Файл: 1. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами. Теоретикомножественные тождества.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2023
Просмотров: 346
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами. Теоретико-множественные тождества.Объекты, составляющие множество, называют его элементами. Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита ( ), элементы множеств – строчными буквами ( ).Если каждый элемент множества входит в множество , то называется подмножеством . При этом пишут: или . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (обозначается). Множество называется истинным, если оно не пустое.Из определения подмножества следует, что каждое множество является подмножеством самого себя: . Кроме того, считают, что пустое множество есть подмножество любого множества : .Различают два вида подмножеств множества : само и называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества, если они существуют, – собственными.В теории множеств для удобства и краткости записей используют специальные обозначения: – квантор общности (означающий «любой», «для всех», «каков бы ни был»);– квантор существования (означающий «существует», «найдется», «можно найти»);– импликация (символ следствия, означающий «влечет за собой).С помощью этих символов условие запишется так:. Множество называется эквивалентным множеству (обозначается ), если между элементами и можно установить взаимно однозначное соответствие. Различают конечные и бесконечные множества. Число элементов множества называется его мощностью или кардинальным числом и обозначается. Таким образом, конечное множество, содержащее элементов, имеет мощность . Если эквивалентно множеству натуральных чисел , то его называют счетным и его мощность обозначается через . Множество , эквивалентное множеству действительных чисел , называется континуальным, а его кардинальное число c – мощностью континуума.Способы задания множествЗадание множества с использованием общепринятых обозначений. Для числовых множеств имеем: – множество натуральных чисел; – множество целых чисел; – множество рациональных чисел; – множество действительных чисел; – множество комплексных чисел.
Задание множества перечислением его элементов. Конечное множество можно задать перечислением его элементов и записать в виде.Например, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество десятичных цифр. Задание множества с помощью характеристического свойства его элементов. Характеристическое свойство – это свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Этот способ применим для конечных и бесконечных множеств.Пусть – утверждение, заключающееся в том, что элемент обладает свойством . Тогда записьозначает, что рассматривается множество всех элементов , обладающих свойством .Например, отрезок [0, 1] действительной прямой можно определить следующим образом.Рекурсивное задание множества. Этот способ заключается в следующем:1. Указываются некоторые исходные элементы, входящие в множество.2. Описывается механизм, позволяющий получить новые элементы из имеющихся.3. Объявляется, что в множестве нет никаких других объектов кроме тех, которые можно получить из исходных, применяя описанный в п. 2 механизм.Например, множество можно задать рекурсивно:1. .2. .3. – наименьшее подмножество натурального ряда, удовлетворяющее условиям 1 и 2.Условие 3 определяет как пересечение всех множеств, удовлетворяющих условиям 1 и 2.Теория множеств, рассматриваемая без ограничений на способы задания множеств, называется наивной теорией множеств. В этой теории еще при жизни ее создателя Г. Кантора были обнаружены многочисленные парадоксы. Операции над множествамиОбъединением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или :.Вместо символа объединения используется также символ +.Пересечением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств и :.Для операции пересечения используются также другие обозначения: .Аналогично определяются объединение и пересечение произвольной совокупности множеств , . Здесь – множество индексов. Если – множество первых натуральных чисел, то употребляются обозначения и , а в случае если , то будем писать и .
