.

29. Определение прибавляющей цепи. Алгоритм Форда-Фалкерсона построения

максимального потока в транспортной сети.

Из теоремы Форда-Фолкерсона следует, что максимальный поток в сети не превосходит минимальной пропускной способности разреза, то есть

. (1)

Анализ неравенства (1) показывает, что величина потока совпадает с пропускной способностью разреза тогда и только тогда, когда выполняется условие:

(2)

Алгоритм, который приводится ниже, направлен на построение такого разреза, для которого выполняется условие (2). Если удается построить такой разрез, то задача решена, если нет, то производится увеличение потока с помощью прибавляющих цепей.

Дадим определение прибавляющей цепи. Рассмотрим в сети цепь из источника в сток, то есть последовательность вершин

такую, что между вершинами и есть дуга ( ), которой может оказаться прямой или обратной .

Пусть в сети задан поток . Цепь из в называется прибавляющей, если для каждой ее прямой дуги выполняется строгое неравенство , а для каждой обратной дуги – строгое неравенство .

Предположим, что для потока удалось найти прибавляющую цепь. Тогда увеличивая на максимально возможное число единиц на прямых дугах (с обеспечением условия ) и уменьшая на столько же единиц на обратных дугах (с обеспечением условия ), получим новый поток, величина которого на единиц больше, чем величина .

Алгоритм состоит в последовательном просмотре вершин сети и присвоении им отметок. На каждом шаге алгоритма любая вершина находится в одном из трех состояний: а) не помечена; б) помечена, но не просмотрена; в) помечена и просмотрена.

0-й шаг. Зададим какой-нибудь, например, нулевой поток по сети.

1-й шаг. Помети источник любой отметкой, например, звездочкой *. После этого вершина помечена, но не просмотрена. Остальные вершины не помечены.

2-й шаг. Берем очередную помеченную, но не просмотренную вершину . Просматриваем все дуги, инцидентные этой вершине. Если вторая вершины дуги не помечена, то помечаем ее отметкой в следующих двух случаях:

а) дуга выходит из вершины и поток по ней строго меньше пропускной способности;

б) дуга входит в вершину и поток по ней строго больше нуля.

После завершения этого шага вершина объявляется помеченной и просмотренной, а вершины, получившие при просмотре отметку , объявляются помеченными, но не просмотренными.

---

Шаг 2 циклически повторяется до тех пор, пока не произойдет одно из двух событий, рассматриваемых далее на 3-ем и 4-ом шагах.

3-й шаг. Сток получил отметку, например, . Переходим из в вершину , по отметке вершины отыскиваем следующую вершину и т. д. до тех пор, пока не дойдем до вершины . В результате получаем прибавляющую цепь, с помощью которой увеличиваем текущий поток. Далее стираем отметки всех вершин и повторяем выполнение алгоритма с 1-го шага.

4-й шаг. Процесс расстановки отметок закончился тем, что все помеченные вершины просмотрены, но сток при этом не помечен. Пусть – множество помеченных вершин. Так как , а , то можно определить разрез . Для , то есть дуги, идущей из помеченной вершины в непомеченную, , иначе другой конец этой дуги был бы помечен. По той же причине для . Следовательно, для построенного потока и разреза , образованного помеченными вершинами, выполняются условия (1). В таком случае имеем максимальный поток.

Пример 2. Пусть задана транспортная сеть и поток по ней (рис. 2).

5, 3
10, 7 4, 4 5, 5

3, 2

6, 4 2, 2
5, 5 6, 2

2, 2 9, 5

3, 3
Рис. 2.

Процесс расстановки отметок показан в таблице 1.

Таблица 1

Номер шага	Отметки вершин
1	*
2	*
3	*
4	*
5	*
6	*
7	*

---

Поскольку сток получил отметку, то строим прибавляющую цепь (рис. 3).


10, 7 5, 3 3, 2 6, 4 6, 2 9, 5
Рис. 3.
Увеличиваем поток на две единицы на прямых дугах этой цепи и уменьшаем на две единицы на обратных. В результате получаем поток, изображенный на рис. 4.


5, 5
10, 9 4, 4 5, 5

3, 0

6, 2 2, 2
5, 5 6, 4

2, 2 9, 7

3, 3
Рис. 4.
В процессе расстановки отметок для нового потока удается пометить только вершины и . Тогда – множество помеченных вершин, которое порождает минимальный разрез . Его пропускная способность

совпадает с величиной потока

или

.
30. Определение сетевого графика. Алгоритм отыскания критического пути.

