Файл: Отчет по лабораторной работе 2 Решение нелинейных уравнений.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Отчет по практике

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 32

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Институт электроники и телекоммуникаций

Высшая школа прикладной физики и космических технологий


ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2
«Решение нелинейных уравнений»
По дисциплине «Численные методы»

Выполнили

студенты гр. № 4931102/10001

Завьялов А. В.

Завьялов И. В.

Беспалов Н. В.

Преподаватель: Зудов Р. И.
Санкт-Петербург

2023 г.

Таблица 1. Исходные данные

Интервал
Функции

гладкая
экст
2 x0

0..1
(x-1/sqrt(2))3
(x-sqrt(3))3+(x-sqrt(3))2+1
-(x-0,5)2+0,2

-2..3
(x-1/sqrt(2))3
(x-sqrt(3))3+(x-sqrt(3))2+1
-(x-0,5)2+0,2

-5..10
(x-1/sqrt(2))3
(x-sqrt(3))3+(x-sqrt(3))2+1
-(x-0,5)2+0,2



Таблица 2

Функция__Интервал__xzero'>Функция
Интервал
xzero

(x-1/sqrt(2))3
0..1
7.071067811865474e-01

(x-sqrt(3))3+(x-sqrt(3))2+1
0..1
2.664795756921092e-01

-(x-0,5)2+0,2
0..1
5.278640450004208e-02

9.472135954999580e-01


Таблица 3. Метод половинного деления

Функция
Инт.
epsx
c
fun(с)
err
k

(x-1/sqrt(2))3
0..1
1,00E-01
7.187500000000000e-01
1.578407653072567e-06
1.164321881345265e-02
4

1,00E-05
7.071037292480469e-01
-2.842675809613662e-17
3.051938500475693e-06
17

1,00E-09
7.071067807264626e-01
-9.738987849454236e-29
4.600847480773496e-10
30

1,00E-13
7.071067811865248e-01
-1.161772766194696e-41
2.253752739989068e-14
44

1,00E-16
7.071067811865475e-01
0
1.110223024625157e-16
53

-2..3
1,00E-01
6.953125000000000e-01
-1.640644294808459e-06
1.179428118654735e-02
6

1,00E-05
7.071046829223633e-01
-9.238054133733765e-18
2.098264184069443e-06
19

1,00E-09
7.071067810175009e-01
-4.830799030926755e-30
1.690464435100125e-10
33

1,00E-13
7.071067811865746e-01
1.987925792068196e-41
2.720046410331634e-14
46

1,00E-16
7.071067811865475e-01
0
1.110223024625157e-16
56

-5..10
1,00E-01
7.128906250000000e-01
1.934860552256335e-07
5.783843813452649e-03
8

1,00E-05
7.071077823638916e-01
1.003536192469176e-18
1.001177344250870e-06
21

1,00E-09
7.071067813376430e-01
3.449493131691330e-30
1.510956915140582e-10
34

1,00E-13
7.071067811865372e-01
-1.065599900965003e-42
1.010302952408892e-14
48

1,00E-16
7.071067811865475e-01
0
1.110223024625157e-16
57

(x-sqrt(3))3+(x-sqrt(3))2+1
0..1
1,00E-01
2.812500000000000e-01
5.114409936474473e-02
1.477042430789077e-02
4

1,00E-05
2.664833068847656e-01
1.310597080239617e-05
3.731192656397653e-06
17

1,00E-09
2.664795755408704e-01
-5.312346118557798e-10
1.512387992619324e-10
30

1,00E-13
2.664795756921023e-01
-2.398081733190338e-14
6.883382752675971e-15
44

1,00E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
54

-2..3
1,00E-01
3.046875000000000e-01
1.293045224713185e-01
3.820792430789077e-02
6

1,00E-05
2.664785385131836e-01
-3.643151304633108e-06
1.037178925633597e-06
19

1,00E-09
2.664795754826628e-01
-7.356919518031191e-10
2.094464601753998e-10
33

1,00E-13
2.664795756920952e-01
-4.884981308350689e-14
1.398881011027697e-14
46

1,00E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
56

-5..10
1,00E-01
2.441406250000000e-01
-8.017299044032900e-02
2.233895069210923e-02
8

1,00E-05
2.664816379547119e-01
7.243795635325512e-06
2.062262602686715e-06
21

1,00E-09
2.664795760938432e-01
1.411112560134598e-09
4.017339794160080e-10
34

1,00E-13
2.664795756921112e-01
7.105427357601002e-15
1.998401444325282e-15
48

1,00E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
58

-(x-0,5)2+0,2
0..1
1,00E-01
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
4

