Файл: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо "Воронежский государственный технический университет ".doc

dx, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной. Элементарный магнитный поток через полоску, находящуюся на расстоянии x от прямого тока, равен где знак минус обусловлен тем, что B_n=-B.

После интегрирования по x найдём:

.

Окончательно

Пример 3. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B= 50 мТл). По проводу течёт ток I= 10 А. Найти силу F, действующую на провод если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Решение

Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции и выделим на нём малый элемент dl с током. На этот элемент тока Idl будет действовать по закону Ампера сила Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рисунке. Силу dF представим в виде

,

где i и j – единичные векторы (орты); dF_x и dF_y – проекции вектора dFна координатные оси O_x и O_y.

Силу F, действующую на весь провод, найдём интегрированием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведётся по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю . Тогда

. (1)

Из рисунка следует, что dF_y= dFcosα, где dF – модуль вектора ( ). Так как вектор перпендикулярен вектору ( ), то . Выразив длину дуги dl через радиус R и угол α, получим

.

Тогда

.

Введём под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пределах от –π/2 до +π/2 (как это следует из рисунка):

.

Из полученного выражения видно, что сила сонаправлена с положительным направлением оси Oy (единичным вектором ). Найдём модуль силы :

Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт единицу силы (Н):

[I][B][R]=1А·1Тл·1м = 1А·1Н·1м·1м/(1А·(1м)²)=1Н.

Произведём вычисления: F= 2·10·50·10^-3·0,1Н = 0,1Н.
Пример 4. В центре длинного соленоида, имеющего n=510³ витков на метр, помещена рамка, состоящая из N=50 витков провода площадью S= 4 см². Рамка может вращаться вокруг оси ОО, перпендикулярной оси соленоида. При пропускании тока по рамке и соленоиду, соединённых последовательно, рамка повернулась на угол

= 60. Oпреде- лить силу тока, если жёсткость пружины, удерживающей рамку в положении равновесия, равна k= 610^–5Н·м / рад.

Решение

При появлении тока рамка установится в таком положе- нии, когда момент сил магнитного поля М уравновесится моментом упругих сил пружины: M=M_упр.

По определению где – магнитный момент, – индукция поля соленоида.

С учётом этих выражений имеем:

Заметим, что вначале, когда тока нет,

Согласно закону Гука

где и, следовательно,

Таким образом, откуда

Пример 5. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией стал двигаться по окружности радиуса Определить магнитный момент эквива- лентного кругового тока.

Решение

Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпенди- кулярно линиям магнитной индукции, т. е. В этом случае сила Лоренца сообщит электрону нормальное ускорение

Согласно второму закону Ньютона . Отсюда находим скорость электрона и период его обращения

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току

.

Зная , найдем магнитный момент эквивалентного тока, который выражается соотношением

,

где S=πR² – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном.

Подставим значения и S в формулу магнитного момента, окончательно получим

Убедимся в том, что правая часть равенства даст единицу измерения магнитного момента (Ам²):

Произведем вычисление:

Пример 6. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В= 10мТл по винтовой линии, радиус которой равен 1 см и шаг h= 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость υ.
Решение

Разложим скорость электрона на две составляю- щие: параллельную вектору - и перпендикулярную ему .

Скорость в магнитном поле не изменяется и обеспе- чивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению, обеспечивая движение по окружно- сти. Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении его со скоростью и вращательном со скоростью .

Согласно второму закону Ньютона

Перпендикулярная составляющая скорости будет равна

.

Период обращения электрона связан именно с этой составляю- щей скоростью соотношением

Проверим размерность полученного выражения и произведем вычисление:

Модуль скорости υ, как видно из рисунка, можно выразить через и :

Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой лини расстояние h, т.е. , откуда

Таким образом, модуль скорости электрона

Произведем вычисления:

.

Пример 7. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт ток I= 50А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l= 65см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение

Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

.

В нашем случае вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки B_n=B. Магнитная индукция B, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где х – расстояние от провода до точки, в которой определя- ется B.

Для вычисления магнит- ного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то

dФ=В(х)dS.

Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx(см. рис.). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние x) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

.

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x₁= a до x₂= 2a, найдём

.

Подставив пределы, получим

.

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб):

[μ₀][I][l] = 1Гн/м·1А·1м = 1 Вб.

Произведя вычисления, найдём Ф = 4,5 мкВб.

Пример 8. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100А, свободно устано- вился в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Определить работу А,совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол 90

^˚.

Решение

На контур с током в магнитном поле действует момент силы

,

где – магнитный момент контура; α – угол между векторами (направлен по направлению положи- тельной нормали к контуру) и .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле, т.е. М=0, а значит векторы и сонаправлены (α=0). Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. В силу зависимости М от угля поворота α, для подсчета работы внешних сил воспользуемся методом интегрирования. Элементарная работа равна

dA= Mdα = IBa²sinαdα.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте контура на конечный угол :

. (1)

Производя расчет в единицах СИ, получим

А = 100·1·0,1²Дж =1 Дж.

Задачу можно решить и другими способами:
1) Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:

где Ф₁ – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения, Ф₂ – то же, после перемещения.

Если , то Ф₁=ВS, Ф₂=0. Следовательно,

А = IBS = IBa²,

что совпадает с выражением (1).
2) Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле.

Тогда работа внешних сил

А=ΔW_п = W₂- W₁,

или

Так как р_m= Ia², cosα₁=1 иcosα₂=0, то

A=IBa²,

что также совпадает с выражением (1)

2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

2.1. Законы электромагнитной индукции

В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении магнитного потока, охватываемого контуром проводника. Возникающий ток назвали индукционным.
Правило, определяющее направление индукционного тока, было сформулировано Ленцем: индукционный ток всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызвав- шего этот ток.

Появление индукционного тока в проводящем контуре свидетельствует о том, что при изменениях магнитного потока Ф в контуре возникает электродвижущая сила индукции. Фарадей установил, что величина ЭДС не зависит от способа, которым осуществляется изменение магнитного потока и определяется лишь скоростью его изменения:

(2.1)

Если контур состоит из N витков, то

(2.2)

где Ψ – полный магнитный поток, или потокосцепление.

Выясним причину возникновения электромагнитной индукции. Для этого рассмотрим два случая, в каждом из которых физический механизм явления существенно разный.
1. Подвижный контур в стационарном магнитном поле.

Обратимся к контуру с подвижной перемычкой длиной l, находящемся в однородном магнитном поле, перпендикуляр- ном плоскости контура ( рис.2.1).

Рис.2.1
Приведем перемычку в движение со скоростью υ. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и носители тока в перемычке – электроны. На каждый электрон при этом будет действовать сила Лоренца, равная

. (2.3)

Электроны начнут перемещаться и создадут электриче- ское поле, которое возбудит ток и в остальных участках контура. Если силу F разделить на величину заряда, получим напряженность стороннего поля:

. (2.4)

По определению электродвижущей силы, она равна интегралу от напряженности стороннего электрического поля по замкнутому контуру, т. е. циркуляции вектора E:

,

учитывая, что , а , получим

где dФ – “заметаемый” проводником за времяdt магнитный поток.
2. Неподвижный контур в переменном магнитном поле

Рассмотрим теперь неподвижный замкнутый проводник, находящийся в переменном магнитном поле. Поскольку сила Лоренца в этом случае отсутствует, а других сил, действую- щих на заряды, кроме электрической, нет, то остается предположить, что при изменениях магнитного поля индукционный ток обусловлен возникающим в проводнике электрическим полем Е. Согласно Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению в пространстве вихревого электрического поля независимо от наличия контура. Контур лишь позволяет обнаружить по току существование электрического поля. Циркуляция вектора Е по контуру определяет ЭДС электромагнитной индукции

(2.5)

Так как а контур и поверхность неподвижны, то

(2.6)

В заключении отметим, что несмотря на различие механизмов возникновения ЭДС, закон электромагнитной индукции (2.1) выполняется в обоих случаях.
2.2. Явление самоиндукции. Индуктивность соленоида

Электромагнитная индукция наблюдается во всех случаях, когда изменяется магнитный поток сквозь контур. Если в некотором контуре течет изменяющийся ток, то магнитное поле тока также будет изменяться. Это повлечет изменение магнитного потока через контур и, следовательно, появление ЭДС индукции. Данное явление называется самоиндукцией.

Если в пространстве, где находится контур с током, нет ферромагнетиков, то в соответствии с законом Био-Савара величина магнитной индукции B и полный магнитный поток  будут пропорциональны силе тока. Это позволяет написать

. ( 2.7)

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Единица индуктивности в СИ называется Генри:

Индуктивность L зависит от геометрии контура и магнитных свойств окружающей среды.

Вычислим индуктивность соленоида. При протекании по соленоиду тока внутри него возбуждается магнитное поле, индукция которого равна

, (2.8)

где n = N/l – плотность витков.

Полный магнитный поток при этом будет

, (2.9)

где l – длина соленоида, S – площадь поперечного сечения, а V- его объем.

Таким образом, индуктивность соленоида

. (2.10)

При изменениях силы тока Iв контуре возникает ЭДС самоиндукции, равная

Если L = const, то

(2.11)

Знак минус показывает, что ЭДС самоиндукции всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока в соответствии с правилом Ленца.

Характерные проявления самоиндукции – экстратоки, возникающие при замыкании и размыкании электрических цепей с индуктивностью.

2.3. Расчёт токов при замыкании и размыкании цепей

с индуктивностью
1. Исчезновение тока при размыкании цепи

Пусть цепь состоит из катушки с индуктивностью L, резистора сопротивлением R, источника ЭДС и ключа К (рис.2.2). Когда ключ К находится в позиции 1, в цепи течет ток I = ξ /R (r<<R). В момент t = 0 ключ перебрасывается в позицию 2.

Ток в цепи начнет убывать и возникнет ЭДС самоиндукции, противодействующая убыванию тока. По закону Ома

(2.12)

При интегрировании уравне- ния по току от I₀ до I и по времени от 0 до t, получим

. (2.13)

где  = L/R – постоянная времени, называемая временем релаксации. Зависимость I(t) представлена кривой 1 на рис.2.3.
2. Установление тока при замыкании цепи

В момент t= 0 ключ К повернем в позицию 1 и тем самым к индуктивности подключим источник ЭДС. Ток в цепи начнет нарастать и снова возникнет ЭДС самоиндукции. По закону Ома

(2.14)

Интегрируя по t уравнение (2.14), получим

(2.15)

где I₀ - установившийся ток (при ). График зависимости I(t) представлен кривой 2 на рис. 2.3.

2.4. Взаимная индукция
Взаимной индукцией называется возникновение ЭДС индукции в одном контуре при изменении тока в другом, если они расположены в непосредственной близости друг от друга (рис.2.4).
Рис.2.4
Очевидно, что магнитный поток, создаваемый в контуре 1 током, текущим в контуре 2, пропорционален току в контуре 2:

. (2.16)

Аналогично, ток I₁создаётчерез контур 2 магнитный поток

(2.17)

Коэффициенты пропорциональности называются коэффициентами взаимной индукции. Они зависят от геометрии обоих контуров и их взаимного расположения, а также от магнитной проницаемости среды. Можно доказать, что при отсутствии ферромагнетиков L₁₂ = L₂₁ .

Рассчитаем взаимную индукцию двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник.

Если по первой катушке идёт ток I₁, то то магнитная индукция поля и магнитный поток этого тока в сердечнике тороида можно найти по формулам

, (2.18)

, (2.19)

где l – длина средней линии тороида, N₁ – число витков первой катушки, S – площадь сердечника.

Полный магнитный поток через вторичную обмотку, содержа- щую N₂ витков

. (2.20)

Согласно (2.17)

. (2.21)

Если µ не зависит от силы тока, то

. (2.22)

На явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов, служащих для повышения или понижения напряжения переменного тока.

Концы первичной обмотки трансформатора присоединяются к источнику переменного напряжения с ЭДС ξ₁. Возникающий переменный ток создаёт в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимной индукции, а в первичной ЭДС самоиндукции.

По закону Ома для первичной обмотки

. (2.23)

Пренебрегая падением напряжения на сопротивлении R₁, приближённо имеем

. (2.24)

ЭДС взаимной индукции во вторичной обмотке

. (2.25)

Из сопоставления выражений (2.24) и (2.25), получим

, (2.26)

где знак минус показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе.

Отношение , называется коэффициентом трансформации. Если κ >1, то трансформатор называется повышающим, если κ<1 – понижающий.

2.5. Энергия магнитного поля
Рассмотрим цепь, изображенную на рис.2.2. В положе- нии 1 ключа К в катушке установится ток, который обусловит магнитное поле. Если перебросить ключ в положение 2, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в катушке ЭДС самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна

(2.27)

Если индуктивность соленоида L=const, то

и . (2.28)

Интегрируя (2.28) от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время,

. (2.29)

Данная работа совершается за счет убыли энергии магнитного поля, следовательно, энергия поля соленоида, через который течет ток I, равна

(2.30)

Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. Так как

и ,

получим

(2.31)

Магнитное поле, а следовательно и его энергия, локализованы внутри соленоида. Отсюда для плотности энергии магнитного поля будем иметь

(2.32)

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно путём интегрирования найти энергию поля, заключённого в любом объёме

(2.33)

2.6. Примеры решения задач по законам электромагнитной индукции
Пример 1. В однородном магнитном поле (В = 0,2Тл) равномерно с частотой ν = 600 мин^-1вращается рамка, содержащая N= 1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см². Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.

Решение

Согласно закону электромагнитной индукции

где Ф = NBScosα – полный магнитный поток, пронизывающий рамку.

Рис.1.1

Рис.1.2

Рис.1.5

Рис.2.7

Рис.1.7

Рис.3.1

Рис.1.9

Рис.2.8

Рис.1.10

Рис.1.13 Рис.1.14 Рис. 1.15

Рис.1.16

Рис.1.17

I

Рис.1.12

ν

Рис.1.3 Рис.1.4

В=0

Рис.2.2

Рис.1.6

I₂,,I₄,,I₅>0

I_1,I₃<0

dS=ldxx

B_ост

При вращении рамки угол , образованный нормалью n к плоскости рамки и линиями индукции В, изменятся по закону

Подставив в закон электромагнит- ной индукции выражение магнит- ного потока и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Максимальное значение ЭДС определится при условии, что sin2πνt =1. таким образом,

.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

Произведем вычисление:

.
Пример 2. Соленоид содержит N =1200 витков прово- да, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 A магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию магнитного поля соленоида.

Решение

Индуктивность Lсвязана с потокосцеплением Ψ = LI.

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N:

Ψ = NФ.

На основании этих формул индуктивность соленоида

.

Энергия магнитного поля соленоида

Подставим в формулы для L и W значения физических величин и произведем вычисления:

.
Пример 3. Определить индукцию В и напряжённость Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N= 200 витков, идёт ток I =5 А. Внеш- ний диаметр d₁ тороида равен 30 см, внутренний d₂ = 20 см.

Решение

Для определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора вдоль линий магнитной индукции поля: .

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряжённости одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряжённость Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2πr, где r-радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т.е.

. (1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:

. (2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2) получим

. (3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2πrН =NI, откуда

. (4)

Для средней линии тороида r= (R₁+ R₂)/2= (d₁+ d₂)/4. Подставив выражение в формулу (4), найдём

. (5)

Магнитная индукция В₀в вакууме связана с напряжённостью поля соотношением В₀=μ₀Н. Следовательно,

. (6)

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим: Н =1,37 кА/м, В₀=1,6 мТл.
Пример 4. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l₀ = 5мм. Длина l средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I= 4А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл. Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Решение

Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем: IN= Hl + H₀l₀_. По графику (см. приложение 5) находим что при B = 0,5 Тл, напряжённость Н магнитного поля в чугуне равна 1,6 кА/м. Так как для воздуха μ = 1, то напря- жённость поля в воздушном зазоре 0,4 МА/м. Искомое число витков N = (Hl+H₀l₀) / I= 900.

3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Обобщив основные экспериментальные законы электри- чества и магнетизма, Максвелл создал единую теорию электромагнитного поля. В электродинамике теория Максвел- ла играет ту же роль, что и законы Ньютона в классической механике. Она позволила не только объяснить с единых позиций уже известные факты, но и предсказать существо- вание электромагнитных волн.

Принципиально новой идеей, выдвинутой Максвеллом, была идея о взаимных превращениях электрических и магнитных полей. Обобщая закон Фарадея для электро- магнитной индукции, Максвелл предположил, что изменяю- щееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, циркуляция вектора напряженности которого определяется уравнением

. (3.1)

В свою очередь, следует ожидать, что изменяющееся во времени электрическое поле, должно создавать переменное магнитное поле. Для установления количествен- ной связи между изменяющимся электрическим и вызванным им магнитным полями, Максвелл ввел понятие тока смещения. Рассматривая конденсатор в цепи переменного тока, он предположил, что ток проводимости замыкается в конденсаторе током смещения. Ток смещения представляет собой изменяющееся электрическое поле и не сопровожда- ется движением электрических зарядов, но он способен создавать магнитное поле, как и ток проводимости. Плотность тока смещения равна

, (3.2)

где  вектор электрического смещения.

Сумму тока проводимости и тока смещения называют полным током, его плотность равна

. (3.3)

Введение полного тока позволяет обобщить теорему о циркуляции напряженности магнитного поля, представив ее в виде

(3.4)

Из данного уравнения следует, что магнитное поле может возбуждаться не только движущимися зарядами, но и изменениями электрического поля, подобно тому, как электрическое поле может возбуждаться не только электри- ческими зарядами, но и изменениями магнитного поля.

К рассмотренным уравнениям (3.1 и 3.4) Максвелл добавил еще два уравнения, выражающие теорему Гауcса для векторов и электромагнитного поля

(3.5)

. (3.6)
Полученная система четырех интегральных уравнений выражает в наиболее компактной форме все основные законы электромагнитного поля. Из этих уравнений, подчеркнем это еще раз, следует, что источником электрического поля являются как заряды, так и изменяющееся со временем магнитное поле. В свою очередь, магнитное поле возбуждается либо движущимися зарядами (ток проводимости), либо переменным электрическим полем (ток смещения).

4. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
4.1. Механические колебания и волны
4.1.1. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Колебаниями называют процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени. Простейшими из них являются гармонические колебания, при которых колеблющиеся величины изменяются со временем по закону синуса или косинуса.

Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

, (4.1) где х- смещение системы от своего положения равновесия; A - амплитуда колебаний; - фаза колебаний; -начальная фаза ; -собственная циклическая частота.

График гармонических колебаний представлен на рис. 4.1.

Продифференцировав дважды уравнение (4.1) по времени найдём скорость и ускорение колеблющейся точки

, (4.2) . (4.3)

Рис. 4.1

Из (4.3), следует дифференциальное уравнение гармони- ческих колебаний

. (4.4)

Решением этого уравнения является выражение (4.1).
4.1.2. Энергия гармонического колебания

С учётом уравнения (4.3), сила действующая на материальную массой m, равна

, (4.5)

где - коэффициент упругости.

Упругая сила является консервативной, поэтому полная энергия механических колебаний остаётся постоянной:

Е = T+П= const.

Кинетическая энергия материальной точки, соверша- ющей прямолинейные гармонические колебания, с учётом уравнения 4.2, равна

(4.6)

или (4.7)

Потенциальная энергия материальной точки, соверша- ющей гармонические колеба- ния под действием упругой силы F, с учётом уравнения 4.5, равна

(4.8)

или

(4.9)

Частота изменения кинети- ческой и потенциальной энергий в два раза превышает частоту гармонических колеба- ний (см. рис.4.2).

Полная механическая энергия колеблющейся системы с учетом уравнений (4.7) и (4.9) равна

.

4.1.3. Математический и физический маятники
Идеализированные системы, в которых колебания возникают за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий и описыва- ются уравнением (4.4), называются гармоническими осцил- ляторами. Примерами гармонических осцилляторов являются пружинный, физический и математический маятники. Колеба- ния, возникающие в таких системах при отсутствии сил трения, называются собственными гармоническими колеба- ниями.

Математическим маятником называют идеализи- рованную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (рис.4.3).

Рис.4.3 Рис.4.4

При отклонении от положения равновесия на некоторый угол математический маятник начинает совершать свобод- ные колебания. В случае малых колебаний , диф- ференциальное уравнение колебаний математического маятника имеет вид

, (4.10)

где ; – длина математического маятника; – ускорение свободного падения.

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

, (4.11) где и – постоянные, определяемые начальными условиями возбуждения колебаний.

Таким образом, при малых колебаниях математический маятник колеблется по гармоническому закону. Период колебаний математического маятника равен

. (4.12)

Видно, что период зависит только от длины маятника , ускорения силы тяжести и не зависит от его массы.

Физический маятник – любое тело, подвешенное в точке, лежащей вне его центра тяжести(рис 4.4).

Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания. Обозначим через I момент инерции маятника относительно оси О, перпендикулярной плоскости чертежа (рис.4.4). Пусть точка С является центром тяжести. Силу тяжести P= mg можно разложить на две составляющие, одна из которых P₂ уравновешивается реакцией опоры.

Под действием другой составляющей

P₁= Psin = mgsinα (4.13)

маятник приходит в движение. Из основного закона динамики вращательного движения имеем

I = - mgl_csin , (4.14)

где , (4.15) угловое ускорение, l_c = СО – расстояние от точки подвеса до центра тяжести.

Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению отклонения маятника, т.е. стремится вернуть его в положение равновесия. При малых отклонениях можно считать, что sin, поэтому

Р₁mg . (4.16)

Подставив (4.15) и (4.16) в (4.14), получим

. (4.17)

Полученное дифференциальное уравнение является уравнением гармонического колебательного движения. Частота и период колебаний определяются из формул

(4.18)

Величина называется приведённой длинойфизического маятника, она численно равна длине математического маятника с периодом колебаний, равным периоду колебаний данного физического маятника.

Таким образом, период и частота колебаний физического маятника определяются выражениями

. (4.19)

4.1.4. Сложение гармонических колебаний одного направления. Биения

Результирующее движение точки, одновременно участвующей в нескольких колебаниях, во многих случаях является колебательным. Таким образом, можно говорить о сложении нескольких колебаний в одно результирующее.

Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами и различными фазами осущест- вляется с помощью вектора амплитуды, позволяющего свести сложение колебаний к сложению векторов. Вектор амплитуды представляет собой вектор, величина которого равна амплитуде гармонического колебания, а угол между его направлением и осью X определяется начальной фазой (рис.4.5). Если привести вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью , то его проекция на ось X будет изменяться со временем по гармоническому закону. Следовательно, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора амплитуды.

Рис.4.5 Рис.4.6

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, описываемых уравнениями:

, (4.20)

. (4.21)

Представим эти колебания с помощью векторов амплитуды A₁ и A₂ и построим вектор A, представляющий результирующие колебания (рис.4.6 ).

Результирующее колебание является гармоническим с частотой ω₀

, (4.22)

амплитуда которого и его начальная фаза определяются из векторной диаграммы:

, (4.23)

. (4.24)

Рассмотрим теперь два гармонических колебания, которые происходят в одном направлении, с близкими частотами ω и ω+Δω (Δω<<ω). Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы А₁=А₂=А, а начальные фазы колебаний α₁= α₂= 0.

(4.25)

Результирующее колебание x= x₁+ x₂, т.е.

x = А cosωt + А cos(ω+Δω)t =

=(4.26)

Учитывая что Δω<< ω, получим

. (4.27)

Так как изменяется значительно медленней, чем cosωt, результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда которого медленно

изменяется также по гармоническому закону с частотой . Такие колебания называются биениями (рис.4.7).

Рис.4.7

Уравнение биений имеет вид

(4.28)

Амплитуда колебаний равна , частота пульса- ций амплитуды (биений), равна разности частот складываемых колебаний (см. рис.4.7), а период биений .

4.1.5. Сложение взаимно перпендикулярных

колебаний. Фигуры Лиссажу

Пусть колебания одинаковой частоты совершаются вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей X и Y. Выберем начало отсчёта времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Запишем уравнения колебаний таким образом

, (4.29)

, (4.30)

где - разность фаз складываемых колебаний.

Исключив из данных уравнений параметр t, получим уравнение траектории результирующего колебания.

. (4.31)

Уравнение (4.31) представляет собой уравнение эллипса, произвольно ориентированного относительно координатных осей X и Y.

Рассмотрим частные случаи:

1) При = 0 уравнение (4.31) принимает вид

. (4.32)

Колеблющаяся точка (рис.4.8а) перемещается по прямой, причём расстояние от начала коор- динат изменяется по закону

. (4.33)

Таким образом, результирую- щее колебание является гармони- ческим.

2) При результирую- щее колебание так же является гармоническим и совершается вдоль прямой (рис.4.8б), описываемой уравнением

. (4.34)

3) При уравне- ние (4.31) становится уравне- нием эллипса, приведённого к координатным осям

. (4.35)

Направление обхода эллипса определяется знаком перед π/2 (рис.4.8в). При равенстве Рис.4.8.

амплитуд эллипс вырождается в окружность.

При сложении взаимноперпендикулярных гармониче- ских колебаний с кратными частотами, траектории движения точки имеют вид сложных кривых – фигур Лиссажу, вид которых зависит от соотношения частот, и разности фаз складываемых колебаний.

Например, при сложения двух колебаний с частотами ω и 2ω и разностью фаз Δφ₁=0 и Δφ₂= π/2, соответствующие фигуры Лиссажу показаны на рис.4.9а и рис.4.9б.

.

Рис.4.9

По виду фигуры Лиссажу можно определить соотношение частот и разность фаз складываемых колебаний.
4.1.6. Затухающие колебания и их характеристики
Рассмотрим реальную механическую систему (например, пружинный маятник), в которой действуют силы трения. Считая силу трения пропорциональной скорости, закон движения пружинного маятника запишется в виде

, (4.36)

где r- коэффициент сопротивления, k-коэффициент упругости.

Уравнение (4.36) может быть приведено к стандартному виду, представляющему дифференциальное уравнение затухающих колебаний

, (4.37)

где = r/2m - коэффициент затухания; - собственная частота колебаний системы.

Решение уравнения (4.37) имеет вид

, (4.38)

где - частота затухающих колебаний.

График функции (4.38) показан на рис. 4.10. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по закону

, (4.39)

а период колебаний определяется формулой

. (4.40)

С ростом β период затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при критическом коэффициенте затухания . При процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения равновесия система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис. 4.11).

Рис.4.10 Рис.4.11

Рис. 2.9.
Основные характеристики затухающих колебаний:

1) время релаксации  - время, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

. (4.41)

2) логарифмический декремент затухания, представля- ющий логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е.

, (4.42)

где N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.

3) добротность колебательной системы

, (4.43)

где E - энергия системы в момент времени t; -убыль энергии за один период колебаний.
4.1.7. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. С учётом вынуждающей силы закон движения пружинного маятника запишется в виде

. (4.44)

После преобразования получим неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания:

, (4.45)

где .

Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

, (4.46) где , а A₀ и - произвольные постоянные.

Частное решение неоднородного уравнения (4.45) имеет вид

, (4.47) где , (4.48)

. (4.49)

Функция (4.47) в сумме с (4.46) даёт общее решение уравнения (4.45), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (4.46) играет значитель- ную роль в начальной стадии процесса при установлении колебаний. С течением времени его роль из-за экспонен- циального множителя всё больше уменьшается и им можно пренебречь

.
Графически вынужденные колебания представлены на рисунке 4.12.

Рис. 4.12
В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой _в и являются гармоническими, амплитуда и фаза которых определяются выражениями (4.48) и (4.49).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некоторой частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой.

Из условия максимума функции (4.48) найдём

, (4.50)

а амплитуда колебаний при резонансе определяется из выражения

. (4.51)

Резонансные кривые при различных значениях коэф- фициента затухания представлены на рисунке 4.13. Чем меньше тем выше и правее лежит резонансный максимум. Если , то все кривые приходят к одному и тому же значению , так называемому статическому отклоне-нию.

β₃> β₂> β₁

Рис. 4.13

Резонансная амплитуда связана с добротностью колебатель- ной системы следующим соотношением

. (4.52)

Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем острее и выше резонансная кривая.

4.1.8. Распространение волн в упругих средах.

Уравнение бегущей волны

Процесс распространения колебаний в упругой среде, периодический во времени и в пространстве, называется механической волной. Распространение волн не связано с переносом вещества. Частицы среды, в которой распространя- ется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесий. От одних участков среды к другим переносятся только энергия и импульс.

Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикуляр- ных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей упругостью формы, т.е. способностью сопротив- ляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твёрдых телах. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды, поэтому они могут распространяться как в твёрдых телах, так и в жидкостях и в газах. Скорости распространения поперечных и продольных механических волн в твёрдых телах определяются выражениями :

, (4.53)

, (4.54)

где G – модуль сдвига, Е – модуль Юнга, ρ – плотность тела.

В газообразных средах распространяется только продольная волна

, (4.55)

где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, μ- молекулярная масса газа.

Волна называется синунусоидальной, если соответ- ствующие ей колебания частиц среды являются гармониче- скими. График зависимости смещения частиц среды , участвующих в волновом процессе, от расстояния x этих частиц до источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени представлен на рисунке 4.14. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны  равна такому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период, т.е.

. (4.56)

Рис.4.14

Зависимость смещения колеблющейся точки от координат и времени устанавливается уравнением волны.

В случае плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, уравнение имеет вид

, (4.57)

где х/υ = τ - время прохождения волной расстояния от источника (х = 0) до частицы с координатой х.

Или в стандартной форме

, (4.58)

где - волновое число.

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается только знаком члена kх.

Уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В общем случае волновое уравнение имеет вид

. (4.59)
4.1.9. Стоячие волны
Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу. Практически, стоячие волны возникают при отражении волн от преград.

Пусть уравнения бегущей и отражённой волны имеют вид:

.

Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны

, (4.60)

Из (4.60) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой , т.е. с частотой бегущих волн и амплитудой

, (4.61)

являющейся периодической функцией координаты х.

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны.

Значения координат пучностей

, (m =1,2,3...). (4.62)

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением

. (4.63)

Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно

, (4.64)

и называется длиной стоячей волны.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковы- ми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны представлено на рисунке 4.15.

Рис.4.15

В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну падающие и отражённые волны перено- сят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени, она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциальную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений.
4.2. Электромагнитные колебания и волны
4.2.1. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

Простейший колебательный контур состоит из конденсатора электроёмкостью С и соединённой с ним последовательно катушки индуктивности L (рис.4.16). При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в контуре возникнут электромагнитные колебания. Конденсатор начи-

нает разряжаться, в катушке появляется нарастающий ток, создающий магнитное поле. Изменяющееся магнитное поле приводит к возникновению ЭДС самоиндукции, которая сначала замедляет скорость разрядки, а после того как конденсатор разрядился, начинает поддер- живать ток в прежнем направле- нии. В результате происходит перезарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начнётся снова, но в обратном направлении и т.д.

Дифференциальное уравнение, описывающее собствен- ные колебания в контуре, можно получить на основе закона Ома для неоднородного участка цепи:

IR = φ₁ – φ₂ + ε₁₂, (4.65)

где φ₁ и φ₂- значения потенциалов на обкладках конденсатора;  - ЭДС самоиндукции, возникающая в контуре.

С учётом того, что R=0 , ; и

, уравнение (4.65) принимает вид

, . (4.66)

После замены получим стандартное дифферен- циальное уравнение, описывающее собственные гармони- ческие колебания

. (4.67)

Собственная частота и период гармонических колебаний удовлетворяют формуле Томсона

_{. (4.68)}

_{Заряд конденсатора}_q_,_{напряжение}_{на обкладках конденсатора}_U_{и сила тока в катушке изменяются по законам}

, (4.69)

, (4.70)

. (4.71)

где - амплитуда напряжения, - амплитуда силы тока.

При собственных колебаниях в контуре происходит периодическое преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени

. (4.72)

4.2.2. Затухающие колебания и их характеристики
Реальный колебательный контур всегда обладает активным сопротивлением R. Вследствие этого часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло, а амплитуда колебаний постепенно уменьшается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний на основании(4.65) и с учётом, что , , , принимает вид

. (4.73)

После замены

(4.74)

получим стандартное дифференциальное уравнение, описы- вающее затухающие колебания

. (4.75)

Здесь – коэффициент затухания, ω₀ – собственная частота свободных незатухающих колебаний (т.е. при R=0).

Решение дифференциального уравнения (4.75) имеет вид

, (4.76)

г

де , (4.77)

- частота затухающих колебаний в реальном контуре.

График затухающих колебаний представлен на рис.4.17. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по экспо- ненциальному закону

, (4.78)

а период колебаний определяется выражением

. (4.79)

С увеличением R, а следовательно, и β, период затухающих колебаний растёт,стремясь к бесконечности при

. (4.80)

Это означает, что при колебательный разряд переходит в апериодический процесс (рис.4.18). Значение R_кр называется критическим сопротивлением.