Разностью множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех элементов , не принадлежащих :.В отличие от двух предыдущих операций разность некоммутативна: . Если , то .Симметрической разностью множеств и (обозначение ) называется множество элементов и , которые содержатся только в одном из этих множеств:.Дополнением к множеству (обозначение ) относительно универсального множества называется множество:или .Операции объединения, пересечения и дополнения часто называют булевыми операциями над множествами. Так как операция разности не обладает свойством ассоциативности, то ее выражают через другие операции, например, операции дополнения и пересечения:.Универсальное множество позволяет геометрически изображать множества и операции над ними с помощью диаграмм Венна (рис. 1).Рис. 1. Диаграммы ВеннаТеоретико-множественные тождестваассоциативность объединения и пересечения.коммутативность объединения и пересечения.дистрибутивность.идемпотентность.законы де Моргана. дополнимость.13. – закон двойного дополнения.существование универсальных границ.законы дополнения.2. Прямое произведение множеств. Соответствие между множествами. Понятие отображения множеств. Прямым произведением множеств и называют множество , элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары , такие, что , :Прямое произведение в общем случае не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: , .Пусть теперь даны множеств: . Упорядоченный набор из элементов, таких, что , ,…, , называется вектором или кортежем. Множество таких векторов представляет собой прямое произведение множеств :Если , то множество называется степенью (прямой) множества и обозначается через .Проекцией вектора на -ю ось (обозначение ) называется его компонента. Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины (обозначение ).Пусть – множество векторов одинаковой длины. Тогда проекцией множества на -ю ось называется множество проекций всех векторов на -ю ось: . Аналогично определяется проекция множества на несколько осей: . Соответствием между множествами и называется подмножество . Если , то говорят, что соответствует при соответствии . Множество называется
областью определения, а множество – областью значений соответствия. Если , то соответствие называется всюду определенным или полностью определенным (в противном случае – частичным); если , то соответствие называется сюръективным или сюръекцией. Множество всех , соответствующих элементу , называется образом в при соответствии . Множество всех , которым соответствует элемент , называется прообразом в при соответствии . Соответствие называется инъективным или инъекцией, если прообразом любого элемента из является единственный элемент из . Соответствие называется функциональным или однозначным, если образом любого элемента из является единственный элемент из . Соответствие называется взаимно однозначным или биекцией, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно. Отображением множества во множество называется функциональное соответствие (обозначение ). Множество называется областью определения отображения, элемент – аргументом отображения, элемент – образом при отображении . При этом пишут . Часто, когда множества – числовые, отображение называют функцией. Если числовое только множество , то отображение называют функционалом. Образом подмножества при отображении называется множество.Прообразом подмножества при отображении называется множество.Отображения вида называются преобразованиями множества . Преобразование называется тождественным, если .Пусть и – некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение , определяемое следующим образом:.Отметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.Операция суперпозиции ассоциативна: , где , , – отображения.Пусть и . Отображение называется обратным к отображению (а отображение обратным к ), если , .Обратное отображение обозначается . Если обратное отображение существует, то оно единственно. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема.Теорема 1. Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно. 3. Отношения на множестве. Отношения эквивалентности и порядка. Примеры.Бинарным отношением
Задание множества перечислением его элементов. Конечное множество можно задать перечислением его элементов и записать в виде.Например, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество десятичных цифр. Задание множества с помощью характеристического свойства его элементов. Характеристическое свойство – это свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Этот способ применим для конечных и бесконечных множеств.Пусть – утверждение, заключающееся в том, что элемент обладает свойством . Тогда записьозначает, что рассматривается множество всех элементов , обладающих свойством .Например, отрезок [0, 1] действительной прямой можно определить следующим образом.Рекурсивное задание множества. Этот способ заключается в следующем:1. Указываются некоторые исходные элементы, входящие в множество.2. Описывается механизм, позволяющий получить новые элементы из имеющихся.3. Объявляется, что в множестве нет никаких других объектов кроме тех, которые можно получить из исходных, применяя описанный в п. 2 механизм.Например, множество можно задать рекурсивно:1. .2. .3. – наименьшее подмножество натурального ряда, удовлетворяющее условиям 1 и 2.Условие 3 определяет как пересечение всех множеств, удовлетворяющих условиям 1 и 2.Теория множеств, рассматриваемая без ограничений на способы задания множеств, называется наивной теорией множеств. В этой теории еще при жизни ее создателя Г. Кантора были обнаружены многочисленные парадоксы. Операции над множествамиОбъединением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или :.Вместо символа объединения используется также символ +.Пересечением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств и :.Для операции пересечения используются также другие обозначения: .Аналогично определяются объединение и пересечение произвольной совокупности множеств , . Здесь – множество индексов. Если – множество первых натуральных чисел, то употребляются обозначения и , а в случае если , то будем писать и .