1,00E-05
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
17

1,00E-09
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
30

1,00E-13
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
44

1,00E-16
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
53

-2..3
1,00E-01
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
6

1,00E-05
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
19

1,00E-09
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
33

1,00E-13
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
46

1,00E-16
5.000000000000000e-01
2.000000000000000e-01
4.472135954999579e-01
55

-5..10
1,00E-01
9.472656250000000e-01
-4.653930664061390e-05
5.202950004201679e-05
8

1,00E-05
9.472119808197021e-01
1.444211318368804e-06
1.614680255834777e-06
21

1,00E-09
9.472135956457350e-01
-1.303869789914813e-10
1.457770570922889e-10
34

1,00E-13
9.472135954999583e-01
-3.330669073875470e-16
3.330669073875470e-16
48

1,00E-16
9.472135954999579e-01
8.326672684688674e-17
1.110223024625157e-16
1000000


Вывод: Для монотонной и гладкой с экстремумом функций видна линейная скорость сходимости. Можно также увидеть, что данный метод не подходит для нахождения корней функции с двумя корнями.

Можем видеть, что для монотонной и гладкой с экстремумом функций метод находит решение с заданной точностью.

По данным таблицы видно, что увеличение интервала приводит к увеличению количества итераций.

Таблица 4. Метод Ньютона

Функ.
Инт.
x0
epsx
xk1
f(xk1)
err
k
n

(x-1/sqrt(2))3
0..1
0
1,00E-01
5.674313676188345e-01
-2.724958533252138e-03
1.396754135677128e-01
4
8

1,00E-05
7.070881125643554e-01
-6.506340686353352e-15
1.866862219190857e-05
26
52

1,00E-09
7.071067795230840e-01
-4.602988180955900e-27
1.663463367052032e-09
49
98

1,00E-13
7.071067811863994e-01
-3.252741233254455e-39
1.479927291825334e-13
72
144

1,00E-16
7.071067811865418e-01
0
5.551115123125783e-15
81
162

1
1,00E-01
9.023689270621825e-01
7.444819510247014e-03
1.952621458756352e-01
1
2

1,00E-05
7.071241799786788e-01
5.266926993172079e-15
1.739879213147333e-05
24
48

1,00E-09
7.071067827368632e-01
3.726150885418187e-27
1.550315875675778e-09
47
94

1,00E-13
7.071067811866857e-01
2.637228345462749e-39
1.383337888682945e-13
70
140

1,00E-16
7.071067811865530e-01
0
5.662137425588298e-15
79
158

0,5
1,00E-01
5.690355937288492e-01
-2.632141180202788e-03
1.380711874576982e-01
1
2

1,00E-05
7.070883269806969e-01
-6.284722150370147e-15
1.845420585044888e-05
23
46

1,00E-09
7.071067795421895e-01
-4.446201726102430e-27
1.644357872088165e-09
46
92

1,00E-13
7.071067811864011e-01
-3.137147573284644e-39
1.462163723431331e-13
69
138

1,00E-16
7.071067811865419e-01
0
5.440092820663267e-15
78
156

-2..3
-2
1,00E-01
5.486661465309106e-01
-3.977404127501580e-03
1.584406346556367e-01
7
14

1,00E-05
7.070926633673709e-01
-2.813862328417604e-15
1.411781917648458e-05
30
60

1,00E-09
7.071067792995996e-01
-6.718614387551834e-27
1.886947709195397e-09
52
104

1,00E-13
7.071067811863795e-01
-4.744971355000745e-39
1.678657213233237e-13
75
150

1,00E-16
7.071067811865410e-01
0
6.328271240363392e-15
84
168

3
1,00E-01
8.413044638605859e-01
2.416768487542954e-03
1.341976826740385e-01
7
14

1,00E-05
7.071247176706639e-01
5.770480155293047e-15
1.793648411652082e-05
29
58

1,00E-09
7.071067827847742e-01
4.082396224636075e-27
1.598226884169662e-09
52
104

1,00E-13
7.071067811866900e-01
2.893028466777265e-39
1.426636586643326e-13
75
150

1,00E-16
7.071067811865531e-01
0
5.773159728050814e-15
84
168

0,5
1,00E-01
5.690355937288492e-01
-2.632141180202788e-03
1.380711874576982e-01
1
2

1,00E-05
7.070883269806969e-01
-6.284722150370147e-15
1.845420585044888e-05
23
46

1,00E-09
7.071067795421895e-01
-4.446201726102430e-27
1.644357872088165e-09
46
92

1,00E-13
7.071067811864011e-01
-3.137147573284644e-39
1.462163723431331e-13
69
138

