ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2023
Просмотров: 15
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
П. №70-71.
Касательная к окружности
*
Окружность –
геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
I. Взаимное расположение прямой и окружности
Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения.
I. Прямая проходит через центр окружности
O
p
Прямая пересечёт окружность в 2-ух точках – концах диаметра, лежащего на этой прямой
A
B
II. Прямая не проходит через центр окружности
Дано:
ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r,
прямая p: O ∉ p,
OH ⊥ p, |OH| = d
O
p
A
B
H
1.
d < r
Дано:
ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r,
прямая p: O ∉ p,
OH ⊥ p, |OH| = d
O
p
A
B
H
1.
d < r
Докажем, что прямая p и окружность не имеют других общих точек.
Метод от противного:
Пусть ∃ т. C: (С∈ω) ∧ (С ∈ p)
ΔOAC: (OD – медиана)∧(D∈AC)
⇒OD ⊥ p
Т.О. из точки О проведены 2 перпендикуляра к прямой p - Противоречие
d < r ⇒ прямая и окружность имеют две общие точки
Дано:
ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r,
прямая p: O ∉ p,
OH ⊥ p, |OH| = d
O
p
M
H
2.
d = r
Докажем, что прямая p и окружность не имеют других общих точек.
M ∈ p
OM > OH=r
(наклонная OM больше перпендикуляра OH)
⇒ M ∉ ω
d = r ⇒ прямая и окружность имеют только одну общую точку
Дано:
ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r,
прямая p: O ∉ p,
OH ⊥ p, |OH| = d
O
p
M
H
3.
d > r
d > r ⇒ прямая и окружность не имеют общих точек
II. Касательная у окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Теорема (свойство касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Дано:
ω (O, r), p – касательная, А – точка касания
Доказать: p ⊥ OA
O
p
А
Доказательство:
Метод от противного
Пусть p не перпендикулярна OA
- ОА наклонная к прямой p
- ∃ OH ⊥ p ⇒ OH < OA = r
- Прямая p и окружность ω имеют 2 общие точки – ПРОТИВОРЕЧИЕ!
- p ⊥ OA
ЧТД
Касательные, проходящие через одну точку
Теорема (свойство):
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
О
В
С
А
1
2
3
4
AB и AC – отрезки касательных, проведенных из точки А
Дано: ω (O, r),
АВ и АС – отрезки касательных из точки А
Доказать: (AB = AC) ∧ (∠3 = ∠4)
Доказательство:
- ∠1 = ∠2 = 90° - по свойству касательной ⇒ ΔABO и ΔACO прямоугольные
- (OA = OA) ∧ (OB = OC = r) ⇒ ΔABO и ΔACO ⇒ (AB = AC) ∧ (∠3 = ∠4)
ЧТД
Теорема (признак касательной)
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является касательной.
O
p
A
Дано:
ω (O, r),
OA = r, A∈ p, p ⊥ OA
Доказать: p - касательная
Доказательство:
(p ⊥ OA) ∧ (OA = r) ⇒ прямая и окружность имеют только одну общую точку ⇒ p - касательная
ЧТД
Задача
Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности.
O
p
A
Построение:
- (OА)
- p: (A∈ p) ∧ (p ⊥ OA)
- p - касательная
№ 636
Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке C. Найдите угол ACB.
III. Решение задач
№ 639
Прямая AB касается окружности с центром О радиуса r в точке B. Найдите AB, если ∠AOB = 60°, а r = 12 см.
№ 645
Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка А1В1.
IV. Самостоятельная работа
Домашнее задание
*
- 70-71
- 634, 638, 640