Файл: Пояснительная записка Цель данного пособия помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика и Динамика, научить применять представленные методы решения к практическим задачам..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2023
Просмотров: 201
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
12 10. В каких единицах измеряется угловая скорость в СИ
№ отв. Ответы вар
№ отв. Ответы вар. 2
скорость, которую будет иметь тело, если его движение станет равномерным величина, измеряемая отношением пути ко времени, за которое пройден этот путь
при котором любая прямая, жестко связанная с телом. перемещается параллельно самой себе при котором тело за равные промежутки времени проходит равные пути
скорость такого равномерного движения. у которого путь и время одинаковы с переменным движением скорость такого движения, при котором за единицу времени тело проходит путь в 1 м
ускорение такого равнопеременного движения, при котором скорость изменяется на 1 мс за 1 с такая скорость, которую будет иметь тело, если начиная сданного момента его движение станет равномерным
величина, измеряемая отношением изменения скорости к тому отрезку времени, за которое произошло это изменение При котором скорость за любые промежутки времени изменяется на одну и туже величину
при котором все точки тела движутся по параллельным прямым скорость такого равномерного движения, при котором путь в 1 м проходится за 1 с
скорость такого движения, у которого путь и время одинаковы с переменным движением при котором тело за равные промежутки времени проходит неодинаковые расстояния
13
ускорение такого движения, при котором скорость за единицу времени изменяется на 1 мс при котором тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути Тест № 3 КИНЕМАТИКА вариант 1 Вопросы Ответы Код
1. Точка движется по траектории, имеющей вид восьмерки, согласно уравнению S=f{t). Как изменится а в момент перехода с верхней окружности на нижнюю а увеличится в 2 раза
1 а уменьшится в 2 раза а увеличится в 4 раза
3 а уменьшится в 4 раза 2. Точка движется согласно уравнению
S=2 + 0,1t
2 Определить вид движения точки Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Неравномерное
4 3. Точка движется по дуге АВ согласно уравнению
S=0,1 t
3
+0,3t Определить начальную скорость и полное ускорение через 2 сдвижения, если радиус дуги 0,45 м
V
0
=0,1 мс a=5,14 мс 1
V
0
=3 мс a=1,2 мс 2
V
0
=0,3 мс a=5,14 мс 3
V
0
=0,3 мс мс 4
4. По графику скоростей точки определить путь, пройденный за время движениям мм м
4 5. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя 10 с, достигло скорости 50 мс. Определить путь, пройденный телом за это время
S=200 мм мм Тест № 3 КИНЕМАТИКА вариант 2 Вопросы Ответы Код
1. Точка движется по линии ABC ив момент t занимает положение В. Определить вид движения точки
a
t
= Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Неравномерное
4 2. По графику скоростей определить вид движения на участке 3 Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Неравномерное
4 3. Автомобиль движется по круглому арочному мосту
r = 100 м согласно уравнению Определить полное ускорение автомобиля через 3 сдвижения мс 1
4 мс 2
3,24 мс 3
6,67 мс 4
15 4. По графику скоростей точки определить путь, пройденный за время движениям мм м
4 5. Тело, двигаясь из состояния покоя равноускоренно, достигло скорости v = 10 мс за 25 с. Определить путь, пройденный телом за это время
S=125 мм мм Тест № 3 КИНЕМАТИКА вариант 3 Вопросы Ответы Код
1. Точка движется по линии АВС ив момент г занимает положение В. Определить вид движения очки а Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Неравномерное
4 2. По графику скоростей определить вид движения на участке 3
Равномерное
1
Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3
Неравномерное
4 3. Автомобиль движется по круглому арочному мосту r
= м согласно уравнению S=l0 t. Определить полное ускорение автомобиля через 3 сдвижения а = 2 мс 1 а = 4 мс 2 а = 4,47 мс 3
16 а = 6,67 мс 4
4. По графику скоростей точки определить путь, пройденный за время движениям м
4 5. Тело, двигаясь из состояния покоя равноускоренно, достигло скорости V=50 мс за 25 с. Определить путь, пройденный телом за это время
S = 125 мм мм Тест № 3 КИНЕМАТИКА вариант 4 Вопросы Ответы Код
1. Точка движется по линии ABC равноускоренно. Как изменится полное ускорение точки в момент перехода из точки В в точку В'
Неизменится
1 Изменится по величине
2 Изменится по направлению
3 Изменится по величине и по направлению
4
2. По приведенным кинематическим графикам определить соответствующий закон движения точки
Vt
S
1 2
2 0
0
at
t
V
S
S
2 2
2 0
at
t
V
S
3 2
2 0
at
t
V
S
4 3. Точка движется равноускоренно по окружности
V
0
= 0,5 мс
1
17
r= 10 м согласно уравнению S=0,5t
2
+ 2t. Определить начальную скорость
V
0
= 2 мс
2
V
0
= 2,5 мс
3
V
0
= 3,5 мс
4 4. По приведенному графику скорости определить путь, пройденный за время движениям мм м
