Файл: Расчетнографическое задание по общей физике 1.doc

, (7.1)

где Дж/К – постоянная Больцмана, - масса молекулы. Более удобно работать с безразмерной скоростью , где, - наиболее вероятная скорость, Дж/мольК, - молярная масса газа. Тогда распределение Максвелла принимает простой вид
(7.2)
Решение

Кинетическая энергия молекулы состоит из поступательной и вращательной энергий, суммарное значение которых равно 1 эВ. Атом гелия имеет 3 степени свободы. По закону равнораспределения на одну степень свободы молекулы приходится средняя энергия

(7.3)

Поэтому для атомов гелия мы имеем

(7.4)

тогда температура, при которой энергия атомов гелия равна 1 эВ будет определяться из следующей цепочки



Относительная доля молекул идеального газа, чьи скорости лежат в диапазоне от до из распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), заданного (7.1).

Для того, чтобы найти долю частиц, у которых скорости находятся в диапазоне от до , необходимо вычислить интеграл

(7.5)
Вычислим скорости

---

(7.6)
(7.7)

Итак, скорости равны , . Для вычисления интеграла (7.5) используем простейшую квадратурную формулу прямоугольников

(7.8)

реализованную в виде псевдокода

begin\\

q=1.6e-19;\\

k=1.38e-23;\\

E0=1*q;\\

i=3;\\

T1=2*E0/3/k\\

nu=0.25\\

u1=sqrt(1.3*(1-nu))\\

u2=sqrt(1.3*(1+nu))\\

N=500\\

du=(u2-u1)/N;\\

sums=0\\

for j=1:N\\

u=u1+j*du;\\

sums=sums+u*u*exp(-u*u);\\

end\\

DW=4*du*sums/sqrt(pi)\\

% Распределение молекул газа по скоростям

v1=0\\

v2=4\\

N=100\\

dv=(v2-v1)/N;\\

sums=0\\

for j=1:N\\

u=v1+j*dv;\\

v(j)=u;\\

f(j)=4*u*u*exp(-u*u)/sqrt(pi);\\

sums=sums+f(j);\\

end\\

DW0=dv*sums\\

end\\
Выполняя расчет (8.8), получаем .
Построим график



Рис.7.1.Распределение молекул газа по скоростям
Анализ решения
Оценивая «на глаз» заштрихованную площадь и полученное численное значение вероятности , убеждаемся, что в грубом приближении заштрихованная площадь занимает примерно пятую часть всей площади под кривой плотности распределения , соответственно, численное решение согласуется с графическим представлением. Более точно, площадь области, выделенной на рис.1, равна 0.228.
Ответ: К, %.
***

7.1. Энергию атомных и субатомных частиц часто измеряют в электрон-вольтах, 1 эВ = 1.6×10^-19 Дж. Найти, при какой температуре средняя кинетическая энергия молекулы азота равна 1 эВ. Определить, при какой температуре 25% всех молекул имеют кинетическую энергию, превышающую 1 эВ. Постройте график зависимости

---

(см. пример 7.1), отметьте (заштрихуйте) искомую область.

7.2. Азот массой 12 г находится в закрытом сосуде при температуре 300 К. Какое количество теплоты необходимо передать азоту, чтобы средняя квадратичная скорость молекул возросла в 2 раза? Привести поясняющий рисунок и указать основные параметры.

7.3. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при температуре 300 К. Вычислить среднюю квадратичную угловую скорость вращения молекулы, если ее момент инерции равен 2.1 10^-46 кг м². Привести поясняющий рисунок и указать основные параметры.

7.4. В вакуумном диоде электроны, эмитируемые накаленным катодом, попадают в задерживающее поле анода. До анода доходят лишь достаточно быстрые электроны. Считая, что тепловые скорости эмитируемых (вышедших из катода) электронов распределены по закону Максвелла с температурой 1150 К, определить долю электронов, преодолевающих задерживающий потенциал а) 0.2 В, б) 0.4 В. Катодом является тонкая прямолинейная нить, натянутая по оси цилиндрического анода. Привести поясняющий рисунок и указать основные параметры.

7.5. Найти отношение числа молекул водорода, скорости которых лежат в пределах от 3000 м/с до 3050 м/с, к числу молекул, имеющих скорости в пределах от 1550 м/с до 1600 м/с, если температура водорода 573 К. Постройте график зависимости (см. пример 7.1), отметьте (заштрихуйте) искомые области, сравните их между собой и результатами расчетов.

7.6. Какая часть молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наивероятнейшей не больше чем на 25 м/с при температурах 273 К и 573 К? Постройте график зависимости (см. пример 7.1), отметьте (заштрихуйте) искомые области, сравните их между собой и результатами расчетов.

7.7. Определить отношение числа молекул водорода, обладающих скоростями в интервале от 2500 м/с до 2600 м/с, к числу молекул, обладающих скоростями от 1500 м/с до 1600 м/с, если температура водорода 273 К. Постройте график зависимости (см. пример 7.1), отметьте (заштрихуйте) искомые области, сравните их между собой и результатами расчетов.

7.8. Найти полное число молекул и их вес в столбе атмосферы с основанием 1 см

---

² , если концентрация молекул у земли n⁰ = 2.6910¹⁹ см^-3 при Т = 273 К,  = 0.029 кг/моль. Привести поясняющий рисунок и указать основные параметры.

7.9. Оценить порядок величины полного числа молекул в атмосфере Земли, считая, что плотность молекул описывается барометрической формулой при постоянной температуре Т=273 К, а радиус Земли равен 6370 км. Привести поясняющий рисунок и указать основные параметры.

7 .10. (См.[3]) Дымовая труба высотой 150 м выпускает дым при температуре К. Определить перепад давления на входе в трубу, обеспечивающий тягу. Температура и давление наружного воздуха К и Па, соответственно. Построить график зависимости перепада давления от температуры газов в трубе при фиксированной температуры и давлении наружного воздуха. Привести поясняющий рисунок и указать основные параметры.

7.11. Для определения числа Авогадро Перрен измерял распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел , что отношение количества частиц в слоях, отстоящих друг от друга на расстоянии 30 мкм, равно 2.08. Плотность частиц 1194 кг/м³, воды 1000 кг/м³. Радиусы частиц 0.212 мкм. На основании этих данных вычислите число Авогадро. Температура воды 18^о С. Привести поясняющий рисунок и указать основные параметры.

7.12. Вычислить наиболее вероятную энергию молекул в идеальном газе и показать, что эта энергия не равна . Привести поясняющий рисунок и указать основные параметры.

8. Явления переноса
Пример 8.1 Теплопроводность. Сколько теплоты протекает через окно с двойной рамой за один час, если окно имеет размеры 0.76х1.12 м? Толщина слоя воздуха между рамами 0.16 м, температура наружнего воздуха –350 С, а внутри дома 200 С.

---

Теплопотери через окно можно вычислить на основе эмпирического закона Фурье (см., например, [7] с.86)
(8.1)

Здесь Q - количество теплоты, переданное через окно, площадью . В качестве разумного предположения примем, что градиент температуры является постоянной величиной, тогда
(8.2)

где . На самом деле (9.2) есть выражение для среднего градиента температуры. Он в принципе не может быть постоянным вдоль оси X, поскольку коэффициент теплопроводности зависит от температуры, а поток тепла, разумеется, одинаков в любом поперечном сечении. Таким образом, также должен быть усреднен.

Теплопроводность воздуха является одной из важнейших характеристик, используемых при проектировании различных сооружений, в двигателестроении, в химической технологии и т.п., поэтому имеются обширные таблицы этой величины, измеренной при различных давлениях и температурах. Воспользуемся опытными данными, взятыми из справочника [8] (с. 345) и приведенными в Приложении. Как видно из рис.А.1 зависимость от температуры хорошо аппроксимируется линейной функцией
(8.3)

где значения и находим из таблицы А.1. с помощью интерполяции Лагранжа (см. Приложение, (А.1) )
, Вт/(м·К)

, Вт/(м·К)

При линейной зависимости среднее значение коэффициента равно полусумме значений на границах интервала и

---