Геометрические методы решения негеометрических задачИсследовательская работаОглавление:1. Введение…………………………………………………………………………………….32. Из истории развития геометрических методов………………………………………..43.Применение геометрических методов к решению задач………………………...53.1. Текстовые задачи………………………………………………………………….3.2. Решение уравнений и систем уравнений………………………………………….3.3. Решение тригонометрических задач………………………………………………3.4. Решение взаимосвязанных иррациональностей………………………………….3.5.Решение задач на вычисление наибольших и наименьших значений………….4. Итог…………………………………………………………………………………………5.Список литературы………………………………………………………………………….ВведениеАктуальность темы связана с необходимостью выработки навыка быстрого решения задач в условиях ограниченного времени при различных видах контроля знаний учащихся, например, тестирования, выполнения олимпиадных заданий, а так же с необходимостью поиска наиболее оптимальных способов решения различных задач.Цель: изучить геометрический метод решения задач. Овладеть способами решения алгебраических задач геометрическими методами. Сравнить его с другими методами: арифметическим (по действиям) и алгебраическим (с помощью уравнений, неравенств и их систем). Выявить возможные преимущества.Задачи:1. используя различные источники, выделить алгебраические задачи, решаемые геометрическими методами;2.  провести сравнительный анализ различных методов решения задач;3.  рассмотреть способы решения задач геометрическими методами в тригонометрии; 4.  рассмотреть решение геометрическими методами систем уравнений и уравнений;5.  провести исследование преимуществ данного метода.6.  провести анализ результатов;

---

7.  создать компьютерную презентацию.Объект исследования: Текстовые задачи, алгебраические задачи, тригонометрические задачи.Предмет исследования: Геометрические методы решенияГипотеза: геометрические методы решения задач являются более рациональными для выполнения большого числа заданий, и имеют важное значение для повышения математической культуры.Работая над этой темой, я ставила перед собой цель: исследовать и изучить различные задачи, при решении которых используются геометрические методы. Методы и приёмы исследования:

1. 
   Изучение необходимого для решения задач теоретического материала.
   
2. 
   Проработка различных источников (учебники, различные математические журналы, ресурсы Интернет) и поиск наиболее интересных и сложных задач.
   

В работе можно найти имена ученых, которые применяли это понятие в своих научных работах и способствовали его развитию.Изученные мною геометрические методы показывают, что довольно большое число примеров на решение уравнений, систем уравнений, стереометрических задач, задач на нахождение наибольших и наименьших значений существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху. Думаем, что эта работа будет интересна ученикам, изучающим математику углублённо.Из истории развития геометрических методовПервые упоминания применения геометрических методов в алгебре известны еще со времен пифагорейцев, которые стали изображать величины с помощью отрезков и прямоугольников. Сложение отрезков осуществлялось путем приставления одного из них к другому вдоль прямой, вычитание - путем отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку Умножение осуществлялось путем построения прямоугольника на соответствующих отрезках. Складывать можно было только однородные величины: отрезки с отрезками, прямоугольники с прямоугольниками. Во втором случае возникали трудности, ибо для объединения двух прямоугольников в один необходимо, чтобы у них была пара одинаковых сторон. Пифагорейцами для этого был разработан специальный прием (“Приложение площадей”), позволяющий данный прямоугольник преобразовать в равновеликий ему прямоугольник заданной высоты.