4 5. Тело движется по дуге радиусам с постоянной скоростью 18 км/ч. Определить ускорение тела
a = 0,35 мс 1
a = 0,5 мс 2
a = 0,65 мс 3
a = 6,48 мс 4 Тест № 3 КИНЕМАТИКА Вариант 5 Вопросы Ответы Код
1. Шарик скатывается по желобу ABCDE трение отсутствует, V
A
= 0). В данный момент параметры его движения V = 2 мс а —2 мс а = 0. На каком из участков желоба находится шарик
1 2
3 4
2. По графику скоростей определить вид движения на участке 1 Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Неравномерное
4 3. Точка движется прямолинейно согласно уравнению S=0,5t
2
+ 10t+5
V
Q
= 10 мс а = 1 мс 1
V
Q
= 10 мс a=1 мс 2
18 Определить начальную скорость и ускорение на ей секунде движения
V
Q
= 30 мс а = 4 мс 3
V
Q
= 30 мс а = 3 мс 4
4. По заданному графику скоростей точки определить путь, пройденный за время движениям мм м
4 5. Тело, имевшее начальную скорость
120 мс, остановилось, пройдя 1200 м. Определить время до остановки с
1 t =6 c
2 t=10c
3 t=15c
4 Ответы к тесту №3 для самопроверки Вопросы
1 2
3 4
5 Вариант 1 2
4 3
4 2 Вариант 2 3
3 3
2 1 Вариант 3 2
3 1
3 2 Вариант 4 4
3 2
2 2 Вариант 5 4
4 1
2 1 Тест №4 Свободное падение Вариант 1 1. Что называется свободным падением
2. К какому виду движения относится свободное движение
3. Что можно сказать о числовом значении ускорения свободного падения в данной точке Земли для тел разного веса
19 4. Как изменяется ускорение свободного падения при увеличении высоты падения над поверхностью Земли
5. Чему равно ускорение свободного падения на экваторе
6. Каково значение ускорения свободного падения на полюсе
7. Какое значение ускорения свободного падения условились считать нормальным
№ отв. Ответы ускорение свободного падения уменьшается движение тела из состояния покоя под действием силы тяжести
9,832 мс движение тела из состояния покоя в безвоздушном пространстве под действием силы тяжести
9,78 мс прямолинейное ускоренное движение ускорение свободного падения остается постоянным
9,80665 мс прямолинейное равномерно ускоренное движение ускорение свободного падения возрастает Вариант 2 1. К какому виду движения относится движение тела, брошенного в безвоздушном пространстве вертикально вверх
2. Имеют ли одинаковое значение начальная скорость бросания и конечная скорость падения при движении тела в безвоздушном пространстве
3. Будет ли время подъема при движении тела в безвоздушном пространстве равно времени его падения
4. Чему равна скорость свободного падения (выразить словами формулу скорости свободного падения)
5. Чему равна высота свободного падения (выразить словами формулу пути при свободном падении)
6. Чему равен квадрат скорости свободного времени (выразить словами эту формулу)
20
№ отв. Ответы прямолинейное замедленное движение произведению ускорения свободного падения на время падения начальная скорость бросания больше конечной скорости падения половине произведения ускорения свободного падения на время падения начальная скорость бросания равна конечной скорости падения половине произведения ускорения свободного падения на квадрат времени время падения больше времени подъема удвоенному произведению ускорения свободного падения на высоту время падения равно времени подъема прямолинейное равнозамедленное движение Равномерное криволинейное движение точки Если a
t
=0 и a
n
≠0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно, но ее направление изменяется и точка движется криволинейно (рис. 3). Иначе, при равномерном движении по криволинейной территории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное a
n
=v
2
/ρ, где ρ – радиус кривизны траектории. Рис. 3 В частном случае движения точки по окружности радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный ρ=r=const, атак как и числовое значение скорости постоянно, то
const
V
a
n
2
21 При равномерном движении числовое значение скорости определяется по формуле
t
S
S
V
0
, или Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, те. s= 2π r= π d , а время равно периоду, те. t=T. Выражение скорости примет вид Пример 3. Тепловоз проходит закругление длиной 800 м засек. Радиус закругления по всей его длине постоянный и равняется 400 м. Определить скорость тепловоза и нормальное ускорение, считая движение равномерным. Решение
1. Принимая тепловоз за материальную точку, найдем его скорость v =
16 50 800
t
S
мс
2. Находим нормальное ускорение
2 2
400 16
V
a
n
= 0,64 мс 3. Таким образом, при равномерном движении тепловоза по закруглению со скоростью 16 мс он имеет нормальное ускорение a n
= 0,64 м/с
2
Равнопеременное движение точки Если a
t
= const (касательное ускорение постоянно как по модулю, таки по направлению, то a
n
=0. Такое движение называется равнопеременными прямолинейным. Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения
dt
dV
a
t
= const, то a
n
≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным. При │ a t
│> 0 движение точки называется равноускоренным, а при │ a
t
│< 0
- равнозамедленным.
