Файл: Речевых сигналов.pdf

100
Как видно, уровень первого бокового лепестка составляет –40 дБ.
5.2. Кратковременный анализ Фурье
5.2.1. Кратковременное преобразование Фурье
При обработке речи записывают N отсчетов сигнала, начинающихся с 0
N , применяют оконную функцию [11, 38]:
0 0
0 для других
n N
n
w x
,...
n N ,
xn
,
n,
+
≤ <
⎧⎪
′ = ⎨
⎪⎩
. (5.5) затем выполняют ДПФ (2.9).
Результат определяется уравнениями:
( )
2 1
( )
( )
0
i
kn
N
i
N
X k
X e
x n e
n
π
ω
−
−
=
= ∑
=
,
2
, 0
k
k N
N
π
ω
=
≤ ≤ , (5.6) где ( )
X k – массив из N комплексных чисел, эквивалентный массивам из
N реальных и N мнимых чисел.
Обратное кратковременное дискретное преобразование Фурье
(ОДПФ) может быть также определено по формуле
1 2
1 0
N
nk
i
x
X e
n
k
N
N n
π
−
=
∑
=
, 0 k N
≤ ≤ . (5.7)
Рис. 5.7. Окно Хэмминга
Рис. 5.8. Амплитудный спектр окна Хэмминга

101
5.2.2. Практическое применение кратковременного
преобразования Фурье
Возьмем 512 отсчетов речевого сигнала, например слово «sig», гра- фик которого приведен на рис. 5.9.
Рис. 5.9. Фрагмент гласного звука в прямоугольном окне
В среде MATLAB выполним FFT и выведем график модуля спектра
(рис. 5.10).
>> abs(fft(sig))
Рис. 5.10. Амплитудный спектр
На рис. 5.9 видна резкая неоднородность (разрыв) на границах. При- менение окна Хэмминга сокращает ее (рис. 5.11) [11].

102
>> hamming(512) .* sig
Рис. 5.11. Фрагмент гласного звука в окне Хэмминга
В результате гармоническая структура сигнала становится более за- метной (рис. 5.12).
>> abs(fft(hamming(512) .* sig))
Рис. 5.12. Амплитудный спектр в окне Хэмминга
Тот же спектр в логарифмическом масштабе представлен на рис. 5.13.
>> log10(abs(fft(hamming(512) .* sig)));

103
Рис. 5.13. Амплитудный спектр в логарифмическом масштабе
Чтобы продемонстрировать эффект размера окна, вышеупомянутый анализ повторяется для окна Хэмминга длиной 64 (рис. 5.14 и 5.15).
Рис. 5.14. Фрагмент гласного звука в окне Хэмминга длиной 64

104
Рис. 5.15. Амплитудный спектр в окне Хэмминга длиной 64
5.3. Кепстральный анализ
Схема кепстрального анализа показана на рис. 5.16. Сегмент речево- го сигнала после обработки оконной функцией подвергается преобразова- нию Фурье.
Рис. 5.16. Схема кепстрального анализа
Для большинства приложений обработки речи необходим только спектр амплитуды log( (
) )
i
S e
θ
. (5.8)
Медленно меняющиеся компоненты log( (
) )
i
S e
θ
характеризуют низкие частоты. Следовательно, применение кепстрального анализа с ис- пользованием преобразования Фурье – это естественный способ их выде- ления. Результат применения кепстрального анализа для образца речи, представленного на рис. 5.11, 5.12, 5.13, показан на рис. 5.17.
>> ifft (log(abs(fft(hamming(512) .* sig))))
Речь
Окно
ДПФ
Log
ОДПФ
Кепстральный анализ

105
Рис. 5.17. Полный реальный кепстр
Заметим, что большинство значимых свойств наблюдается в начале и в пиках спектрограммы. Более подробно первые 25 кепстральных коэффи- циентов представлены на рис. 5.18.
0 5
10 15 20 25
-0.2
-0.1 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Рис. 5.18. Первые кепстральные коэффициенты

