Файл: 1. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами. Теоретикомножественные тождества.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.12.2023

Просмотров: 76

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Операции над

множествами. Теоретико-множественные тождества.

Объекты, составляющие множество, называют его элементами. Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита ( ), элементы множеств – строчными буквами ( ).

Если каждый элемент множества входит в множество , то называется подмножеством . При этом пишут: или .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (обозначается). Множество называется истинным, если оно не пустое.

Из определения подмножества следует, что каждое множество является подмножеством самого себя: . Кроме того, считают, что пустое множество есть подмножество любого множества : .

Различают два вида подмножеств множества : само и называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества, если они существуют, – собственными.

В теории множеств для удобства и краткости записей используют специальные обозначения:

– квантор общности (означающий «любой», «для всех», «каков бы ни был»);

– квантор существования (означающий «существует», «найдется», «можно найти»);

– импликация (символ следствия, означающий «влечет за собой).

С помощью этих символов условие запишется так:

.

Множество называется эквивалентным множеству (обозначается ), если между элементами и можно установить взаимно однозначное соответствие. Различают конечные и бесконечные множества. Число элементов множества называется его мощностью или кардинальным числом и обозначается. Таким образом, конечное множество, содержащее элементов, имеет мощность . Если эквивалентно множеству натуральных чисел , то его называют счетным и его мощность обозначается через . Множество , эквивалентное множеству действительных чисел , называется континуальным, а его кардинальное число c – мощностью континуума.

Способы задания множеств

Задание множества с использованием общепринятых обозначений. Для числовых множеств имеем: – множество натуральных чисел; – множество целых чисел; – множество рациональных чисел; – множество действительных чисел; – множество комплексных чисел.


Задание множества перечислением его элементов. Конечное множество можно задать перечислением его элементов и записать в виде

.

Например, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество десятичных цифр.

Задание множества с помощью характеристического свойства его элементов. Характеристическое свойство – это свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Этот способ применим для конечных и бесконечных множеств.

Пусть – утверждение, заключающееся в том, что элемент обладает свойством . Тогда запись

означает, что рассматривается множество всех элементов , обладающих свойством .

Например, отрезок [0, 1] действительной прямой можно определить следующим образом

.

Рекурсивное задание множества. Этот способ заключается в следующем:

1. Указываются некоторые исходные элементы, входящие в множество.

2. Описывается механизм, позволяющий получить новые элементы из имеющихся.

3. Объявляется, что в множестве нет никаких других объектов кроме тех, которые можно получить из исходных, применяя описанный в п. 2 механизм.

Например, множество можно задать рекурсивно:

1. .

2. .

3. – наименьшее подмножество натурального ряда, удовлетворяющее условиям 1 и 2.

Условие 3 определяет как пересечение всех множеств, удовлетворяющих условиям 1 и 2.

Теория множеств, рассматриваемая без ограничений на способы задания множеств, называется наивной теорией множеств. В этой теории еще при жизни ее создателя Г. Кантора были обнаружены многочисленные парадоксы.

Операции над множествами

Объединением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или :

.

Вместо символа объединения используется также символ +.

Пересечением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств и :

.

Для операции пересечения используются также другие обозначения:

.

Аналогично определяются объединение и пересечение произвольной совокупности множеств , . Здесь – множество индексов. Если – множество первых натуральных чисел, то употребляются обозначения и , а в случае если , то будем писать и .


Разностью множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех элементов , не принадлежащих :

.

В отличие от двух предыдущих операций разность некоммутативна: . Если , то .

Симметрической разностью множеств и (обозначение ) называется множество элементов и , которые содержатся только в одном из этих множеств:

.

Дополнением к множеству (обозначение ) относительно универсального множества называется множество:

или .

Операции объединения, пересечения и дополнения часто называют булевыми операциями над множествами. Так как операция разности не обладает свойством ассоциативности, то ее выражают через другие операции, например, операции дополнения и пересечения:

.

Универсальное множество позволяет геометрически изображать множества и операции над ними с помощью диаграмм Венна (рис. 1).

Рис. 1. Диаграммы Венна
Теоретико-множественные тождества

ассоциативность объединения и пересечения.

коммутативность объединения и пересечения.

дистрибутивность.

идемпотентность.

законы де Моргана.

дополнимость.

13. – закон двойного дополнения.

существование универсальных границ.

законы дополнения.
2. Прямое произведение множеств. Соответствие между множествами. Понятие

отображения множеств.

Прямым произведением множеств и называют множество , элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары , такие, что , :

Прямое произведение в общем случае не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: , .

Пусть теперь даны множеств: . Упорядоченный набор из элементов, таких, что , ,…, , называется вектором или кортежем. Множество таких векторов представляет собой прямое произведение множеств :

Если , то множество называется степенью (прямой) множества и обозначается через .

Проекцией вектора на -ю ось (обозначение ) называется его компонента. Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины (обозначение ).

Пусть – множество векторов одинаковой длины. Тогда проекцией множества на -ю ось называется множество проекций всех векторов на -ю ось: . Аналогично определяется проекция множества на несколько осей: .

Соответствием между множествами и называется подмножество . Если , то говорят, что соответствует при соответствии . Множество называется
областью определения, а множество – областью значений соответствия. Если , то соответствие называется всюду определенным или полностью определенным (в противном случае – частичным); если , то соответствие называется сюръективным или сюръекцией.

Множество всех , соответствующих элементу , называется образом в при соответствии . Множество всех , которым соответствует элемент , называется прообразом в при соответствии .

Соответствие называется инъективным или инъекцией, если прообразом любого элемента из является единственный элемент из . Соответствие называется функциональным или однозначным, если образом любого элемента из является единственный элемент из . Соответствие называется взаимно однозначным или биекцией, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Отображением множества во множество называется функциональное соответствие (обозначение ). Множество называется областью определения отображения, элемент – аргументом отображения, элемент – образом при отображении . При этом пишут . Часто, когда множества – числовые, отображение называют функцией. Если числовое только множество , то отображение называют функционалом.

Образом подмножества при отображении называется множество

.

Прообразом подмножества при отображении называется множество

.
Отображения вида называются преобразованиями множества . Преобразование называется тождественным, если .

Пусть и – некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение , определяемое следующим образом:

.

Отметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.

Операция суперпозиции ассоциативна: , где , , – отображения.

Пусть и . Отображение называется обратным к отображению (а отображение обратным к ), если

, .

Обратное отображение обозначается . Если обратное отображение существует, то оно единственно. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема.

Теорема 1. Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.
3. Отношения на множестве. Отношения эквивалентности и порядка. Примеры.

Бинарным отношением
на множестве называется подмножество . Тот факт, что находится в отношении с , обозначается следующим образом:

Областью определения бинарного отношения на множестве называется множество

,

а областью значений – множество

.

Пример 2. Примеры отношений:

– отношение равенства «=» на множестве состоит из всех пар вида , Если элемент находится в отношении равенства к элементу , то пишут ;

– отношение неравенства « » на множестве R: ;

– отношение делимости «|»на множестве : .

Так как отношения определяются как подмножества, то над ними можно производить теоретико-множественные операции.

Дополнением бинарного отношения на множестве считается множество

.

Например, если – отношение «=», то =« », а « ».

Обратным отношением(обращением) для бинарного отношения называется множество

.

Произведением отношений и называется отношение

.

Всякое подмножество называют -местным отношением на множестве .

Свойства отношений. Отношения делятся на различные виды в зависимости от того, обладают или не обладают некоторыми свойствами.

  1. Рефлексивность: . Например, рефлексивно на множестве прямых отношение «прямая пересекает прямую ».

  2. Симметричность: . Например, симметрично отношение параллельности на множестве прямых плоскости.

  3. Транзитивность: . Например, транзитивно на множестве отрезков отношение «отрезок длиннее отрезка ».

Отношение эквивалентности. Отношение на множестве называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение эквивалентности часто обозначают: .

Пример 3. Примеры отношения эквивалентности:

– отношение «одного роста» на множестве людей;

– отношение подобия на множестве треугольников;

– отношение принадлежности двух студентов к одной студенческой группе.

Смежным классом (классом эквивалентности) элемента по эквивалентности называется множество

.

Любой элемент называется представителем этого класса.

Множество классов эквивалентности элементов множества по эквивалентности называется фактор-множеством по и обозначается .

С каждым отношением эквивалентности связано разбиение множества на непересекающиеся подмножества, которое лежит в основе всевозможных классификаций.

Смотрите также файлы