22 Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид
2 2
0 0
t
a
t
V
S
S
; где S
0
- расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета
V
0
- начальная скорость и a
t
-
касательное ускорение – величины численно постоянные, аи- переменные. Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяются из уравнения V=V
0
+ a t
t. Уравнения эти являются основными формулами равнопеременного движения, и они содержат шесть различных величин три постоянные S
0,
V
0
, и три переменные S, V, t Для удобства решения есть вспомогательные формулы
t
V
V
S
S
2
)
(
0 0
;
t
a
V
V
S
S
2
)
(
2 0
2 В частном случае, когда начальные величины S
0
=0 и V
0
=0, то получаем те же формулы в упрощенном виде
2 2
t
a
S
t
a
V
t
t
V
S
2
t
a
V
S
2 Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением. К этому движению применимы те же формулы, причем a
t
= g= 9,81 мс 2
2
gt
S
gt
V
23
t
V
S
2
t
a
V
S
2 Пример 4. Шарик, размерами которого можно пренебречь, начинает скатываться по наклонной плоскости из состояния покоя. Через 20 с после начала движения шарик находится от исходного положения на расстоянии
6 м. Определить ускорение шарика и его скорость в конце й м й с, а также расстояние , пройденное шариком за первые с. Решение.
1. Из условия задачи следует, что S
0
=0 и V
0
=0. Пройденное за t
2
с расстоянием. Даны четыре величины. Требуется определить ускорение шарика (движение прямолинейное, значит определить нужно только a
t
), скорости
V
10
, V
20
и расстояние S
10 2. Найдем из формулы
2
Vt
S
скорость шарика, которую он приобретает в конце й с
2 20 20 2
t
S
V
=
20 6
*
2
= 0,6 мс
3. Найдем из формулы V= a
t
t ускорение шарика, которое он имеет, двигаясь по наклонной плоскости
2 20
t
V
a
t
=
20 6
,
0
= 0,03 мс 4. Теперь из этой же формулы можно найти скорость в конце й с
V
10
= a t* t
1
= 0,03 * 10 = 0,3 мс
5. Из формулы
2 находим расстояние, пройденное точкой за первые
10 см Решить самостоятельно Задача 1 Поезд, двигаясь со скоростью 72 км/час, подходя к станции, начал тормозить. Определить время и путь торможения, если замедление 0,4 мс – величина постоянная.
24 Задача 2 Автомобиль, движущийся равномерно и прямолинейно со скоростью 60 км/час, увеличивает в течение 20 с скорость до 90 км/ч. Определить, какое ускорение получит автомобиль и какое расстояние он проедет за это время, считая движение равноускоренным. Тест №5 Кинематика точки. Графики движения По названию графика начертить график вопроса Название графика Вид графика
1 График пути равномерного движения
2 График скорости равномерного движения
25 3 График скорости равноускоренного движения
4 График скорости равноускоренного движения безначальной скорости
5 График ускорения равноускоренного движения
6 График скорости равноускоренного движения с начальной скоростью
7 График скорости равнозамедленного движения
8 График пути движущейся точки, которая движется равномерно, а затем останавливается
26 9 График скорости движущейся точки, которая равноускоренно, а затем равномерно
1 0 График скорости равнозамедленного движения с конечной скоростью, равной нулю Тест № 6 Уравнения движения Каждому наименованию левой части уравнения определить соответствующую правую часть уравнения в группе Аи группе В Наименование левой части уравнения Правая часть уравнения для движения
№ отв. Безначальной скорости(гр.А)
№ отв. С начальной скоростью(гр.В)
1 Путь равномерного движения
…=2aS
…=V
0
+ at
2
/2 2 Путь равнопеременного движения, выраженный через ускорение
…=gt
2
/2
…=V
0
+at
27 3 Конечная скорость равнопеременного движения
…=V/2
…=(V
t
-V
0
)/t
4 Ускорение равнопеременного движения
…=gt
V
t
2
– V
0 2
=2aS
5 Средняя скорость равнопеременного движения
…=Vt
…= (V
t
-V
0
)t/2 6 Квадрат скорости равнопеременного движения (или … квадратов скоростей для движения с начальной скоростью)
…=Vt/2
…=V
0
t+at
2 7 Путь равнопеременного движения. выраженный через среднюю скорость
…=2gH
…= (V
t
+V
0
)t/2 8 Высота свободного падения
…= at
2
/2
V
t
2
+ V
0 2
=2aS
9 Скорость свободного падения
…=V/t
…= (V
t
+V
0
)t/2 10 Квадрат скорости свободного падения
…=at
…=V
0
t+at
2
/2
Простейшие движения твердого тела. Поступательное движение твердого тела. Движение твердого тела называют поступательным, если любой прямолинейный отрезок, неизменно связанный с телом, остается в процессе движения параллельным самому себе. При поступательном движении твердого тела все точки его описывают тождественные траектории.
28 Скорости поступательно движущегося тела по модулю и направлению равны между собой
V
1
= V
2
=V
3
= ….= Ускорения всех точек поступательно движущегося тела по модулю и направлению равны между собой
α
1
= α
2
= α
3
=…. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к изучению движения какой-либо одной из его точек. Обычно в качестве такой точки рассматривают движение центра тяжести С. Уравнения движения центра тяжести в координатной форме
X
c
=ƒ
1
(t)
Y
c
=ƒ
2
(t)
Z
c
=ƒ
3
(t)
Или в естественной форме с ƒ (t)
Y
c
=φ (X
c
) Различают поступательное движение твердого тела и прямолинейное движение точки. Точки твердого тела, движущегося поступательно, могут описывать любые криволинейные траектории. В частном случае эти траектории могут быть прямолинейными. Кинематические элементы поступательного движения твердого тела линейное перемещение, линейная скорость, линейное ускорение. Зависимости для равнопеременного поступательного движения такие же , как и для равнопеременного движения. Полный путь определяют по формуле
2
v
2
o
at
t
S
, где V
0
– начальная скорость. Полный путь можно определить, используя среднюю скорость
2 0
V
V
V
ср
; S = V
ср t
2 0
V
V
t; Если вместо t подставить
a
t
)
V
-
V
(
o
; то
*
2 0
V
V
S
a
o
V
-
V
=
a
V
V
2 2
0 Вращательное движение твердого тела.
29 Движение твердого тела называют вращательным, если в движущемся теле или вне его имеется ось вращения, которая при вращении остается неподвижной, а плоскость, проведенная через эту ось и произвольную точку тела, совершает поворот вокруг оси. Законом, или уравнением вращательного движения тела вокруг неподвижной оси, называют равенство, при помощи которого задается угол поворота тела φ как функция времени, те. φ = ƒ (t). Быстроту и направление вращения тела характеризует угловая скорость ω, равная первой производной повремени от угла поворота, те. Для характеристики быстроты изменения угловой скорости ω служит угловое ускорение ε, равное первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота, те.
)
(
2 2
t
f
dt
d
dt
d
, при этом, если
ω>0, ε>0 – движение ускоренное, если ω>0, ε< 0, то движение замедленное. Таким образом, основными кинематическими элементами вращательного движения являются угловое перемещение φ, в радианах угловая скорость ω, в рад/сек или в сек
-1
угловое ускорение ε, в рад/сек
2
или в сек
-2
Угловую скорость в технике часто измеряют числом оборотов n. При этом угловая скорость связана с n соотношением
30
n
. Частные случаи вращения тела
1. Если ω= const и, следовательно,
0
dt
d
, то вращение тела называют равномерным в этом случае закон вращательного движения имеет вид φ= φ
0
+ ωt, где φ
0
– угол поворота в начальный момент времени.
2. Если ε = const, то вращение тела называют равнопеременным. В этом случае
ω = ω
0
+ ε t;
30 2
2 где ω
0
– начальная угловая скорость, при этом, если ω
0
>0, ε>0 – движение равноускоренное, а если ω
0
>0, ε< 0, то движение равнозамедленное. Основные зависимости для равноускоренного ( равнозамедленного) вращательного движения. Полный угол поворота определяем по уравнению
2 начальный угол поворота принят равным нулю Полный путь можно определить, введя среднюю угловую скорость
2 0
ср
; тогда φ= ω ср.
t ;
2
)t
(
o
; угловое ускорение равно
t
)
-
(
o
, откуда
0
t
, следовательно,
φ= ω ср.