1,00E-16
7.071067811865419e-01
0
5.440092820663267e-15
78
156

-5..10
-5
1,00E-01
5.586518367183509e-01
-3.271779301720323e-03
1.484549444681964e-01
9
18

1,00E-05
7.070869391169947e-01
-7.811976045832417e-15
1.984206955263357e-05
31
62

1,00E-09
7.071067794185242e-01
-5.526675761527042e-27
1.768023172310507e-09
54
108

1,00E-13
7.071067811863900e-01
-3.906412176906247e-39
1.573186025893847e-13
77
154

1,00E-16
7.071067811865415e-01
0
5.884182030513330e-15
86
172

10
1,00E-01
8.682597669452390e-01
4.185188939575962e-03
1.611529857586916e-01
10
20

1,00E-05
7.071211406891945e-01
2.960862189761475e-15
1.435950264716546e-05
33
66

1,00E-09
7.071067831057982e-01
7.069604526727941e-27
1.919250869342193e-09
55
110

1,00E-13
7.071067811867187e-01
5.011949138476168e-39
1.713074126996617e-13
78
156

1,00E-16
7.071067811865542e-01
0
6.883382752675971e-15
87
174

2,5
1,00E-01
8.645075575981538e-01
3.899604930518269e-03
1.574007764116064e-01
6
12

1,00E-05
7.071208063493758e-01
2.758822352009331e-15
1.402516282844601e-05
29
58

1,00E-09
7.071067830611113e-01
6.587197132694447e-27
1.874563948511820e-09
51
102

1,00E-13
7.071067811867147e-01
4.668926544587761e-39
1.673106098110111e-13
74
148

1,00E-16
7.071067811865541e-01
0
6.772360450213455e-15
83
166
































































































































































































































































































































































(x-sqrt(3))3+(x-sqrt(3))2+1
0..1
0
1,00E-01
2.641788128650986e-01
-8.099547866907659e-03
2.300762827010638e-03
2
4

1,00E-05
2.664795756669263e-01
-8.845668587806764e-11
2.518296682296750e-11
4
8

1,00E-09
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
5
10

1,00E-13
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
6
12

1,00E-16
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
6
12

1
1,00E-01
2.653498946224053e-01
-3.972402744352990e-03
1.129681069703958e-03
8
16

1,00E-05
2.664795756906410e-01
-5.157517259118901e-12
1.468269950066770e-12
10
20

1,00E-09
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
11
22

1,00E-13
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
12
24

1,00E-16
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
12
24

0,5
1,00E-01
2.613564332922722e-01
-1.808460423524411e-02
5.123142399837022e-03
2
4

1,00E-05
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
5
10

1,00E-09
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
5
10

1,00E-13
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
6
12

1,00E-16
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
6
12

-2..3
-2
1,00E-01
2.661698662680890e-01
-1.088197117673037e-03
3.097094240201992e-04
5
10

1,00E-05
2.664795756921010e-01
-2.919173514771169e-14
8.271161533457416e-15
7
14

1,00E-09
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
8
16

1,00E-13
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
8
16

1,00E-16
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
9
18

3
1,00E-01
2.662945983038350e-01
-6.498594145389245e-04
1.849773882742767e-04
93
186

1,00E-05
2.664795756921082e-01
-3.648575433660036e-15
9.992007221626409e-16
95
190

1,00E-09
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
96
192

1,00E-13
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
96
192

1,00E-16
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
97
194

0,5
1,00E-01
2.613564332922722e-01
-1.808460423524411e-02
5.123142399837022e-03
2
4

1,00E-05
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
5
10

1,00E-09
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
5
10

1,00E-13
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
6
12

1,00E-16
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
6
12

-5..10
-5
1,00E-01
2.618027296311002e-01
-1.650207558591190e-02
4.676846061009043e-03
6
12

1,00E-05
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
9
18

1,00E-09
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
9
18

1,00E-13
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
10
20

1,00E-16
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
10
20

10
1,00E-01
2.650309488470716e-01
-5.095512061734716e-03
1.448626845037659e-03
14
28

1,00E-05
2.664795756881425e-01
-1.393363997343786e-11
3.966771355834453e-12
16
32

1,00E-09
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
17
34

1,00E-13
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
18
36

1,00E-16
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
18
36

2,5
1,00E-01
2.661885349424441e-01
-1.022584278971723e-03
2.910407496651279e-04
6
12

1,00E-05
2.664795756921028e-01
-2.275719873119483e-14
6.439293542825908e-15
8
16

1,00E-09
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
9
18

1,00E-13
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
9
18

1,00E-16
2.664795756921093e-01
5.615765463750229e-17
5.551115123125783e-17
10
20























































-(x-0,5)2+0,2
0..1
0
1,00E-01
5.000000000000000e-02
-2.500000000000000e-03
2.786404500042076e-03
1
2

1,00E-05
5.278640441683920e-02
-7.441890355026179e-11
8.320288208407689e-11
3
6

1,00E-09
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
4
8

1,00E-13
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
5
10

1,00E-16
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
5
10

1
1,00E-01
9.500000000000000e-01
-2.500000000000000e-03
2.786404500041972e-03
1
2

1,00E-05
9.472135955831608e-01
-7.441886631224948e-11
8.320277800066833e-11
3
6

1,00E-09
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
4
8

1,00E-13
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
5
10

1,00E-16
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
5
10

0,5
1,00E-01
 
 
 
 
 

1,00E-05
 
 
 
 
 

1,00E-09
 
 
 
 
 

1,00E-13
 
 
 
 
 

1,00E-16
 
 
 
 
 

-2..3
-2
1,00E-01
5.003348157905171e-02
-2.469867699869593e-03
2.752922920990365e-03
4
8

1,00E-05
5.278640442075494e-02
-7.091655677889503e-11
7.928713935401177e-11
6
12

1,00E-09
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
7
14

1,00E-13
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
8
16

1,00E-16
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
8
16

3
1,00E-01
9.499665184209483e-01
-2.469867699869568e-03
2.752922920990275e-03
4
8

1,00E-05
9.472135955792450e-01
-7.091650712821195e-11
7.928702139281540e-11
6
12

1,00E-09
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
7
14

1,00E-13
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
8
16

1,00E-16
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
8
16

0,5
1,00E-01
 
 
 
 
 

1,00E-05
 
 
 
 
 

1,00E-09
 
 
 
 
 

1,00E-13
 
 
 
 
 

1,00E-16
 
 
 
 
 

-5..10
-5
1,00E-01
4.790137265779089e-02
-4.393168844709668e-03
4.885031842251190e-03
5
10

1,00E-05
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
8
16

1,00E-09
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
8
16

1,00E-13
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
9
18

1,00E-16
5.278640450004206e-02
-2.056787098539808e-18
2.081668171172169e-17
9
18

10
1,00E-01
9.493701676202502e-01
-1.933547547051736e-03
2.156572120292188e-03
6
12

1,00E-05
9.472135955298969e-01
-2.677824149447891e-11
2.993894021585675e-11
8
16

1,00E-09
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
9
18

1,00E-13
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
10
20

1,00E-16
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
10
20

2,5
1,00E-01
9.478314445474382e-01
-5.530027254451916e-04
6.178490474801901e-04
4
8

1,00E-05
9.472135955001610e-01
-1.816614934510090e-13
2.030597912039411e-13
6
12

1,00E-09
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
7
14

1,00E-13
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
8
16

1,00E-16
9.472135954999580e-01
-3.929479939724890e-17
0
8
16


Вывод: Для монотонной функции имеем линейную скорость сходимости. Для функции с экстремумом и функции с 2 корнями скорость сходимости явно больше линейной.

При "хорошем" начальном приближении мы получаем меньшее количество итераций.

Для всех функций метод находит решение с заданной точностью, за исключением случаев, когда производная ровна 0.

Таблица 5. Метод секущих

Функ.
Инт.
x0
epsx
xk2
f(xk2)
err
k

(x-1/sqrt(2))3
0..1
xk0=a xk1=b
1E-01
9.336477008475339e-01
1.162625857486952e-02
2.265409196609866e-01
1

1E-05
7.071345923518764e-01
2.151084943679200e-14
2.781116532901695e-05
33

1E-09
7.071067837816004e-01
1.747586460285874e-26
2.595053061327235e-09
66

1E-13
7.071067811867896e-01
1.419703608399185e-38
2.422506639732092e-13
99

1E-16
7.071067811865477e-01
1.094764425253763e-47
3.330669073875470e-16
125

xk0=b xk1=a
1E-01
9.039230718529760e-01
7.624004212949724e-03
1.968162906664287e-01
2

1E-05
7.071300977081429e-01
1.267626431154939e-14
2.331652159559550e-05
34

1E-09
7.071067840686818e-01
2.394101980476222e-26
2.882134420012505e-09
66

1E-13
7.071067811868164e-01
1.944254468841652e-38
2.690070388666754e-13
99

1E-16
7.071067811865477e-01
1.094764425253763e-47
3.330669073875470e-16
125

-2..3
xk0=a xk1=b
1E-01
1.099856423853477e+00
6.058252856340016e-02
3.927496426669298e-01
2

