многочлен f
α
·
НОД(f , f
′
)
= p
1
p
2
· · · p m
есть произведение всех попарно различных неприводимых множителей многочлена f . Если все неприводимые множители многочлена f имеют кратность 1, то НОД(f , f
′
) = 1. В противном случае, повторяя проведенные выше рассуждения применительно к многочлену f
1
= НОД(f , f
′
), можно найти произведение всех попарно различных неприводимых множителей этого многочлена, то есть произведение всех попарно различных неприводимых множителей многочлена f , имеющих кратность > 1. Сравнивая его с найденным ранее произведением всех попарно различных неприводимых множителей многочлена f , можно выделить все неприводимые множители этого многочлена, имеющие кратность 1. Далее, с помощью многочлена f
2
= НОД(f
1
,
f
′
1
) можно найти все неприводимые множители многочлена f , имеющие кратность 2, и т. д.
Ясно, что рано или поздно этот процесс оборвется, и мы найдем кратности всех неприводимых множителей многочлена f . Описанный процесс называется процессом отделения кратных множителей многочлена f .
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Связь неприводимости с отсутствием корней у многочленов малых степеней
Очевидно, что любой многочлен степени 1 над любым полем неприводим.
Предложение о неприводимых многочленах малых степеней
Многочлен f
(x) степени 2 или 3 над произвольным полем F неприводим над F тогда и только тогда, когда он не имеет корней в F .
Доказательство. Необходимость.
Произвольный многочлен степени > 1,
который имеет корень, приводим в силу следствия из теоремы Безу (см.
§ 18).
Достаточность.
Предположим, что 2 6 deg f 6 3 и f приводим над F .
Тогда f = gh для некоторых необратимых многочленов g и h над F . В
силу замечания о необратимых многочленах (см. § 18) многочлены g и h имеют степень > 0. Поскольку deg g + deg h = deg f 6 3, хотя бы один из многочленов g и h линеен. Без ограничения общности можно считать, что deg g = 1 и lc g = 1 (если lc g = α 6= 1, мы можем заменить g на
1
α
· g
, а h на αh). Иными словами, g = x − a для некоторого a ∈ F . Но тогда f
= (x − a)h и a является корнем многочлена f , лежащим в F .
Аналог этого предложения для многочленов степени > 3 места не имеет.
Например, многочлен x
4
+ 2x
2
+ 1 = (x
2
+ 1)
2
приводим над полями R и
Q
, но не имеет действительных (и, в частности, рациональных) корней.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Рациональные дроби (1)
Определение
Рациональной дробью над полем F называется функция вида f
g
, где f , g ∈ F
[x] и g 6= o. Рациональная дробь f
g называется правильной
, если deg f < deg g и f 6= o. Рациональная дробь f
g называется простейшей
,
если существуют многочлен p, неприводимый над полем F , и натуральное число n такие, что g = p n
и deg f < deg p.
Очевидно, что всякая простейшая дробь является правильной.
Теорема о рациональных дробях
Любая правильная рациональная дробь над произвольным полем может быть представлена, причем единственным образом, в виде суммы простейших дробей.
Возможность представить произвольную правильную рациональную дробь над полем R в виде суммы простейших дробей играет важную роль в курсе математического анализа при вычислении интегралов от дробно-рациональных функций.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Рациональные дроби (2)
Доказательство. Существование.
Пусть f
g
— правильная рациональная дробь. Без ограничения общности можно считать, что lc(g ) = 1 (в противном случае можно разделить каждый из многочленов f и g на lc(g )). Пусть g = p k
1 1
p k
2 2
· · · p k
n n
— разложение многочлена g на неприводимые множители. Доказательство того, что дробь f
g может быть представлена в виде суммы простейших дробей разобьем на два шага. На первом шаге мы докажем, что дробь f
g может быть представлена как сумма правильных рациональных дробей, у каждой из которых знаменатель есть степень неприводимого многочлена. На втором шаге будет доказано, что правильная рациональная дробь, у которой знаменатель есть степень неприводимого многочлена, можно представить как сумму простейших дробей.
Шаг
1
. Докажем индукцией по n, что f
g
=
f
1
p k
1 1
+
f
2
p k
2 2
+ · · · +
f n
p k
n n
(3)
для некоторых многочленов f
1
,
f
2
, . . . ,
f n
таких, что deg f i
<
deg p k
i i
для всех i = 1, 2, . . . , n.
База индукции очевидна: если n = 1, то равенство (3) выполнено при f
1
= f .
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители