Файл: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо "Воронежский государственный технический университет ".doc

Решение

Общий вид уравнения затухающих колебаний в контуре запишем в виде:

, (1)

где ,

.

Начальную фазу и амплитудное значение заряда

определим из начальных условий. Учитывая, что при , получаем

. (2)

Взяв производную по t от выражения (1), найдём закон изменения силы тока

. (3)

Так как при иI = 0,получаем

.

Откуда и .
Наконец, из (2) находим

.

С учётом найденных параметров уравнения (3) определим силу тока в контуре в момент времени , .


Пример 10. В цепи, состоящей из последовательно соединённых резис- тора , катушки индуктив- ностью и конденсатора ёмкостью , действует синусо- идальная ЭДС. Определите частоту ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти действующие значения силы тока I и напряжений U_R , U_L , U_C на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение ЭДС .

Решение

Под действием переменной ЭДС в цепи установятся вынужденные колебания. При этом амплитудные значения тока и ЭДС связаны соотношениями

.

В соответствии с формулами, связывающими амплитуд- ные и действующие значения токов и напряжений ( , ), данное соотношение имеет аналогичный вид и для действующих значений:

.

Максимальному току при резонансе соответствует такое значение ,при котором выполняется условие

, откуда .

При этом сила тока . Зная силу тока , найдём действующие значения напряжения на каждом из элементов контура. В соответствии с законом Ома для каждого из участков получим:

,

,

Равенство следует из равенства при резонансе.

5. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
5.1. Световая волна. Когерентность и монохроматичность световых волн
Свет представляет собой электромагнитную волну, в которой происходят колебания векторов напряженности электрического и магнитного полей. Однако, как показывает опыт, различные действия света (физиологическое, фото- химическое, фотоэлектрическое и др.) вызываются колеба- ниями электрического вектора. Поэтому в дальнейшем этот вектор будем называть световым вектором, а плоскую световую волну описывать лишь одним уравнением

(5.1)

где A-амплитуда светового вектора, - частота колебаний, - волновое число.

Длины и частоты видимого света лежат в пределах и .

Скорость распространения света в вакууме есть одна из важнейших констант физики и равна . В других средах она меньше и определяется по формуле

---

, (5.2)

где n-показатель преломления среды.

Для всех прозрачных сред , поэтому .

При переходе света из одной среды в другую частота колебаний ν в световой волне сохраняется, но длина волны изменяется

. ( 5.3)

Средний по времени световой поток через единицу поверхности площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны, носит название интенсивности света. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световой волны

(5.4)

где n-показатель преломления среды.

Световая волна, описываемая уравнением (5.1), называется монохроматической. Однако, ни один реальный источник (исключая лазерный) не даёт строго монохромати- ческого света. Реальное излучение содержит в себе ни одну определённую частоту, а некоторый набор частот. Чем уже интервал частот ∆ν, тем более монохроматичным оно является.

Причина немонохроматичности излучения всякого источника, кроме лазерного, заключается в самом механизме испускания света. Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых атомами. Излучение отдельного атома продолжается τ ≈ . За это время образуется цуг протяжён- ностью . Одновременно излучает большое количество атомов. Возбуждаемые ими цуги, налагаясь друг на друга, образуют световую волну. Фаза реальной световой волны изменяется с течением времени, поскольку излучение одной группы атомов сменяется излучением другой. Время, за которое случайные изменения фазы в световой волне достигают значение , называют временем когерентности. За это время волна становится некогерентной к самой себе. Таким образом, время когерентности гораздо меньше времени излучения одного цуга.
5.2. Интерференция света
5.2.1. Условия максимума и минимума интерференции
Явление интерференции состоит в наложении световых волн с перераспределением светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других минимумы интенсивности.

Необходимые условия интерференции:

- когерентность световых волн, т.е. равенство частот и постоянство разности фаз;

- поляризация световых волн в одной плоскости, т.е. чтобы колебания светового вектора интерферирующих волн совершались вдоль одного и того же направления.

Волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, всегда некогерентны и не являются поляризованными. Причина заключается в механизме испускания света атомами светящегося тела. Поэтому для осуществления интерференции необходимо волну, излучаемую реальным источником, разделить на две и заставить их пройти различные оптические пути, а затем наложить друг на друга.

---

Оптическим путем называется произведение показа- теля преломления средына геометрическую длину пути луча в данной среде:

(5.5)

Разность оптических длин, проходимых волнами путей, называется оптической разностью хода:

. (5.6)

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О, а наложение волн в точке Р (рис.5.1). Если - фаза колебания в точке О, тогда первая волна возбудит в точке Р колебание

, (5.7)

а вторая – колебание

, (5.8) где и - фазовые скорости волн, и - амплитуды световых волн.

Амплитуда результирующего колебания

, (5.9)

где , .

Разность фаз колебаний в точке Р равна

Учитывая, что , а , получим

. (5.10)

Если разность фаз кратна , то в точке Р колебания усиливают друг друга

,

отсюда следует условие максимума интерференции

, (5.11)

где =0,1,2…

Если кратна нечетному числу , то колебания ослабляют друг друга

,

о
Рис. 2.3
тсюда получаем условие минимума интерференции

, (5.12)

где
5.2.2. Способы получения когерентных световых волн
а) Метод зеркал Френеля


Рис. 2.2
Два плоских зеркала OM и ON располагают так, что их отража- ющие поверхности образуют угол, близкий к (рис.5.2). Парал- лельно линии пересечения зеркал на расстоянии помещают прямо- линейный источник света . Зеркала отбрасывают на экран две цилиндрические когерентные волны, распространяющиеся так, как если бы они исходили из мнимых источников и . Область, в которой волны перекрываются, называется полем интерференции.
б) Бипризма Френеля


Бипризма представляет собой две призмы с малыми преломляющими углами α , сложенные своими основаниями (рис.5.3). Парал- лельно основанию на расстоянии от него располагается прямо- линейный источник света S. Падающий от него пучок света вследствие преломления в бипризме разделяется на два перекрывающихся пучка, как бы исходящих из двух мнимых источников и .

в) Метод Юнга.


Источником когерентных волн являются две узкие щели и в непрозрачном экране А (рис.5.4). Первичным источ- ником света служит ярко освещенная щель S, которая параллельна щелям и и находится от них на одина- ковом расстоянии.
5.2.3. Расчет интерференционной картины

от двух когерентных источников

Рис. 2.5
Рассмотрим две цилиндрические когерентные световые волны, исходящие из источников и , имеющих вид параллельных светящихся тонких нитей или узких щелей (рис.5.5). Наблюдаемая на экране интерференционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных полос, параллель- ных щелям. Найдем ширину полос, предполагая, что экран параллелен плоскости, проходящей через источники и .

---

Рис. 2.6

y

Положение точки на экране будем характеризо- вать координатой y. За начало отсчета выберем точку О, относительно кото- рой и расположены симметрично. Пусть .

Из рис. 5.5 следует, что

, (5.13)

. (5.14)

Вычтем (5.14) из (5.13). Получим:

. (5.15)

Или

.

Откуда

. (5.16)

Четкая интерференционная картина наблюдается вблизи середины экрана. Поэтому, можно считать, что , а . Тогда

. (5.17)

В среде с показателем преломления , . Следовательно

(5.18)

Подставив (5.18) в условие максимума (5.11) и минимума интерференции (5.12), получим координаты максимумов и минимумов интенсивности

, (5.19)

. (5.20)

Расстояние между соседними максимумами или миниму- мами называют шириной интерференционной полосы

(5.21)

При постоянных и уменьшение расстояния между источниками приводит к уширению полосы, т.е. картина становится более четкой.
5.2.4. Интерференция в тонких пленках

Рис. 2.7
Пусть на тонкую прозрачную пленку с показателем преломления n и толщиной d падает плоская монохрома- тическая волна, представленная лучом 1 (рис. 5.6).