1E-05
7.071322548756537e-01
1.653010196386368e-14
2.547368910632564e-05
36

1E-09
7.071067835634911e-01
1.342940136426410e-26
2.376943752935290e-09
69

1E-13
7.071067811868412e-01
2.535129850395862e-38
2.938760346182789e-13
101

1E-16
7.071067811865477e-01
1.094764425253763e-47
3.330669073875470e-16
127

xk0=b xk1=a
1E-01
1.099946277004028e+00
6.062411823732511e-02
3.928394958174809e-01
2

1E-05
7.071322585421476e-01
1.653724065210225e-14
2.547735560021192e-05
36

1E-09
7.071067835638332e-01
1.343519996823624e-26
2.377285812649177e-09
69

1E-13
7.071067811868413e-01
2.538005233695244e-38
2.939870569207415e-13
101

1E-16
7.071067811865477e-01
1.094764425253763e-47
3.330669073875470e-16
127

-5..10
xk0=a xk1=b
1E-01
4.520555080476278e-01
-1.659137911884464e-02
2.550512731389195e-01
10

1E-05
7.070829829190658e-01
-1.347832811125724e-14
2.379826748155622e-05
43

1E-09
7.071067782448649e-01
-2.545583921029061e-26
2.941682453183603e-09
75

1E-13
7.071067811862730e-01
-2.067169500485457e-38
2.743361093848762e-13
108

1E-16
7.071067811865472e-01
-1.094764425253763e-47
1.110223024625157e-16
134

xk0=b xk1=a
1E-01
4.564736686924351e-01
-1.574400946999011e-02
2.506331124941123e-01
10

1E-05
7.070833950791172e-01
-1.279009649967966e-14
2.338610743013447e-05
43

1E-09
7.071067782958117e-01
-2.415600916409472e-26
2.890735650851184e-09
75

1E-13
7.071067811862777e-01
-1.963584115609338e-38
2.696731726814505e-13
108

1E-16
7.071067811865472e-01
-1.094764425253763e-47
1.110223024625157e-16
134

(x-sqrt(3))3+(x-sqrt(3))2+1
0..1
xk0=a xk1=b
1E-01
2.977278544873999e-01
1.064750614892671e-01
3.124827879529068e-02
4

1E-05
2.664795756685018e-01
-8.292211362004309e-11
2.360739381757071e-11
8

1E-09
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
5.551115123125783e-17
9

1E-13
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.665334536937735e-16
10

1E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
11

xk0=b xk1=a
1E-01
2.483851328332725e-01
-6.467575773067447e-02
1.809444285883674e-02
3

1E-05
2.664795756924815e-01
1.308286812218284e-12
3.723132913080462e-13
7

1E-09
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.665334536937735e-16
8

1E-13
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
5.551115123125783e-17
9

1E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
10

-2..3
xk0=a xk1=b
1E-01
1.410885148856669e+00
1.070019983985982e+00
1.144405573164560e+00
6

1E-05
2.664795757833539e-01
3.205018472840493e-10
9.124467847954065e-11
51

1E-09
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
5.551115123125783e-17
52

1E-13
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.665334536937735e-16
53

1E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
54

xk0=b xk1=a
1E-01
2.765708899899846e-01
3.510141747690732e-02
1.009131429787541e-02
9

1E-05
2.664795778363322e-01
7.531700596530300e-09
2.144222965849707e-09
12

1E-09
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
5.551115123125783e-17
14

1E-13
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
5.551115123125783e-17
14

1E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
16

-5..10
xk0=a xk1=b
1E-01
2.622623629965007e-01
-1.487367519402349e-02
4.217212695608541e-03
6

1E-05
2.664795756193460e-01
-2.555844424989573e-10
7.276318436666429e-11
9

1E-09
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
10

1E-13
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
0
11

1E-16
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
5.551115123125783e-17
12

xk0=b xk1=a
1E-01
2.623316954421778e-01
-1.462816755126806e-02
4.147880249931457e-03
6

1E-05
2.664795756242261e-01
-2.384425989987449e-10
6.788308803962195e-11
9

1E-09
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.665334536937735e-16
10

1E-13
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
5.551115123125783e-17
11

1E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
12

-(x-0,5)2+0,2
0..1
xk0=a xk1=b
1E-01
4.163336342344337e-17
-4.999999999999993e-02
5.278640450004204e-02
2

1E-05
5.278640458324489e-02
7.441888771886340e-11
8.320281269513785e-11
6

1E-09
5.278640450004209e-02
2.775557561562891e-17
1.387778780781446e-17
7

1E-13
5.278640450004207e-02
2.775557561562891e-17
1.387778780781446e-17
8

1E-16
5.278640450004207e-02
2.775557561562891e-17
1.387778780781446e-17
8

xk0=b xk1=a
1E-01
9.999999999999998e-02
3.999999999999998e-02
4.721359549995790e-02
1

1E-05
5.278640458324490e-02
7.441888771886340e-11
8.320281963403175e-11
5

1E-09
5.278640450004201e-02
-2.775557561562891e-17
6.938893903907228e-17
6

1E-13
5.278640450004204e-02
-2.775557561562891e-17
4.163336342344337e-17
7

1E-16
5.278640450004204e-02
-2.775557561562891e-17
4.163336342344337e-17
7

-2..3
xk0=a xk1=b
1E-01
4.200000000000000e-01
1.936000000000000e-01
3.672135954999579e-01
1

1E-05
5.278640655504896e-02
1.838054042302417e-09
2.055006879941867e-09
10

1E-09
5.278640450004205e-02
2.775557561562891e-17
2.775557561562891e-17
12

1E-13
5.278640450004205e-02
2.775557561562891e-17
2.775557561562891e-17
12

1E-16
5.278640450004202e-02
-2.775557561562891e-17
5.551115123125783e-17
13

xk0=b xk1=a
1E-01
3.449612403100775e-01
1.759629829938105e-01
2.921748358100354e-01
2

1E-05
5.278640244503513e-02
-1.838054070057993e-09
2.055006949330807e-09
9

1E-09
5.278640450004203e-02
-2.775557561562891e-17
4.857225732735060e-17
11

1E-13
5.278640450004203e-02
-2.775557561562891e-17
4.857225732735060e-17
11

1E-16
5.278640450004206e-02
2.775557561562891e-17
2.081668171172169e-17
12

-5..10
xk0=a xk1=b
1E-01
9.562058412221970e-01
-8.123769565252403e-03
8.992245722239001e-03
6

1E-05
9.472135986069824e-01
-2.779007163278280e-09
3.107024415527349e-09
9

1E-09
9.472135954999580e-01
-2.775557561562891e-17
0
11

1E-13
9.472135954999580e-01
-2.775557561562891e-17
0
11

1E-16
9.472135954999580e-01
-2.775557561562891e-17
0
12

xk0=b xk1=a
1E-01
9.637075882687693e-01
-1.502472741803851e-02
1.649399276881136e-02
8

1E-05
9.472135955009470e-01
-8.845979504457091e-13
9.889866703360894e-13
12

1E-09
9.472135954999580e-01
-2.775557561562891e-17
0
13

1E-13
9.472135954999580e-01
-2.775557561562891e-17
0
14

1E-16
9.472135954999580e-01
-2.775557561562891e-17
0
14


Вывод: Для монотонной функции имеем линейную скорость сходимости. Для функции с экстремумом и функции с 2 корнями скорость сходимости больше линейной.

Для монотонной функции и функции с 2 корнями количество итераций слабо зависит от начального приближения. Для функций с экстремумом видно, что количество итераций может сильно отличаться для разных начальных приближений.

Для всех функций метод находит решение с заданной точностью, но для функций с экстремумом точность может уменьшиться при увеличении точности.

Таблица 6. Метод релаксации

Инт.
tau
x0
epsx
xk1
f(xk1)
err
k

0..1
1
a
1E-01
3.977475644174329e-01
-2.960664379235666e-02
3.093592167691144e-01
2

1E-05
6.855731381726269e-01
-9.985102492112162e-06
2.153364301392047e-02
1071

1E-09
7.061067830797846e-01
-9.999943202993879e-10
9.999981067627672e-04
499990

1E-13
7.063996787940198e-01
-3.535468076458477e-10
7.071023925275810e-04
1000000

1E-16
7.063996787940198e-01
-3.535468076458477e-10
7.071023925275810e-04
1000000

b
1E-01
9.748737341529163e-01
1.919866054289202e-02
2.677669529663690e-01
1

1E-05
7.286352884533741e-01
9.977959892283583e-06
2.152850726682676e-02
1069

1E-09
7.081067797791381e-01
9.999957777777113e-10
9.999985925907007e-04
499987

1E-13
7.078138826901983e-01
3.535454743487827e-10
7.071015036509420e-04
1000000

1E-16
7.078138826901983e-01
3.535454743487827e-10
7.071015036509420e-04
1000000

(a+b)/2
1E-01
5.088834764831844e-01
-7.788684943711402e-03
1.982233047033629e-01
1