t=
0 0
*
2
=
2 2
0 Угловые величины вращающегося тела и линейные величины движущейся точки. Точка совершает либо прямолинейное, либо криволинейное движение, а тело – поступательное, вращательное или плоскопараллельное движение. Траекторией любой точки М, принадлежащей вращающемуся телу и отстоящей от оси вращения на расстоянии R, является окружность радиусом R. Если за время t тело повернулось на угол φ и имеет в в этот момент времени угловую скорость ω и угловое ускорение ε, то
1) линейное перемещение точки (длина дуги) S=Rφ;
2) линейная скорость ее равна v=Rω и направлена по касательной к окружности в сторону вращения
3) тангенциальное ускорение равно α
t
=Rε, а по направлению совпадает со скоростью v при ускоренном вращении и противоположно вектору скорости при замедленном вращении
4) нормальное ускорение равно
2 2
)
(
R
R
R
V
a
n
= ω
2
R и всегда направлено по радиусу коси вращения
31 Ускорение точки равно геометрической сумме нормального и касательного ускорений α = α
t
+ Модуль ускорения определяют по формуле
2 4
2 2
2
)
(
)
(
R
R
R
a
Ускорение отклонено от нормали к траектории на некоторый угол, определяемый из соотношения Основные уравнения, характеризующие поступательное и вращательное движения твердого тела Поступательное движение Вращательное движение Название Формула Название Формула Масса Момент инерции
g
Gr
mr
I
2 Путь Угол поворота
2 2
o
t
t
32 2
v)t
(v o
S
a
S
2
)
v v
(
2
o
2
2
)t
(
o
2
)
(
2 Время v)
v
(
2
o
S
t
a
t
)
v
- Время Конечная скорость o
v t
2S
v
at
o v
v
aS
2
v Конечная угловая скорость o
t
2
t
o
2 Начальная скорость v
2
v o
t
S
at
- v
v o
aS
2
v Начальная угловая скорость
t
2
o
t
- o
2 Ускорение
2
o
)
v
(
2
t
t
S
a
t
a
)
v
- Угловое ускорение Основное уравнение движения Основное уравнение движения Соотношения между вращательными поступательным движением Перемещение Скорость Касательное ускорение Нормальное ускорение Полное ускорение
)
(
2 Направление ускорения
2
n
t
a
a
tg
1 2 3 4 5 6 7 8
Пример 6. На шкив радиусом R= 20 см свободно намотана нерастяжимая нить, на которой висит груз (рис. Двигаясь вертикально вниз из состояния покоя по уравнению x= 400t
2
м, где x- расстояние от неподвижной оси mn,
33 груз приводит во вращение шкив. При этом нить сматывается без скольжения. Найти закон вращательного движения, угловую скорость и угловое ускорения шкива, а также полное ускорение обода колеса. Решение. Система состоит из трех тел шкива, груза В и нити. Шкив совершает вращательное движение, а грузи нить – поступательное. Отметим точку А, которая принадлежит одновременно двум телам – шкиву и нити. Скорость точки А, принадлежащей нити, а V
b
= dx/dt = 800t см/с Рис. 4 Так как по условию задачи нить нерастяжима и сматывается без скольжения, то скорость той же точки А, но принадлежащей шкиву, равна А
= R
ω=20 ω, тогда 20 ω= 800t, ω=40t с. Угловое ускорение шкива ε = d ω/dt=40 с const Закон вращательного движения шкива
2 2
o
t
t
Так как по условию ω
0
=0, то Касательное ускорение точки А α
t
=Rε=20*40 =8 мс const Нормальное ускорение точки А
2 4
2 2
/
,
1600 1
800
с
см
t
a
a
a
n
t
Пример 7 Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 16
рад/с. Определит, сколько оборотов сделает колесо за 5 мин вращения. Решение 1.
34 1. Находим угол поворота в радианах, имея ввиду что ω= 16 рад/с и t=
5мин=300с:
φ= ωt =16*300=4800 рад
2. Находим число оборотов маховика
763 2
4800 2
N
оборота. Решение 2.
1. Переведем угловую скорость ω=16 рад/с в об/мин:
5
,
152 14
,
3 16 30 30
n
об/мин
2. Имея ввиду, что уравнение равномерного вращательного движения можно представить так N = nt, находим N=152,5 *5 = 763 оборота Пример 8 Маховик, вращающийся с частотой n
0
= 90 об/мин, с некоторого момента начинает вращаться равноускоренно и через 1,5 мин достигает частоты вращения n =150 об/мин. Определить угловое ускорение маховика Какую скорость имеют точки на цилиндрической поверхности маховика через 45 сек после начала равноускоренного движения, если диаметр маховикам Решение Все угловые величины выражаем в радианном измерении.
1. Если n
0
= 90 об/мин, то 30 0
n
рад/с
2. Если n = 150 об/мин, то
5 30
n
рад/с
3. Из уравнения ω = ω
0
+ ε t находим угловое ускорение, учитывая, что изменение угловой скорости происходит за t=1,5 мин=90с:
2 0
/
45 90 3
5
с
рад
t
Определяем из формулы рад 90 2
)
3 5
(
2
)
(
0
Находим, какому числу оборотов соответствует этот угол поворота
180 2
360 2
N
оборотов.
35 4. Прежде, чем найти по формуле v
1
= R ω
1 скорость точек на ободе маховика в момент времени t = 45 с после начала равноускоренного вращения, необходимо найти угловую скорость маховика ω
1
в этот момент
ω
1
=ω
0
+ ε t
1
= 3π+ π/45*45= 4 π рад/с Зная, что
6
,
0 2
d
R
м, получаем v
1
= R ω
1
=4 π*0,6 = 7,54 мс Пример 9. Колесо, вращающееся с частотой 1500 об мин, при торможении начинает вращаться равнозамедленно и через 30 с останавливается. Определить угловое ускорение и число оборотов колеса с момента начала торможения до остановки. Решение.
1. Выразим начальную угловую скорость в рад/с:
157 30 0
n
рад/с
Найдем угловое ускорение из формулы 30 157 0
0
t
рад/с
2.