---

Дави́д ГильбертНемецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910—1920-е годы был признанным мировым лидером математиков. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики, в том числе и аксиоматику евклидовой геометрии, а так же являлся автором много идей геометрических методов решения различных задач.Арифметические знаки - это записанные геометрическиефигуры,а геометрические фигуры – это нарисованные формулы.Дьёрдь По́йаВенгерский, швейцарский и американский математик, популяризатор науки.Автор трудов по теории чисел, функциональному анализу, математической статистике и комбинаторике.Обучение – это ремесло, использующее бесконечное количество маленьких трюков.Применение геометрических методов к решению задачПри решении задач геометрическим методом нужно от алгебраической постановки задачи перейти к её геометрическому описанию. Затем, пользуясь свойствами фигур и взаимосвязями между ними, найти некоторые геометрические соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых можно получить решение задачи.В ряде случаев при решении задач на вычисление, при­менение геометрических методов предпочтительнее традиционных конструктивных подходов. Чтобы успешно решать различные задачи с помощью геометрических методов, требуется не только знание свойств фигур, различных формул, но и определенная ме­тодика при составлении плана решения. Отметим несколько важных положений. 1. Рассмотреть задачу с точки зрения геометрической модели некоторых взаимосвязанных объектов.2. Определить базовый уровень формул и теорем которые будут продвигать решение данной задачи.3. Используя установленные взаимосвязи определить оптимальный ход решения и осуществить его.Решение текстовых задач.Алгебраизация математического образования, неправильное убеждение, что с помощью уравнений мы можем решить любую текстовую задачу, привели к почти полному исчезновению из школьного математического курса класса достаточно сложных, но от этого не менее красивых задач. Между тем существует целый ряд задач, в том

---

числе и встречающиеся на конкурсном экзамене, которые гораздо удобнее решать «геометрически», чем «алгебраически». Решение задач осуществляется при помощи чертежей. Построение этих чертежей дает возможность «увидеть» задачу – установить и исследовать связи, существующие между величинами, входящими в задачу, выбрать кратчайший путь решения.

Например, для решения текстовых задач на движение удобно использовать графики и с помощью различных свойств геометрических фигур определять длины необходимых отрезков.

Очень часто в текстовых задачах рассматриваемая величина является произведением двух других. Поэтому, в таких задачах целесообразно перейти к методу площадей, для наглядности представляя такое произведение в виде площади прямоугольника, параллелограмма, или треугольника.
Задача 1

Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли одновременно два поезда. Каждый из них двигался сначала равноускоренно (начальные скорости поездов равны нулю, ускорения различны), а затем достигнув некоторой скорости, - равномерно. Отношение скоростей равномерного движения поездов равно . В некоторый момент времени скорости поездов оказались равными, а один из них прошел к этому времени расстояние в раза больше, чем другой. В пункты В и А поезда прибыли одновременно. Какую часть пути прошел каждый из поездов к тому моменту, когда их скорости оказались равными?

Решение:



Рис. 10

Рассмотрим графики (рис. 10), изображающие зависимость скорости от времени, для каждого поезда. Для одного поезда графиком является ломанная ОКМ, для другого ОК₁М₁. длина пройденного пути равна площади соответствующей фигуры. По условию площади трапеций ОКМN и ОК₁М₁N равны; значит, равновелики и фигуры ОКР и РК₁М₁М. Площадь ОКРLравна площади ОРL. Если площадь ОРL равна 1, то площадь ОКР есть

---

; площадь РК₁Т равна . Поскольку К₁Т= . Затем легко определяем площади остальных частей.Ответ: и .Решение уравнений и систем уравненийЗадача 2. Решите систему уравнений:Решение:Нетрудно убедиться, что x и y положительны.Так как , то числа y, и x являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника ABC с прямым углом ABC.Площадь этого треугольника 24 кв. ед., а его периметр 24 лин. ед. Тогда радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 2. Так как длина гипотенузы AB равна сумме длин катетов АС и ВС без удвоенной длины радиуса вписанной в этот треугольник окружности, то .Из второго уравнения системы получаем x=10. Значит, y=6 или y=8.Ответ: (10;6), (10;8).Решение тригонометрических задачЗадача 3. Вычислите tg15.Решение: В 10 классе ученики, используя одну из теорем сложения, могут выполнить задание примерно так:Но и в 9 классе эта задача не потребует много времени на её решение. Приведём его.Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) с углов АВС, равным 30

---

Смотрите также файлы

• Переходная экономика.doc

• Осложнения всех инъекций Классификация.docx

• Классный час в 9 классе Безопасность во время летнего отдыха.doc

• Разнообразие культур в процессе межкультурного взаимодействия.docx

• 8 сынып Компьютер мен желілерді техникалы сипаттамалары блімі бойынша жиынты баалау.docx