Важнейшей характеристикой контура является его добротность. При малых значениях логарифмического декремента затухания, добротность контура определяется выражением:

. (4.81)

4.2.3. Вынужденные колебания в контуре. Резонанс
Для осуществления вынужденных электромагнитных колебаний нужно включить последовательно с элементами контура источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону (рис.4.19).

U = U₀cosω_вt . (4.82)

Тогда формула (4.65) примет вид

. (4.83)

Произведя преобразования, получим стандартное диффе- ренциальное уравнение вынуж- денных электромагнитных колебаний.

. (4.84)

В случае установившихся колебаний решение дифферен- циального уравнения имеет

q = q₀cos(ω_вt + ψ), (4.85)

гдеψ – сдвиг фаз между зарядом на обкладках конденсатора и переменной ЭДС.

Следовательно, в установившемся режиме, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающего напряжения ω_в и являются гармоническими, амплитуда и фаза которых определяется выражениями

, (4.86)

. (4.87)
Резонансные кривые для заряда (напряжения на конденсаторе) аналогичны резонансным кривым при механических колебаниях (см. рис.4.13), а резонансная частота определяется по формуле (4.50).

Продифференцировав (4.85) по t, найдем силу тока в контуре

I = - q₀ω_в sin(ω_в t + ψ) = I₀cos(ω_в t + ψ + π/2),

где I₀ = q₀ω_в – амплитуда тока.

Запишем это выражение в виде

I = I₀cos(ω_вt – φ), (4.88)

где φ = -(ψ + π/2) – сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.

Тогда в соответствии с (4.86) и (4.87)

, (4.89)

. (4.90)

Из формулы (4.90) следует, что ток отстаёт по фазе от вынуждающего напряжения в том случае, когда , и опережает, когда . При условии сдвиг фаз равен нулю, а амплитуда тока достигает максимального значения.

Разделив выражение (4.85) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

, (4.91)

где

. (4.92)

Умножив производную функции (4.88) на L, получим напряжение на индуктивности:

(4.93)

где . (4.94)

Сопоставление формул (4.88), (4.91) и (4.93) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2 , а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2 .

Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Фазовые соотношения можно представить очень наглядно с помощью векторной диаграммы (рис. 4.20).

Резонансная частота для заряда и напряжения на конденса- торе равна

. (4.95)

Р
2
езонансные кривые для U_сизображены на рис.4.21 . При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой U_Cm= U₀ – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U_0. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше β = R/2L.

Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 4.22. Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при .

R₁ < R₂ < R₃
R₁

R₂

R₃

Рис. 4.21

Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура

. (4.96)

При ω→0, I = 0, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

Резонансные свойства контура характеризует доброт- ность Q, которая показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение, т.е.

(4.97)

При малых затуханиях ω_рез ≈ ω₀и

(4.98)

Таким образом, добротность обратно пропорциональна активному сопротивлению контура.

Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. На рис. 4.23 изображена одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты ω₁и ω₂ соответствуют току .

Рис.4.23

Относительная ширина резонансной кривой равна величине обратной добротности контура, т. е.

(4.99)
Рис. 4.23

5

Явление резонанса используют для выделения из сложного напряжения, равного сумме нескольких синусо- идальных напряжений, нужной составляющей. Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту _i , можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляю- щими, будет слабым. Таким образом, осуществляется, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны.
4.2.4. Электромагнитные волны
Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла для электромагнитного поля (3.1, 3.4.--3.6.). Если возбуждать с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то возникает последо- вательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся в окружающем пространстве от одной точке к другой. Этот периодический во времени и пространстве процесс и представляет собой электромагнитную волну.

Фазовая скорость электромагнитных волн в различных средах определяется формулой

, (4.100)

где - скорость электромагнитных волн в вакууме.

Электромагнитные волны являются поперечными, поскольку векторы и напряжённости электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распростра- нения волны, образуя правовинтовую систему (рис.4.24). При этом векторы и колеблются в одинаковых фазах, а их мгновенные значения в любой точке связаны соотношением

. (4.101)

Уравнения плоской монохроматической электромагнитной волны имеют вид

, (4.102)

, (4.103)

где ω- частота волны, k = ω/υ = 2π/λ – волновое число, α-

начальная фаза колебаний.

Рис.4.24

Электромагнитные волны переносят энергию. Объёмная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме объёмных плотностей энергии электрических и магнитных полей, т.е.

. (4.104)

Интенсивность монохроматической электромагнитной волны, равная энергии переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную скорости распро- странению волны, определяется выражением

, (4.105)

где <ω> - среднее за период значение объёмной плотности энергии.

Поскольку <ω> прямо пропорционально квадрату амплитуды напряжённости электрического поля, то и

I