5
,
0 2
1500 0
2 0
t
n
n
N
375 оборотов Пример 10. Неравномерное вращательное движение. Вращение вала в течение первых с происходит согласно уравнению φ=0,8 t
3
. определить угловую скорость вала в конце й секунды, угловое ускорение вначале движения, в конце й и й секунды, сколько всего оборотов сделает вал за 20 с. Решение.
1. Определим число оборотов вала за 20 с. Для этого предварительно найдем угол поворота за 20 с φ=0,8 t
3
= 0,8 * 20 3
= 6400 рад.
2.
1020 2
6400 2
N
оборотов
3. Определим уравнение угловой скорости вала
2 3
4
,
2
)
8
,
0
(
t
t
dt
d
Найдем угловую скорость вала в конце й секунды к t
2
= 2,4 *20 2
= 960 рад/с Если выразить эту угловую скорость в об/мин, ток об/мин
36 4. Определим уравнение углового ускорения
t
t
dt
d
8
,
4
)
4
,
2
(
2
5. Найдем угловое ускорение вначале движения (t=0), в конце й секунды
(t=10), и й секунды (t=20):
ε
0
= 4,8t
0
=0; ε
10
= 4,8t
10
=48 рад/с; ε
20
= 4,8t
20
=96 рад/с. Задачи для самостоятельного решения Вариант 1
1. Поезд движется со скоростью 72 км/час, при торможении он получает ускорение (замедление, равное 0,4 мс. Найти, за какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начало торможения. Ответ см. Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно, через
10 мин после начала движения оно имеет частоту вращения 120 об/мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 минут Ответ 600 оборотов Вариант 2
1. Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/час, определить замедление (ускорение) его при посадке на пути S=1200 м, движение равнозамедленное. Ответа мс. Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость
ω=2π рад/сек, сделав 10 оборотов, оно вследствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение колеса, считая его постоянным. Ответ ε=0,1 π рад/с
2
Вариант 3
1. При загрузке бетономешалки частота вращения барабана падает с 20 до 15 об/мин в течение 1 мин. Вычислить угловое ускорение, считая его постоянными число оборотов бетономешалки за этот промежуток времени. Ответ ε =0,0087
рад/с
2
, N= 17,5 оборотов
2. Тепловоз проходит закругление длиной 960 м за 40 секунд. Радиус закругления по всей его длине 800 м. определить скорость тепловоза и ускорение, если движение равномерное. Ответ V= 24 мс, а мс
37 Вариант 4
1. В момент включения двигателя маховик имел 210 об/мин. Сколько оборотов сделает он до полной остановки при замедлении (ускорении) 0,628 рад/с? Какова продолжительность торможения Ответ N=61,3 оборотов t=35c
2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 49 мс. Определить наибольшую достигнутую высоту. Ответ H= 122,5 м Вариант 5
1. Какой наружный диаметр имеет шлифовальный круг, если его частота вращения 3350 об/мин, а скорость шлифования составляет 35 мс Ответ м
2. Считая, что спутник движется равномерно вокруг Земли по круговой орбите радиусом 6750 км, и его период обращения 1 час 31 мин, определить скорость и нормальное ускорение. Ответ V= 7,76 км/с, а м/с
2
Вариант 6
1. Барабан подъемной машины имеет диаметр 5,6 м. Скорость движения каната
16 мс. Определить частоту вращения барабана. Сколько оборотов сделает барабан вовремя подъема, если глубина шахты 575 м Ответ n=54, 6 об/мин,
N= 32,7 оборота
2. Тело свободно падает с высоты 44,1 м. Определить время падения и скорость в момент достижения Земли. Ответ t=3 c; V= 29,4 мс Вариант 7
1. Поезд, имея начальную скорость 57 км/час, прошел 600 м за первые 30 секунд. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30 секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закругленном радиусе R=1 км. Ответ V=25 мс, а мс. С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращавшийся с n=1200 об/мин, сделал до остановки 80 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если вращение равнозамедленное? Ответ t=8
c Вариант 8
38 1. Угол полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу равен 60 Касательное ускорение ее в данный момент α
t
=10√3 мс. Найти нормальное ускорение точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии R=0,5 м. Радиус колесам. Ответ α
n
= 5 мс. Точка движется с начальной скоростью V
0
= 1,2 мс и касательным ускорением
α
t
= 1,2 мс и проходит путь S= 30 м. Найти конечную скорость. Ответ км с Тест №7 Вращательное движение. Линейная скорость. Угловая скорость. Для каждого вопроса группы А указать правильный ответ из группы А, для каждого вопроса группы В указать правильный ответ из группы В. Вопросы группы А
1. Что называется периодом вращательного движения
2. Что называется частотой вращения
3. Какая существует аналитическая связь между частотой и периодом
4. В каких единицах измеряется период
5. В каких единицах измеряется частота
6. Что называется линейной скоростью вращательного движения
7. Как направлена линейная скорость
8. В каких единицах измеряется линейная скорость Вопросы группы В
1. Какой вид имеет формула линейной скорости
2. Что называется угловой скоростью
3. Какой вид имеет формула угловой скорости
4. В каких единицах измеряется угловая скорость
5. Что принимается за один радиан
6. Сколько радиан содержится в полной окружности
7. Какая существует аналитическая связь между линейной и угловой скоростью
№ Вариант А
№ Вариант В
39 вопр. вопр.