106
5.4. Z-преобразование
Удобный способ анализа дискретных последовательностей –
Z-преобразование (Z-transform). Последовательности чисел
{ }
( )
x n ставится в соответствие функция комплексной переменной z , определяемая сле- дующим образом:
n
X ( z )
x( n )z
n
∞
−
=
∑
= −∞
. (5.9)
( )
X z является взвешенной суммой, которая определена только для тех значений z , при которых ряд (5.9) сходится [11, 43] .
Свойства Z-преобразования
Рассмотрим некоторые наиболее важные свойства Z-преобразования, полезные при его применении.
1. Z-преобразование – линейное преобразование, для него справедлив принцип суперпозиции.
Если ( )
Y z , ( )
1
X z и ( )
2
X
z – Z-преобразования последовательностей
( )
y n , ( )
1
x n , ( )
2
x n соответственно, то для любых действительных
α
и
β
справедливы соотношения:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
y n
x n
x n
Y z
X z
X
z
α
β
α
β
=
+
⇒
=
+
. (5.10)
2. Сдвиг последовательности (задержка).
Если ( )
Y z , ( )
X z – Z-преобразования последовательностей ( )
y n , ( )
x n , то для ( )
(
)
0
y n
x n n
=
−
, где 0
n – целое число, справедливо соотношение
0
( )
( )
n
Y z
z
X z
−
=
. (5.11)
Так, при задержке сигнала на один такт ( )
( 1)
y n x n
=
− ,
1
( )
( )
Y z
X z
z−
=
, т.е. Z-преобразование исходной последовательности умножается на
1
z− .
Таким образом, множитель
0
n
z
−
является оператором задержки дискрет- ной последовательности на 0
n тактов.
3. Свертка последовательностей.
Свертка двух бесконечных дискретных последовательностей
{ }
( )
x k и
{
}
(
)
h n k
−
определяется следующим образом:
( )
( ) (
)
y n
x k h n k
k
∞
=
−
∑
= −∞
. (5.12)
Если Z-преобразования последовательностей ( )
y n , ( )
x n , ( )
h n равны
( )
Y z , ( )
X z и ( )
H n соответственно, то справедливо соотношение
( )
( ) ( )
Y z
X z H z
=
, которое означает, что Z-преобразование свертки равно произведению Z-преобразований свертываемых последовательностей.

107
Обратное Z-преобразование
Обратный переход от ( )
X z к последовательности ( )
x n определяется соотношением [27]
1 1
( )
( )
2
C
n
x n
X z
dz
z
i
π
−
=
∫
, (5.13) где C – замкнутый контур, который включает
0
z
= .
Обратное Z-преобразование представляет собой интеграл по любому замкнутому контуру с направлением обхода против часовой стрелки. Кон- тур расположен в области сходимости и окружает начало координат.
5.5. Анализ с использованием линейного предсказания
Анализ речи с использованием линейного предсказания (ЛП) – исто- рически один из самых важных методов анализа речи [11].
ˆ
1
p
S
a S
n
i n i
i
= ∑
−
=
, (5.14)
Sn– речевой сигнал с nотсчетами, ai – коэффициенты предсказания.
Этот линейный фильтр имеет передаточную функцию
1
( )
1 1
H z
p
i
a z
i
i
=
−
− ∑ =
(5.15)
При правильном выборе параметров модель ЛП может приблизиться к спектру огибающей для всех звуков речи.
Оценка параметров ЛП.
Допустим, имеется N отсчетов речи. Вы- числим оценку ai из условия минимальной среднеквадратической ошиб- ки. Эти оценки могут рассматриваться как самые вероятные параметры, если предполагается, что распределение ошибок является гауссовским и нет ограничений на значения ai.
Ошибка
ˆ
1
p
e
S
S S
a S
n
n
n
i n i
i
=
− =
− ∑
−
=
. (5.16)
Следовательно, суммированная среднеквадратическая ошибка E по конечному окну длиной N
2 1
1 2
0 0
1
p
N
N
E
e
S
a S
n
n
k n k
n
n
k
−
− ⎛
⎞
=
=
−
⎜
⎟
∑
∑
∑
−
⎜
⎟
=
=
=
⎝
⎠
(5.17)
Минимум
E
получается, когда частные производные равны нулю для всех параметров
ak .