1E-05
6.855810432189111e-01
-9.974109871241728e-06
2.152573796763624e-02
1064

1E-09
7.061067828713724e-01
-9.999949455336800e-10
9.999983151749436e-04
499982

1E-13
7.063996815486864e-01
-3.535426757133261e-10
7.070996378609751e-04
1000000

1E-16
7.063996815486864e-01
-3.535426757133261e-10
7.070996378609751e-04
1000000

0,1
a
1E-01
3.535533905932737e-02
-3.031278382599080e-01
6.717514421272199e-01
1

1E-05
6.607041294687369e-01
-9.991447210595060e-05
4.640265171781044e-02
2308

1E-09
7.048707340799495e-01
-1.118002682689372e-08
2.236047106597860e-03
1000000

1E-13
7.048707340799495e-01
-1.118002682689372e-08
2.236047106597860e-03
1000000

1E-16
7.048707340799495e-01
-1.118002682689372e-08
2.236047106597860e-03
1000000

b
1E-01
9.974873734152916e-01
2.448514949432788e-02
2.903805922287442e-01
1

1E-05
7.535100867751827e-01
9.991869592138736e-05
4.640330558863537e-02
2261

1E-09
7.093427758219997e-01
1.117923979286866e-08
2.235994635452321e-03
1000000

1E-13
7.093427758219997e-01
1.117923979286866e-08
2.235994635452321e-03
1000000

1E-16
7.093427758219997e-01
1.117923979286866e-08
2.235994635452321e-03
1000000

(a+b)/2
1E-01
5.008883476483185e-01
-8.769653834071188e-03
2.062184335382289e-01
1

1E-05
6.607010935145164e-01
-9.993408449437783e-05
4.640568767203090e-02
2203

1E-09
7.048708511215562e-01
-1.117827132745706e-08
2.235930064991121e-03
1000000

1E-13
7.048708511215562e-01
-1.117827132745706e-08
2.235930064991121e-03
1000000

1E-16
7.048708511215562e-01
-1.117827132745706e-08
2.235930064991121e-03
1000000

0..1
0.3
a
1E-01
2.699706990547689e-01
1.222140517702108e-02
3.491123362659665e-03
2

1E-05
2.664790673431254e-01
-1.785604460735613e-06
5.083489838519917e-07
5

1E-09
2.664795756878608e-01
-1.492272971859165e-11
4.248379426030624e-12
9

1E-13
2.664795756921098e-01
2.220446049250313e-15
6.106226635438361e-16
12

1E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.665334536937735e-16
1000000

b
1E-01
2.661494379389504e-01
-1.159997144793756e-03
3.301377531588212e-04
4

1E-05
2.664796273097230e-01
1.813096797143032e-07
5.161761379435248e-08
7

1E-09
2.664795756840861e-01
-2.818145716787512e-11
8.023137709756156e-12
10

1E-13
2.664795756921105e-01
4.884981308350689e-15
1.276756478318930e-15
13

1E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.665334536937735e-16
1000000

(a+b)/2
1E-01
2.659195425736243e-01
-1.968212441829209e-03
5.600331184849039e-04
2

1E-05
2.664796636136793e-01
3.088292928055125e-07
8.792157007997403e-08
5

1E-09
2.664795756784435e-01
-4.800160269269327e-11
1.366573521011105e-11
8

1E-13
2.664795756921112e-01
7.105427357601002e-15
1.998401444325282e-15
11

1E-16
2.664795756921091e-01
-4.440892098500626e-16
1.110223024625157e-16
1000000

0,1
a
1E-01
1.788453322799577e-01
-3.345790266978974e-01
8.763424341215148e-02
2

1E-05
2.664661292577120e-01
-4.723194972955369e-05
1.344643439721294e-05
22

1E-09
2.664795741710489e-01
-5.342807529729043e-09
1.521060277731578e-09
43

1E-13
2.664795756919370e-01
-6.044054146059352e-13
1.721955911193618e-13
64

1E-16
2.664795756921090e-01
-4.440892098500626e-16
2.220446049250313e-16
80

b
1E-01
5.776403889008669e-01
7.942228841881160e-01
3.111608132087577e-01
4

1E-05
2.664955142721064e-01
5.598427028630226e-05
1.593857999721005e-05
28

1E-09
2.664795774951597e-01
6.333312985162820e-09
1.803050486692825e-09
49

1E-13
2.664795756922415e-01
4.645173135031655e-13
1.322275622328561e-13
71

1E-16
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
0
88




1E-01
4.352241335952167e-01
5.008089442460444e-01
1.687445579031075e-01
1

1E-05
2.664956854449984e-01
5.658550578946375e-05
1.610975288912631e-05
23

1E-09
2.664795775145241e-01
6.401332353078715e-09
1.822414830154884e-09
44

1E-13
2.664795756922429e-01
4.694022948115162e-13
1.336708521648688e-13
66

1E-16
2.664795756921092e-01
4.440892098500626e-16
0
83

0..1
0.9
a
1E-01
4.499999999999999e-02
-7.025000000000003e-03
7.786404500042088e-03
1