Разностью множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех элементов , не принадлежащих :.В отличие от двух предыдущих операций разность некоммутативна: . Если , то .Симметрической разностью множеств и (обозначение ) называется множество элементов и , которые содержатся только в одном из этих множеств:.Дополнением к множеству (обозначение ) относительно универсального множества называется множество:или .Операции объединения, пересечения и дополнения часто называют булевыми операциями над множествами. Так как операция разности не обладает свойством ассоциативности, то ее выражают через другие операции, например, операции дополнения и пересечения:.Универсальное множество позволяет геометрически изображать множества и операции над ними с помощью диаграмм Венна (рис. 1).Рис. 1. Диаграммы ВеннаТеоретико-множественные тождестваассоциативность объединения и пересечения.коммутативность объединения и пересечения.дистрибутивность.идемпотентность.законы де Моргана. дополнимость.13. – закон двойного дополнения.существование универсальных границ.законы дополнения.2. Прямое произведение множеств. Соответствие между множествами. Понятие отображения множеств. Прямым произведением множеств и называют множество , элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары , такие, что , :Прямое произведение в общем случае не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: , .Пусть теперь даны множеств: . Упорядоченный набор из элементов, таких, что , ,…, , называется вектором или кортежем. Множество таких векторов представляет собой прямое произведение множеств :Если , то множество называется степенью (прямой) множества и обозначается через .Проекцией вектора на -ю ось (обозначение ) называется его компонента. Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины (обозначение ).Пусть – множество векторов одинаковой длины. Тогда проекцией множества на -ю ось называется множество проекций всех векторов на -ю ось: . Аналогично определяется проекция множества на несколько осей: . Соответствием между множествами и называется подмножество . Если , то говорят, что соответствует при соответствии . Множество называется
областью определения, а множество – областью значений соответствия. Если , то соответствие называется всюду определенным или полностью определенным (в противном случае – частичным); если , то соответствие называется сюръективным или сюръекцией. Множество всех , соответствующих элементу , называется образом в при соответствии . Множество всех , которым соответствует элемент , называется прообразом в при соответствии . Соответствие называется инъективным или инъекцией, если прообразом любого элемента из является единственный элемент из . Соответствие называется функциональным или однозначным, если образом любого элемента из является единственный элемент из . Соответствие называется взаимно однозначным или биекцией, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно. Отображением множества во множество называется функциональное соответствие (обозначение ). Множество называется областью определения отображения, элемент – аргументом отображения, элемент – образом при отображении . При этом пишут . Часто, когда множества – числовые, отображение называют функцией. Если числовое только множество , то отображение называют функционалом. Образом подмножества при отображении называется множество.Прообразом подмножества при отображении называется множество.Отображения вида называются преобразованиями множества . Преобразование называется тождественным, если .Пусть и – некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение , определяемое следующим образом:.Отметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.Операция суперпозиции ассоциативна: , где , , – отображения.Пусть и . Отображение называется обратным к отображению (а отображение обратным к ), если , .Обратное отображение обозначается . Если обратное отображение существует, то оно единственно. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема.Теорема 1. Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно. 3. Отношения на множестве. Отношения эквивалентности и порядка. Примеры.Бинарным отношением
на множестве называется подмножество . Тот факт, что находится в отношении с , обозначается следующим образом:
Областью определения бинарного отношения на множестве называется множество
,
а областью значений – множество
.
Пример 2. Примеры отношений:
– отношение равенства «=» на множестве состоит из всех пар вида , Если элемент находится в отношении равенства к элементу , то пишут ;
– отношение неравенства « » на множестве R: ;
– отношение делимости «|»на множестве : .
Так как отношения определяются как подмножества, то над ними можно производить теоретико-множественные операции.
Дополнением бинарного отношения на множестве считается множество
.
Например, если – отношение «=», то =« », а « ».
Обратным отношением(обращением) для бинарного отношения называется множество
.
Произведением отношений и называется отношение
.
Всякое подмножество называют -местным отношением на множестве .
Свойства отношений. Отношения делятся на различные виды в зависимости от того, обладают или не обладают некоторыми свойствами.
-
Рефлексивность: . Например, рефлексивно на множестве прямых отношение «прямая пересекает прямую ». -
Симметричность: . Например, симметрично отношение параллельности на множестве прямых плоскости. -
Транзитивность: . Например, транзитивно на множестве отрезков отношение «отрезок длиннее отрезка ».