108
Уравнение (5.17) квадратичное относительно ak , поэтому решение существует, причем единственное.
Дифференцируя уравнение (5.17) по a j и принимая их равными ну- лю, получаем систему p уравнений:
(5.18)
Реконфигурация уравнения (5.18) дает
1 1
0 1
0
p
N
N
S S
a
S
S
n n
j
k
n k n
j
n
k
n
−
−
=
∑
∑
∑
−
−
−
=
=
=
. (5.19)
Определим матрицу ковариации
φ
с элементами ,ik
φ
:
1
,
0
N
S
S
i k
n i n k
n
φ
−
= ∑
−
−
=
(5.20)
Запишем уравнение (5.20) как
,0
,
1
p
a
i
i k k
k
φ
φ
= ∑
=
, (5.21) или
1,1 1,2 1,3 1,
1,0 1
2,1 2,2 2,3 2,
2,0 2
3 3,0 3,1 3,2 3,3 3,
,0
,1
,2
,3
,
p
a
a
p
a
p
a p
p
p
p
p
p p
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
. (5.22)
В матричной форме
0
A
a
Φ = Φ
. (5.23)
Решение находим с использованием обратной матрицы
1 0
A
−
= Φ Φ . (5.24)
Заметим, что матрица
Φ симметрична, т.е. ,
,
i k
k i
φ
φ
=
, и эта симмет- рия может использоваться в инвертировании
Φ
1 0
2 0
1 1
1 2
2 0
0 1
p
N
E
S
a S
S
n
k n k
n
j
a j
n
k
p
N
N
S S
a S
S
.
n n
j
k n k n
j
n
n
k
⎛
⎞
−
⎛
⎞
∂
⎜
⎟
= = −
−
⎜
⎟
∑
∑
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
=
=
⎝
⎠
⎝
⎠
−
−
= −
+
∑
∑
∑
−
−
−
=
=
=

109
Автокорреляционный метод.
Имея дело с обработкой речи, реали- зуемой посредством оконной функции, необходимо принять во внимание граничные эффекты для избежания больших ошибок предсказания на кра- ях. Используем тот факт, что отсчеты являются нулевыми вне окна, чтобы переписать
,i j
φ
как [11]
1 (
)
,
(
)
0
N
i
j
S S
i j
n n
i
j
n
φ
− − −
=
∑
+ −
=
. (5.25)
Теперь
,i j
φ
зависит только от разницы (
i
j
−
) и может быть записа- но в терминах автокорреляционной функции
,
,
1 0
r
i j
i
j
N
k
r
S S
k
n n k
n
φ
= −
− −
=
∑
+
=
(5.26)
Тогда (5.22) преобразуется к виду
0 1
2 1
1 1
1 0
1 2
2 2
3 3
2 1
0 3
1 2
3 0
r
r
r
r p
a
r
r
r
r
r
a
p
r
a
r
r
r
r
r p
a p
r p
r
r
r
r
p
p
p
⎛
⎞
⎛
⎞
− ⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟⎝
⎠
−
−
−
⎝
⎠ ⎝
⎠
. (5.27)
Существуют эффективные методы для инвертирования таких мат- риц, один из которых – алгоритм Дарбина (Durbin algorithm).
1 ( 1)
(
1)
/
1
i
i
i
k
a
a
r
E
i
i
i
j
j
j
⎛
⎞
−
−
−
⎜
⎟
=
− ∑
−
⎜
⎟
=
⎝
⎠
, (5.28)
( i )
a
ki
i
=
, (5.29)
( )
(
1)
(
1)
i
i
i
a
a
k a
i
j
j
i
j
−
−
=
−
−
при 1 j i
≤ ≤ , (5.30)
2
( )
(
1)
(1
)
i
i
k
E
E
i
−
= −
. (5.31)
Параметры ki известны как параметры отражения. Полученный фильтр устойчив. Значение квадрата остаточного предсказания
( )
i
E
всегда будет уменьшаться (или оставаться постоянным) на каждой последующей итерации.

110
Спектр линейного предсказания.
Передаточная функция
1
( )
H z – это КИХ-обеляющий фильтр для речи. Его частотная характе- ристика может быть вычислена как преобразование Фурье от коэффи- циентов фильтра, затем инвертирована, чтобы выдать частотную харак- теристику( )
H z [11].
Рис. 5.19 показывает пример спектра ЛП для сегмента речи. Заметим, что форманты максимально выражены.
>> [sig] = wavread('filename');
>> a = lpc(hamming(512).*sig, 16);
>> h = (1./fft([a zeros(1, 512 - 17)])).';
>> figure;
>> plot(abs(h));
>> xlim([0 256])
Рис. 5.19. Спектр ЛП сегмента речи
Мера расстояния Itakura.
Рассмотрим случай, когда речевой сиг- нал
Sn
проходит через линейный предсказатель, соответствующий образ- цу a . Остаточная среднеквадратичная ошибка E [11]
2 1
1 2
0 0
1
p
N
N
E
S
a S
en
n
i n i
n
n
i
−
− ⎛
⎞
=
=
−
=
⎜
⎟
∑
∑
∑
−
⎜
⎟
=
=
=
⎝
⎠