Т
центральный угол, дуга которого равна одному радиусу
по окружности
2π=6,28
с
Т мс
величина, измеряемая отношением угла, на который поворачивается точка (тело, ко времени поворота
время одного оборота
π=3,14
число оборотов в 1 мин
V= ωR
по касательной к окружности
Т
с
Т
скорость движения точки по окружности рад/с
число оборотов в 1 с
ω=VR Тест №8 Центростремительное ускорение. Центростремительная и центробежная силы Для каждого вопроса группы А указать правильный ответ из группы В. Тоже для группы С Вопросы группы А
1. Какое вращательное движение называется равномерным
2. Остается ли постоянной при равномерном вращательном движении линейная скорость как векторная величина
3. Какая величин характеризует изменение линейной скорости по направлению при равномерном вращательном движении
4. Какой вид имеет формула центростремительного ускорения
5. В каких единицах измеряется центростремительное ускорение
6. Может ли возникнуть ускорение без воздействия на тело силы
40 7. Какая сила является центростремительной
8. Какая сила является центробежной
№ вопр Ответы группы А сила с которой удерживающее тело действует на вращающееся тело центробежное ускорение Нет. Скорость непрерывно изменяется по направлению м/с
2
…сила, с которой тело, вращающееся по окружности, действует на связь
a=ω
2
/R движение, при котором угловая скорость остается постоянной Нет. Ускорение всегда возникает под действием силы центростремительное ускорение Вопросы группы В
1. Какое направление имеет центростремительная сила
2. Какое направление имеет центробежная сила
3. Какой вид имеет формула центробежной силы
4. Какой вид имеет формула центростремительной силы
5. В каких единицах измеряется центробежная сила в СИ
6. На основании какого закона можно заключить, что центробежная сила и центростремительная сила равны
7. Могут ли центробежная и центростремительная силы возникать и исчезать одновременно
8. Какой вид имеет формула центробежной силы
№ вопроса Ответы группы В в Ньютонах Да, эти силы возникают и исчезают одновременно на основании второго закона Ньютона
41 по радиусу к центру окружности
F=mV
2
/R в килограммах
F=mω
2
/R на основании третьего закона Ньютона Нет. Они могут исчезать и возникать в разное время по радиусу от центра окружности Вопросы группы С
1. Могут ли центростремительная и центробежная силы взаимно уравновешиваться
2. Камень, привязанный к нити, вращается по окружности. Какая сила в этом случае является центробежной
3. Какая сила в примере предыдущего вопроса является центростремительной
4. Автомашина движется по выпуклому мосту. Чему равна здесь центростремительная сила в момент прохождения автомашины через середину моста
5. Какая сила в примере предыдущего вопроса является центробежной
6. Какая сила является центростремительной во вращательном движении Луны вокруг Солнца
7. Какая сила в примере предыдущего вопроса является центробежной
№ вопр. Ответы группы В сила, с которой нить действует на камень сила. с которой камень действует на нить сила, с которой Луна притягивает Землю разности силы тяжести, действующей на машину, и реакции моста могут, так как центробежная и центростремительная силы равны по величине и противоположны по направлению сила, с которой Луна притягивается к Земле
42 сила, с которой мост давит на машину Нет. Центробежная и центростремительная силы приложены к разным телам сила, возникающая вследствие движения автомашины по окружности и действующая на Землю вертикально вверх Тест № 9 Вращательное движение Для каждого вопроса выбрать правильный ответ из трех ответов, расположенных водной горизонтальной графе Вопросы
1. При равномерном вращательном движении величина скорости не изменяется. Почему же возникает центростремительно ускорение
2. Чему равен угол между скоростью и ускорением в прямолинейном движении
3. Чему равен угол между линейной скоростью и центростремительным ускорением
4. Зависит ли центростремительное ускорение равномерного вращательного движения от массы вращающегося тела
5. Каким законом Ньютона пользуются при выводе формулы центростремительной и центробежной сил
6. На основании какого закона Ньютона делают заключение о равенстве центробежной и центростремительной сил
7. Почему центробежная и центростремительная силы взаимно не уравновешиваются
8. Могут ли центробежная и центростремительная силы возникать и исчезать в разное время
9. Как изменяется центростремительное ускорение при увеличении радиуса вращения, если частота вращения остается неизменной
10. Как изменяется центростремительная сила приуменьшении радиуса вращения, если частота и масса тела постоянны
43 Ответы
№ вопр
№ отв Группа А Группа В Группа С
1
ввиду того, что при вращательном движении линейная скорость изменяется по направлению ввиду того, что вращательное движение вызвано действием на тело некоторой силы ввиду того, что центростремительное ускорение не зависит от линейной скорости
2 90 0
0 0
180 0
3 90 0
0 0
180 0
4
и зависит и не зависит зависит не зависит
5
третьим законом вторым законом первым законом
6
второго закона первого закона третьего закона
7
потому что эти силы действуют на разные тела нет. Эти силы могут уравновешиваться потому что они неравны между собой
8
да, могут возникать и исчезать в разное время возникают в разное время, но исчезают одновременно эти силы возникают и исчезают одновременно
9
уменьшается возрастает остается неизменной
10
уменьшается остается неизменной возрастает
44 Тест №10 Вращательное движение Для каждой величины указать определение (гр.А). буквенное обозначение этой величины (гр.В), сокращенное обозначение ее единицы или размерность
(гр.С)
№ вопр. Величина Ответы
№ Определение
Гр.А
№ Буквенное обозн.