экран


n₂>n₁


Рис.5.6

Интерференция возникает в результате наложения когерентных волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки (лучи и ).

Оптическая разность хода лучей и возникает на пути от точки М до плоскости АВ, которая представляет собой фронт отраженных волн,

. (5.22)

Потеря полуволны происходит в точке М за счет отражения от более плотной среды.

Так как , а ,

то

. (5.23)

Из закона преломления света следует, что .

С учетом последнего получим

, (5.24)

или

. (5.25)

На экране будет наблюдаться максимум интенсивности отраженных лучей, если или

, (5.26)

где

Условием минимума интенсивности является

, (5.27)

_где
Интерференция в тонких пленках наблюда- ется не только в отражен- ном, но и в проходящем свете. Оптическая раз- ность хода для проходя- щего света отличается от для отраженных лучей (5.25) на .

Следовательно, максиму- мам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем свете и наоборот.
5.2.5. Полосы равной толщины. Кольца Ньютона
Пусть прозрачная пленка имеет форму клина с углом при вершине . На нее падает плоская волна, ограниченная параллельными лучами 1 и 2 (рис.5.7), которые отразившись от верхней и нижней поверхностей клина будут интерфе- рировать в точках M и N. При небольшом угле оптическую разность хода интерферирующих лучей можно вычислить по формулам (5.24) и (5.25). При этом под

---

d понимают толщину клина в месте падения светового луча, а под - угол падения н
а нижнюю поверхность клина. Если расположить экран так, чтобы он был сопряжен с поверхностью, проходящей через точки M и N, то на нем возникнет система светлых и темных полос. Каждая из полос образуется за счет отражения от мест пленки (пластинки), имеющей одинаковую толщину. Поэтому интерференционная картина носит название полос равной толщины.

Частным случаем полос равной толщины являются кольца Ньютона.

Они наблюдаются при отражении света от соприкасаю- щихся друг с другом плоскопараллельной толстой стеклянной пластины и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны. Роль тонкой пленки, от поверхностей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (рис.5.8). При падении света по нормали к пластинке , тогда при выражение (5.24) для оптической разности хода примет вид

. (5.28)

Второе слагаемое в формуле (5.24) берется со знаком плюс, так как потеря полуволны происходит при отражении от нижней поверхности клина.

Из рис. 5.8 следует, что

,

где - радиус кольца Ньютона, всем точкам которого соответствует зазор , -радиус кривизны линзы.

Ввиду малости величиной пренебрегаем по сравне- нию с . Тогда получим

. (5.29)

Выражение (5.28) для оптической разности хода примет вид

. (5.30)

В точках, для которых , возникнут максимумы, а в точках, для которых - минимумы интенсивности.

Из условия интерференции определим радиусы светлых колец Ньютона:

,

отсюда радиусы светлых колец в отраженном свете

, (5.31)

Аналогично

,

отсюда радиусы темных колец в отраженном свете

, (5.32)

При наблюдении интерференции в проходящем свете потери полудлины волны не происходит и разность хода между интерферирующими лучами

. (5.33)

При этом радиусы светлых и темных колец в проходящем свете определяются соответственно формулами

, (5.34)

, (5.35)

Правильная форма колец Ньютона легко искажается при всяких незначительных дефектах в обработке выпуклой поверхности линзы и верхней поверхности пластины. Поэтому наблюдение за формой колец Ньютона позволяет осуществлять быстрый и точный контроль качества шлифовки плоских пластин и линз.

5.2.6. Применение интерференции

a) Интерферометры


Явление интерференции света используется в ряде весьма точных измерительных приборов, получивших название интерферо- метров. На рисунке 5.9 представ- лена принципиальная схема

---