111 1
2 2 0
1 1
1
p
p
p
N
S
a S S
a a S
S
n
i n n i
i j n i n
j
n
i
i
j
⎛
⎞
−
⎜
⎟
=
−
+
=
∑
∑
∑ ∑
−
−
−
⎜
⎟
=
=
=
=
⎝
⎠
1 1
2 2 0
1 0
1 1
1 0
p
N
N
S
a
S S
n
i
n n i
n
i
n
p
p
N
p
a a
S
S
i j
n i n
j
i
j
n
−
−
=
−
+
∑
∑
∑
−
=
=
=
−
+
=
∑ ∑
∑
−
−
=
=
=
2 00 0
0 1
1 1
p
p
p
p
a
a a ij
i i
i j
n
i
i
j
φ
φ
φ
=
−
=
∑
∑
∑ ∑
=
=
=
=
00 01 02 0
1 10 11 12 1
1 1,
,
2 1,
2,
20 21 22 2
0 1
2
p
a
p
a
a
a
a p
p
a p
p
p
p
pp
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
⎡
⎤ −
⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥
⎡
⎤
⎢
⎥
= −
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎣ ⎦
⎣
⎦
…
…
…
…
…
…
. (5.32)
Определим
00 01 02 0
10 11 12 1
20 21 22 2
0 1
2
p
p
R
p
p
p
p
pp
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
…
…
…
…
,
(5.33) или в случае автокорреляции
0 1
2 0
1 0
1 1
2 1
0 2
1 2
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
R
r
r
r
r
p
p
p
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
…
…
…
…
. (5.34)
Пусть
y – расширенный вектор коэффициентов
ЛП
1,
,
,
,
1 2
a a
a p
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
…
, x – расширенный вектор входных данных,
1,
,
,
,
1 2
a a
a p
⎡
⎤
′ ′
′
−
⎢
⎥
⎣
⎦
…
– неизвестные коэффициенты ЛП,
T
xRx
– энергия на

112
выходе обратного фильтра с входной речью на входе,
T
yRy
– минимально возможная энергия на выходе фильтра ЛП с входной речью на входе. То- гда расстояние может быть вычислено по формуле
( , ) log(
) log(
)
T
E
xR
x
x
d x y
T
E
yR
y
y
=
=
. (5.35)
Кепстр линейного предсказания.
Параметры кепстра могут быть вычислены непосредственно от параметров ЛП при помощи следующей рекурсии [11]:
1 1
, при 1 1
k
i
k
p
c
a
c a
k
k
i k i
k i
−
=
+
≤ ≤
∑
−
=
. (5.36)
Корни многочленного предсказателя.
Знаменатель передаточной функции может быть разложен в виде
1 1
( ) 1
(1
)
1
p
k
p
k
A z
a z
c
z
k
k
k
=
−
−
= −
=
−
∏
=
∑
, (5.37) где ck – множество комплексных чисел, определяющих корни с угловой частотой
{ }
{ }
Im zi
1
t g
i
Re zi
θ
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(5.38) и амплитудой
{ }
{ }
2 2
Im
Re
r
z
z
i
i
i
=
+
. (5.39)
Если корень близок к единичному кругу, тогда он представляется формантой [11].
Все корнии лежат в единичном круге. Они могут быть разделены на корни, которые соответствуют голосовому тракту с закрытой голосовой щелью, и те, которые соответствуют голосовому тракту с открытой голо- совой щелью. Применение корней очень полезно при кодировании речи.
5.6. Применение формантного анализа
Существует несколько способов моделирования (синтеза) речевого сигнала. Наиболее адекватна реальному голосовому аппарату линейная модель, относящаяся к группе параметрических моделей синтеза речевого сигнала и основывающаяся на устройстве голосового аппарата. Минуя за- дачи моделирования колебания связок и формирования резонансных по- лостей и рассматривая только изменения волнового сигнала, получаем схему, изображенную на рис. 5.20 [1].