Файл: А. Г. Малкова. Подготовка к егэ по математике. Материалы сайта egestudy ru.pdf

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта
EGE-Study.ru
Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2
Существует два способа решения задач по стереометрии.
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереомет- рии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметриче- ской. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, ал- горитмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить C2 хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними
— то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y
и Z. Зададим удобный масштаб.
X
Y
Z
1
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например,
запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1,
координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направ- ленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
a
(x a
; y a
; z a
)
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
A
B
a

a
=
−→
AB
(x
B
− x
A
; y
B
− y
A
; z
B
− z
A
)
Длина вектора
−→
AB
в пространстве –– это расстояние между точками A и B.
Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
a
=
px
2
a
+ y
2
a
+ z
2
a
=
p(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
+ (z
B
− z
A
)
2
Пусть точка M –– середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
x
M
=
x
A
+ x
B
2
;
y
M
=
y
A
+ y
B
2
;
z
M
=
z
A
+ z
B
2
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и пра- вило параллелограмма.
a
a
b
b
c =
a +
b
c =
a +
b
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное про- изведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы a(x a
; y a
; z a
) и b(x b
; y b
; z b
).
Сумма векторов:
a
+ b = c(x a
+ x b
; y a
+ y b
; z a
+ z b
)
Разность векторов:
a
−b =
d
(x a
− x b
; y a
− y b
; z a
− z b
)
Произведение вектора на число:
λ
· a = p(λx a
; λy a
; λz a
)
Скалярное произведение векторов:
a
·b =
a
·

b
· cos ϕ = x a
· x b
+ y a
· y b
+ z a
· z b
Косинус угла между векторами:
cos ϕ =
a
·b
a
·

b
=
x a
· x b
+ y a
· y b
+ z a
· z b
px
2
a
+ y
2
a
+ z
2
a
·
px
2
b
+ y
2
b
+ z
2
b
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в простран- стве. Особенно если эти прямые –– скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.
В кубе
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
точки
E и K — середины ребер соответственно
A
1
B
1
и
B
1
C
1
. Найдите косинус угла между прямыми
AE и BK.
Если в задаче C2 вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
X
Y
Z
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1 1
1 1
E
K
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами
−→
AE
и
−−→
BK
Для этого нужны их координаты.
A
0; 0; 0

B
1; 0; 0

E
1 2
; 0; 1

K
1;
1 2
; 1

Запишем координаты векторов:
−→
AE
1 2
; 0; 1

−−→
BK
0;
1 2
; 1

и найдем косинус угла между векторами
−→
AE
и
−−→
BK
:
cos ϕ =
−→
AE
·
−−→
BK
−→
AE
·
−−→
BK
=
1 2
· 0 + 0 ·
1 2
+ 1 · 1
q
1 2

2
+ 0 2
+ 1 2
·
q
0 2
+
1 2

2
+ 1 2
=
2
√
5 2.
В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой рав- ны
1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми
AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X
и Y сделать параллельными сторонам основания.

X
Y
Z
A
A
B
C
D
S
S
O
O
E
K
1
√2 2
Координаты точек A, B и C найти легко:
A
1 2
; −
1 2
; 0

B
1 2
;
1 2
; 0

C
−
1 2
;
1 2
; 0

Из прямоугольного треугольника AOS найдем OS =
√2 2
Координаты вершины пирамиды: S 0; 0;
√2 2
.
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для ко- ординат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
E
1 4
;
1 4
;
√2 4

K
−
1 4
;
1 4
;
√2 4

Найдем координаты векторов
−→
AE
и
−−→
BK
:
−→
AE

−
1 4
;
3 4
;
√2 4

−−→
BK

−
3 4
;
1 4
;
√2 4

и угол между ними:
cos ϕ =
−→
AE
·
−−→
BK
−→
AE
·
−−→
BK
=
1 6
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3.
В правильной треугольной призме
ABCA
1
B
1
C
1
, все ребра которой равны
1,
точка
D — середина ребра A
1
B
1
. Найдите косинус угла между прямыми
AD и BC
1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось
Y
перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, явля- ющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

X
X
Y
Y
Z
A
B
B
C
C
D
A
1
B
1
C
1
H
H
A
(0; 0; 0)
1 1
1 2
1 2
√3 2
Запишем координаты точек:
A
0; 0; 0

A
1 0; 0; 1

B
1 2
;
√3 2
; 0

B
1 1
2
;
√3 2
; 1

C
1
−
1 2
;
√3 2
; 1

Точка D — середина A
1
B
1
. Значит, пользуемся формулами для координат сере- дины отрезка.
D
1 4
;
√3 4
; 1

Найдем координаты векторов
−−→
AD
и
−−→
BC
1
, а затем угол между ними:
−−→
AD
1 4
;
√3 4
; 1

−−→
BC
1
− 1; 0; 1

cos ϕ =
−−→
AD
·
−−→
BC
1
−−→
AD
·
−−→
BC
1
=
3 2
√
10
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между пря- мыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плос- костью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в про- странстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Ax
+ By + Cz + D = 0.
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости.
Его называют нормалью к плоскости.

n
(A; B; C)
α
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принад- лежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0)
и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Ax
+ By + Cz + D = 0.
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
Для точки M:
A
· 1 + B · 0 + C · 1 + D = 0.
То есть A + C + D = 0.
Для точки N:
A
· 2 + B · (−2) + C · 0 + D = 0;
2A − 2B + D = 0.
Аналогично для точки K:
4A + B + 2C + D = 0.
Получили систему из трех уравнений:



A
+ C + D = 0 2A − 2B + D = 0 4A + B + 2C + D = 0
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами,
а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:



A
+ C − 2 = 0 2A − 2B − 2 = 0 4A + B + 2C − 2 = 0



A
+ C = 2
A
− B = 1 4A + B + 2C = 2
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:



C
= 2 − A
B
= A − 1 4A + A − 1 + 4 − 2A = 2
Решив систему, получим:
A
= −
1 3
B
= −
4 3
C
=
7 3
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
−
1 3
x
−
4 3
y
+
7 3
z
− 2 = 0.
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
x
+ 4y − 7z + 6 = 0.
Вектор n(1; 4; −7) — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M (x
0
, y
0
, z
0
), име- ет вид:
A
(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0.
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
cos ϕ =
n
1
· n
2
n
1
·
n
2
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

ϕ
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произ- ведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4.
В кубе
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
точки
E и F — середины ребер соответственно
A
1
B
1
и
A
1
D
1
. Найдите тангенс угла между плоскостями
AEF и BDD
1
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD
1
пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нуж- ных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD
1
X
Y
Z
A
(0; 0; 0)
(1; 1; 0)
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
E
F
Сначала — нормаль к плоскости BDD
1
. Конечно, мы можем подставить коор- динаты точек B, D и D
1
в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD
1
— это диагональное сечение куба.
Вектор
−→
AC
перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: n
1
=
−→
AC
(1; 1; 0).
Напишем уравнение плоскости AEF .

A
0; 0; 0

E
1 2
; 0; 1

F
0;
1 2
; 1

Берем уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F .
A
0 · A + 0 · B + 0 · C + D = 0
E
1 2
· A + 0 · B + 1 · C + D = 0
F
0 · A +
1 2
· B + 1 · C + D = 0
Упростим систему:





D
= 0 1
2
A
+ C = 0 1
2
B
+ C = 0
Пусть C = −1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF : 2x + 2y − z = 0.
Нормаль к плоскости AEF : n(2; 2; −1).
Найдем угол между плоскостями:
cos ϕ =
|2 + 2|
√
2 ·
√
9
=
4
√
2 · 3
=
2
√
2 3
5.
Основание прямой четырехугольной призмы
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
— прямо- угольник
ABCD, в котором AB
= 5, AD =
√
33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани
AA
1
D
1
D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD пер- пендикулярно прямой
B
1
D, если расстояние между прямыми A
1
C
1
и
BD равно
√
3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классическо- го. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» :-)
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать
«параллелепипед».

X
Y
Z
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
O
1
O
(5; 0; 0)
5
(0;
√
33; 0)
(5; 0;
√
3)
√
33

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A
1
C
1
и BD равно
√
3». Прямые A
1
C
1
и BD скрещи- ваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего.
Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их об- щего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A
1
C
1
и BD — это, очевидно, OO
1
,
где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O
1
— точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO
1
и равен высоте параллелепипеда.
Итак, AA
1
=
√
3.
Плоскость AA
1
D
1
D
— это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор
−→
AB
(5; 0; 0) или, еще проще, вектор n
1
(1; 0; 0).
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B
1
D
». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B
1
D
— значит,
B
1
D
и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B
1
и D известны:
B
1 5; 0;
√
3

D
0;
√
33; 0

Координаты вектора
−−→
B
1
D
— тоже:
−−→
B
1
D
− 5;
√
33; −
√
3
= n
2
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
cos ϕ =
5
√
25 + 33 + 3
=
5
√
61
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
1 + tg
2
ϕ
=
1
cos
2
ϕ

Получим: tg ϕ =
6 5
Ответ:
6 5
Угол между прямой m и плоскостью α
тоже вычисляется с помощью ска- лярного произведения векторов.
Пусть a — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), n — нормаль к плоскости α.
n
α
m
a
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
sin ϕ =
n
· a
n
·
a
6.
В кубе
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
точка
E — середина ребра A
1
B
1
. Найдите синус угла между прямой
AE и плоскостью BDD
1
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат.
X
Y
Z
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
E
(1; 0; 0)
(1; 1; 0)
(0; 1; 0)
(0; 0; 0)
(1; 1; 1)
A
1; 0; 0

E
1;
1 2
; 1

Находим координаты вектора
−→
AE
0;
1 2
; 1
.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD
1
? В общем-то, без него можно обойтись.
Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор
−→
AC
(1; −1; 0).
Найдем угол между прямой и плоскостью:
sin ϕ =
−→
AC
·
−→
AE
−→
AC
·
−→
AE
=
2 2 ·
√
2 ·
√
5
=
1
√
10
Ответ:
1
√
10
Расстояние от точки M с координатами x
0
, y
0
и z
0
до плоскости
α,
заданной уравнением Ax
+ By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
h
=
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2 7.
В основании прямоугольного параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
лежит пря- моугольник
ABCD со сторонами AB
=
√
10, AD = 3
√
10. Высота параллелепипеда
AA
1
=
6
√5
. Найдите расстояние от точки
A до плоскости A
1
DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
X
Y
Z
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1 6
√5
√10 3
√10
A
0; 0; 0

A
1 0; 0;
6
√5

B
√
10; 0; 0

D
0; 3
√
10; 0

Запишем уравнение плоскости A
1
DB
. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A
1
, D и B в уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

A
1 6
√5
C
+ D = 0
B
√
10A + D = 0
D
3
√
10B + D = 0
Решим эту систему. Выберем D = −6
√
10.
Тогда C = 5
√
2, A = 6, B = 2.
Уравнение плоскости A
1
DB
имеет вид:
6x + 2y + 5
√
2z − 6
√
10 = 0.
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A
1
DB
:
h
=
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
=
6
√
10
√
50 + 36 + 4
=
6
√
10
√
90
= 2.
В некоторых задачах С2 требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.