Файл: П. 7071. Касательная к окружности Окружность.pptx

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.12.2023

Просмотров: 16

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П. №70-71.

Касательная к окружности

*

Окружность

геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

I. Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения.

I. Прямая проходит через центр окружности

O

p

Прямая пересечёт окружность в 2-ух точках – концах диаметра, лежащего на этой прямой

A

B

II. Прямая не проходит через центр окружности

Дано:

ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r,

прямая p: O ∉ p,

OH ⊥ p, |OH| = d

O

p

A

B

H

1.

d < r

Дано:

ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r,

прямая p: O ∉ p,

OH ⊥ p, |OH| = d

O

p

A

B

H

1.

d < r

Докажем, что прямая p и окружность не имеют других общих точек.

Метод от противного:

Пусть ∃ т. C: (С∈ω) ∧ (С ∈ p)

ΔOAC: (OD – медиана)∧(D∈AC)

⇒OD ⊥ p

Т.О. из точки О проведены 2 перпендикуляра к прямой p - Противоречие

d < r ⇒ прямая и окружность имеют две общие точки

Дано:

ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r,

прямая p: O ∉ p,

OH ⊥ p, |OH| = d

O

p

M

H

2.

d = r

Докажем, что прямая p и окружность не имеют других общих точек.

M ∈ p

OM > OH=r

(наклонная OM больше перпендикуляра OH)

⇒ M ∉ ω

d = r ⇒ прямая и окружность имеют только одну общую точку

Дано:

ω (O, r) – окружность с центром в т. О радиуса r,

прямая p: O ∉ p,

OH ⊥ p, |OH| = d

O

p

M

H

3.

d > r

d > r ⇒ прямая и окружность не имеют общих точек

II. Касательная у окружности


Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема (свойство касательной)

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Дано:

ω (O, r), p – касательная, А – точка касания

Доказать: p ⊥ OA

O

p

А

Доказательство:

Метод от противного

Пусть p не перпендикулярна OA
  • ОА наклонная к прямой p
  • ∃ OH ⊥ p ⇒ OH < OA = r
  • Прямая p и окружность ω имеют 2 общие точки – ПРОТИВОРЕЧИЕ!
  • p ⊥ OA

  • ЧТД

Касательные, проходящие через одну точку

Теорема (свойство):

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

О

В

С

А

1

2

3

4

AB и AC – отрезки касательных, проведенных из точки А

Дано: ω (O, r),

АВ и АС – отрезки касательных из точки А

Доказать: (AB = AC) ∧ (∠3 = ∠4)

Доказательство:
  • ∠1 = ∠2 = 90° - по свойству касательной ⇒ ΔABO и ΔACO прямоугольные
  • (OA = OA) ∧ (OB = OC = r) ⇒ ΔABO и ΔACO ⇒ (AB = AC) ∧ (∠3 = ∠4)

  • ЧТД

Теорема (признак касательной)

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является касательной.

O

p

A

Дано:

ω (O, r),

OA = r, A∈ p, p ⊥ OA

Доказать: p - касательная

Доказательство:

(p ⊥ OA) ∧ (OA = r) ⇒ прямая и окружность имеют только одну общую точку ⇒ p - касательная

ЧТД

Задача

Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности.

O

p

A

Построение:
  • (OА)
  • p: (A∈ p) ∧ (p ⊥ OA)
  • p - касательная

№ 636

Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке C. Найдите угол ACB.

III. Решение задач



№ 639

Прямая AB касается окружности с центром О радиуса r в точке B. Найдите AB, если ∠AOB = 60°, а r = 12 см.

№ 645

Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка А1В1.

IV. Самостоятельная работа

Домашнее задание


*
  • 70-71
  • 634, 638, 640