Файл: Б. М. Верников Уральский федеральный университет.pdf

Рациональные дроби (3)
Шаг индукции.
Пусть n > 1. Положим g
1
= p k
1 1
и g
2
= p k
2 2
· · · p k
n n
Многочлены g
1
и g
2
взаимно просты. В силу следствия о взаимно простых многочленах (см. § 18) существуют многочлены u и v такие, что ug
1
+ vg
2
= 1. Следовательно, f = fug
1
+ fvg
2
. Разделим fu на g
2
с остатком: fu = qg
2
+ r , где deg r < deg g
2
. Имеем:
f
= fug
1
+ fvg
2
= (qg
2
+ r )g
1
+ fvg
2
= rg
1
+ (qg
1
+ fv )g
2
, откуда f − rg
1
= (qg
1
+ fv )g
2
(4)
Положим f
1
= qg
1
+ fv и f
2
= r . Тогда f = f
2
g
1
+ f
1
g
2
, откуда f
g
=
f
1
g
2
+ f
2
g
1
g
1
g
2
=
f
1
g
1
+
f
2
g
2
По предположению индукции дробь f
2
g
2
представима как сумма правильных рациональных дробей, у каждой из которых знаменатель есть степень неприводимого многочлена. Для того, чтобы завершить шаг
1
,
осталось проверить, что дробь f
1
g
1
является правильной, т. е. что deg f
1
<
deg g
1
. Последнее неравенство равносильно тому, что deg f
1
+ deg g
2
<
deg g
1
+ deg g
2
. Учитывая (4) получаем, что deg f
1
+ deg g
2
= deg(f
1
g
2
) = deg(qg
1
+ fv )g
2
=
= deg(f − rg
1
) 6 max
deg f , deg(rg
1
)
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Рациональные дроби (4)
Итак, для завершения шага 1 достаточно установить, что deg f < deg g
1
+ deg g
2
и deg(rg
1
) < deg g
1
+ deg g
2
. Оба этих неравенства проверяются легко: deg f < deg g = deg(g
1
g
2
) = deg g
1
+ deg g
2
и deg(rg
1
) = deg r + deg g
1
<
deg g
2
+ deg g
1
Шаг
2
. Осталось доказать, что каждое из слагаемых, стоящих в правой части равенства (3), представимо в виде суммы простейших дробей.
Иными словами, мы можем далее считать, что g = p k
, где p —
неприводимый многочлен. Если k = 1, то f
g
— простейшая дробь, и все доказано. Пусть теперь k > 1. Разделим f на p k−1
с остатком:
f
= a
1
p k−1
+ b
1
, где deg b
1
<
deg p k−1
. Если deg a
1
>
deg p, то deg f > deg(a
1
p k−1
) = deg a
1
+ deg p k−1
= deg a
1
+ (k − 1) deg p >
>
deg p + (k − 1) deg p = k deg p = deg p k
= deg g вопреки неравенству deg f < deg g . Следовательно, deg a
1
<
deg p.
Далее, разделим b
1
на p k−2
с остатком: b
1
= a
2
p k−2
+ b
2
, где deg b
2
<
deg p k−2
. Если deg a
2
>
deg p, то deg b
1
>
deg(a
2
p k−2
) = deg a
2
+ deg p k−2
= deg a
2
+ (k − 2) deg p >
>
deg p + (k − 2) deg p = (k − 1) deg p = deg p k−1
вопреки неравенству deg b
1
<
deg p k−1
. Следовательно, deg a
2
<
deg p.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Рациональные дроби (5)
Продолжая этот процесс, получаем цепочку равенств b
2
= a
3
p k−3
+ b
3
,
. . . , b k−2
= a k−1
p
+ b k−1
, где deg b
3
<
deg p k−3
, . . . , deg b k−1
<
deg p и deg a
3
, . . . ,
deg a k−1
<
deg p. Учитывая, что f
= a
1
p k−1
+ b
1
= a
1
p k−1
+ a
2
p k−2
+ b
2
= · · · =
= a
1
p k−1
+ a
2
p k−2
+ · · · + a k−1
p
+ b k−1
,
имеем:
f g
=
a
1
p k−1
+ a
2
p k−2
+ · · · + a k−1
p
+ b k−1
p k
=
a
1
p
+
a
2
p
2
+ · · · +
a k−1
p k−1
+
b k−1
p k
Поскольку deg a
1
,
deg a
2
, . . . ,
deg a k−1
,
deg b k−1
<
deg p, мы представили f
g как сумму простейших дробей.
Единственность.
Предположим, что дробь f
g двумя разными способами представлена в виде суммы простейших дробей:
f g
=
a
1
p k
1 1
+ · · · +
a m
p k
m m
и f
g
=
b
1
q
ℓ
1 1
+ · · · +
b n
q
ℓ
n n
(5)
(имеется в виду, что некоторые из многочленов p
1
, . . . ,
p m
, равно как и некоторые из многочленов q
1
, . . . ,
q n
могут совпадать). Разумеется, все слагаемые в правых частях двух последних равенств можно считать ненулевыми.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Рациональные дроби (6)
Тогда a
1
p k
1 1
+ · · · +
a m
p k
m m
=
b
1
q
ℓ
1 1
+ · · · +
b n
q
ℓ
n n
(6)
Если левая и правая части равенства (6) содержат одно и то же слагаемое, вычеркнем его из обеих частей равенства. Проделаем это для всех пар одинаковых слагаемых. Если после этого получится равенство
0 = 0, значит исходно мы имели два совпадающих разложения дроби f
g в
сумму простейших дробей. В этом случае доказательство завершено.
Предположим, что в результате описанного выше процесса в равенстве (6)
будут вычеркнуты не все слагаемые. Перенеся все оставшиеся слагаемые в левую часть равенства и изменив обозначения, мы получим равенство вида s
1
t
1
+ · · · +
s r
t r
= 0.
(7)
Все слагаемые в левой части этого равенства являются простейшими дробями. В частности, t
1
= p k
для некоторого неприводимого многочлена p
и некоторого числа k. Если r = 1, то единственное слагаемое в левой части равенства (7), совпадающее, с точностью до знака, с одним из слагаемых равенства (6), равно нулю. Но это противоречит нашей договоренности о том, что все слагаемые в правых частях равенств (5)
являются ненулевыми.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители

Рациональные дроби (7)
Следовательно, r > 1. Без ограничения общности можно считать, что, для всякого i = 2, . . . , r , либо t i
= p
ℓ
, где ℓ < k, либо t i
— степень неприводимого многочлена, отличного от p (если это не так, то слагаемые в левой части равенства (7) можно поменять местами). Обозначим через
Q
общий знаменатель всех дробей, стоящих в левой части равенства (7), у которых знаменатель имеет второй из указанных только что видов. Из п.
3)
предложения о взаимно простых многочленах (см. § 18) вытекает, что многочлены p и Q взаимно просты. Умножим обе части равенства (7) на p
k−1
Q
. Получим равенство вида s
1
Q
p
+ R = 0, где R — некоторый многочлен. Следовательно, s
1
Q
= −pR. Таким образом, многочлен p делит s
1
Q
. Напомним, что p взаимно прост с Q. По п.
2)
предложения о взаимно простых многочленах (см. § 18) отсюда вытекает, что p делит s
1
Но это невозможно, так как дробь s
1
p k
является простейшей, и потому deg s
1
<
deg p.
Б.М.Верников
§ 19. Разложение многочленов на неприводимые множители