Определение резервов времени и коэффициентов напряженности работ.

Сетевой график представляет собой изображение хода проекта при помощи ациклической сети. Под сетью понимается ориентированный граф, в котором выделены две вершины: одна из них называется началом и не имеет входящих дуг, другая – концом, она не имеет выходящих дуг. Последовательность различных дуг, в которой начало каждой дуги совпадает с концом предыдущей, называется путем. Замкнутый путь называется контуром или ориентированным циклом. Если в сети нет ориентированных циклов, она называется ациклической. Дуги сетиизображают отдельные работы, а вершины – события, состоящие в завершении одной или нескольких работ. Каждой дуге в сетевом графике приписано целое неотрицательное число – продолжительность соответствующей работы.

Обозначим – продолжительность работы ( , ). Рассмотрим некоторый путь на сетевом графике: . Длиной пути назовем сумму продолжительностей входящих в него работ: .

Рассмотрим все пути из начальной вершины в конечную. Путь наибольшей длины называют критическим. Длина критического пути – основная характеристика сетевого графика, смысл которой состоит в том, что если каждая работа ( , ) будет начинаться в тот момент, когда произойдет событие (раньше она начинаться не может), и выполняться точно за время , то вся совокупность работ будет выполнена за время, равное длине критического пути.

Опишем алгоритм для нахождения критического пути в сетевом графике. В процессе работы алгоритма для каждой вершины рассчитывается величина – максимальная длина пути из начала в вершину .

---

1°. Правильная нумерация сети. Нумерация вершин сети называется правильной, если номер начала любой дуги сети меньше, чем номер ее конца.

2°. Расстановка отметок. Пусть сеть правильно занумерована. Для каждой вершины вычисляем отметку по следующим правилам:

– полагаем ;

– просматриваем вершины в порядке их номеров и для -ой вершины вычисляем по формуле

, (1)

где максимум берется по всем вершинам , имеющим дугу , направленную в вершину .

По окончании процесса вычисления отметок величина находится как отметка концевой вершины.

3°. Построение критического пути. Начиная с вершины-конца, последовательно находим дуги , для которых . Эти дуги и образуют критический путь.

Параметр , вычисляемый при построении критического пути, называется «ранний срок свершения события ». Для каждого события можно рассчитать также поздний срок его свершения . Смысл этого параметра состоит в следующем: если событие «запоздает, однако произойдет не позднее , то длина критического пути (время выполения всего проекта) не изменится.

Метод расчета аналогичен методу расчета , если его «вывернуть наизнанку». Пусть для правильной сети концевая вершина получила номер . Тогда для каждой вершины вычисляем отметку по следующим правилам:

– полагаем ;

– просматриваем вершины в обратном порядке их номеров и для -ой вершины вычисляем по формуле

, (2)

где минимум берется по всем вершинам , в которые ведут дуги из вершины .

Резервом времени работы называется величина

. (3)

Задержка в выполнении работы на величину, не превышающую , не изменяет длину критического пути, то есть срока выполнения проекта.

Резервы времени позволяют разбить всю совокупность работ на более важные и менее важные, что используется для управления выполнением проекта. Работы, лежащие на критическом пути, имеют резервы времени, равные нулю. Задержка в выполнении такой работы на время ровно на такую же величину изменяет время выполнения всего проекта. Поэтому возможны варианты форсирования этих работ за счет работ, имеющих большой резерв времени.

При практическом применении сетевых графиков более удобными по сравнению с резервами времени являются коэффициенты напряженности работ, определяемые как отношение длины максимального пути из начала в конец, проходящего через данную работу, к длине критического пути:

---

. (4)

Из формулы (4) следует, что , причем для работ с нулевым резервом (лежащих на критическом пути) , а для работ с большим резервом времени – . На основании этого всю совокупность работ делят на зоны: критическую с , подкритическую с , и резервную.

---

Смотрите также файлы

• Компоненты интегрированной среды разработки программ.docx

• Доклад по теме самообразования Развитие творческих способностей на уроках в начальной школе.docx

• Инструкция по охране труда для учителя физики. Инструкция по охране труда и технике безопасности для лаборанта кабинета физики.odt

• Учебное пособие Москва 2021 Одобрено редакционноиздательским советом Академии управления мвд россии Рецензенты.pdf

• Изучение технологии и оборудования шовной контактной сварки (на примере машины мш1601).docx