1E-05
5.278430486159424e-02
-1.877978127479141e-06
2.099638447834729e-06
6

1E-09
5.278640438454939e-02
-1.032997576366768e-10
1.154926848601079e-10
12

1E-13
5.278640450003566e-02
-5.689893001203927e-15
6.418476861114186e-15
18

1E-16
5.278640450004206e-02
2.775557561562891e-17
2.081668171172169e-17
22

b
1E-01
9.550000000000000e-01
-7.024999999999948e-03
7.786404500041977e-03
1

1E-05
9.472156951384058e-01
-1.877978127479141e-06
2.099638447772278e-06
6

1E-09
9.472135956154506e-01
-1.032997576366768e-10
1.154926154711688e-10
12

1E-13
9.472135954999643e-01
-5.689893001203927e-15
6.328271240363392e-15
18

1E-16
9.472135954999580e-01
-2.775557561562891e-17
0
22

(a+b)/2
1E-01
8.766959503999995e-02
2.998363714552238e-02
3.488319053995787e-02
3

1E-05
5.278873457064575e-02
2.084073075669934e-06
2.330070603670520e-06
9

1E-09
5.278640462821314e-02
1.146397143880762e-10
1.281710640399503e-10
15

1E-13
5.278640450004912e-02
6.328271240363392e-15
7.036038418561930e-15
21

1E-16
5.278640450004204e-02
-2.775557561562891e-17
3.469446951953614e-17
25

0,1
a
1E-01
4.999999999999999e-03
-4.502499999999998e-02
4.778640450004208e-02
1

1E-05
5.269333527720390e-02
-8.325230543193562e-05
9.306922283817964e-05
67

1E-09
5.278639493098682e-02
-8.558823288984385e-09
9.569055256508641e-09
165

1E-13
5.278640449905807e-02
-8.800737916203616e-13
9.840114834069880e-13
263

1E-16
5.278640450004109e-02
-8.604228440844963e-16
9.922618282587337e-16
337

b
1E-01
9.950000000000000e-01
-4.502499999999998e-02
4.778640450004201e-02
1

1E-05
9.473066647227960e-01
-8.325230543182460e-05
9.306922283802699e-05
67

1E-09
9.472136050690131e-01
-8.558823205717658e-09
9.569055103852975e-09
165

1E-13
9.472135955009420e-01
-8.801293027715928e-13
9.839906667252762e-13
263

1E-16
9.472135954999585e-01
-5.273559366969494e-16
5.551115123125783e-16
341

(a+b)/2
1E-01
4.800000000000000e-01
1.996000000000000e-01
4.272135954999579e-01
1

1E-05
5.288475352985654e-02
8.795637394287681e-05
9.834902981446098e-05
98

1E-09
5.278641461432543e-02
9.046489973796312e-09
1.011428334835029e-08
196

1E-13
5.278640450098906e-02
8.470169010621476e-13
9.469855455357390e-13
295

1E-16
5.278640450004297e-02
8.049116928532385e-16
8.881784197001252e-16
369


























Вывод: Для монотонной функции имеем скорость сходимости меньше чем линейная. Для функций с экстремумом и 2 корнями скорость сходимости сопоставима с линейной.

Для монотонной функции и функции с экстремумом количество итераций меньше, если взять начальное приближение ближе к точному решению. Для функции с 2 корнями явной зависимости количества итераций от начального приближения не наблюдается.

Для монотонной функции требуемая погрешность не достигается. Для других функций метод находит решение с заданной точностью.

Количество итераций меньше, когда параметр релаксации ближе к оптимальному значению.
ВЫВОД: Для монотонной функции с хорошей точностью наибольшей трудоемкостью обладает метод релаксации, наименьшей же трудоемкостью обладает метод половинного деления. Для наименьшей точности метод релаксации обладает наименьшей трудоёмкостью.

Для функции с экстремумом наибольшей трудоемкостью обладает метод релаксации, наименьшей же трудоемкостью обладает метод секущих. Для наименьшей точности метод релаксации обладает наименьшей трудоёмкостью.

Для функции с 2 корнями для минимальной точности наименьшей трудоёмкостью обладает метод релаксации, для лучшей точности менее трудоёмкие метод секущих и метод Ньютона. Самым трудоёмким для маленькой точности является метод Ньютона, а для большой точности метод релаксации.

Смотрите также файлы