Гр.В
№ Размерность
Гр.С
1 Линейная скорость вращательного движения сила, удерживающая мат. точку при движении по окружности и направленная к центру вращения
f
Об/мин
2 Период вращения величина, численно равная угловому перемещению точки в единицу времени
φ с
-1
=об/с
3 Частота вращениям Число оборотов в минуту величина, численно равная отношению длины дуги, которую проходит точка за некоторый промежуток времени, к этому промежутку.
T Н
5 Угловая скорость угол, на который поворачивается тело за единицу времени
F
цб мс
6 Центростремительное ускорение число оборотов точки вокруг оси вращения в единицу времени а рад
45 7 Центробежная сила угол, на который поворачивается тело за время t n
8 Центростремительная сила величина, характеризующая изменение направления линейной скорости при вращательном движении
l=2πR
Рад/с
9 Угловое перемещение время, затрачиваемое точкой на один полный оборот вокруг оси вращения
F
цс с
10 Длина окружности
… сила, действующая на удерживающее тело и возникающая вследствие вращениям с Тест №11 Равномерное вращательное движение Для каждой величины указать различные варианты правой части формулы, выражающей эту величину
№ вопр Величина Ответы
№ ВариантА №
ВариантВ
№
ВариантС
1 Линейная скорость вращательного движения mV
2
/R mω
2
/R mV
2
R
2 Угловая скорость
2πf
ω
2
R
3 Центростремительное ускорение
2π R n/60
πRn/30 4 Центробежная сила
2π Т
4 π
2
f
2
R
5 Центростремительная сила
1/f
πD
46 6 Период вращения
V
2
/R Т
4 π
2
m f
2
R
7 Частота вращения
60 f mω
2
R
8 Число оборотов в минуту Т
9 Угловое перемещение
2π R f
πn/30 10 Длина окружности
ωt
47 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 1 Вопросы Ответы Код
1. Закон вращательного движения тела
φ= 1,2 t
2
+ 2,4 t ? Определить, за какое время угловая скорость тела достигнет величины ω = 19,2 рад/с
2,4 с
1 с
2 с
3 12,4 с
4 2. Выбрать соответствующий кинематический график движения, если закон движения
φ
1 2 3 4 5 6 7 8
= 1,3t
2
+ t А
1 В
2 С
3
D
4 3. Для движения, закон которого задан в вопросе 2, определить угловое ускорение в момент t = с
1,3 рад/с
2 1
2,6 рад/с
2 2
26 рад/с
2 3
130 рад/с
2 4
4. Груз F начинает двигаться вверх из состояния покоя с постоянным ускорением а = 1,26 м/с
2
Определить частоту вращения колеса через 5 секунд после начала движения n= 10,5 об/мин
1 n= 62,5 об/мин
2 n= 100об/мин
3 n= 597об/мин
4 5. Известно, что скорость точки A V
A
= 12 мс Определить скорость точки В
2,4 мс
1 6 мс
2 8,4 мс
3
48 r
1
= мм мс
4 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 2 Вопросы Ответы Код
1. Барабан вращается со скоростью ω=2πt Какое это вращение Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4 2. Закон вращательного движения тела φ = 0,68t
3
+ t
Определить ω в момент t = 3 с
ω= 19,4 рад/с
1
ω = 18,4 рад/с
2
ω = 6,1 рад/с
3
ω = 21,4 рад/с
4 3. Поданным, приведенным в вопросе 2, определить ε тела в момент t = 5 с
ε = 18,4 рад/с2 1
ε = 20,4 рад/с2 2
ε = 22,2 рад/с2 3
ε = 28,2 рад/с2 4
4. Скорость ротора электродвигателя в период разгона меняется согласно графику Определить число оборотов ротора за период разгона
408 20 об
1 65 об
2 165 об
3 408 об
4 5. Маховое колесом вращается равномерно и а = 13 мс 1
49 в момент времени t= с имеет ω = 130 рад/с. Определить полное ускорение точек на ободе колеса в этот момента мс 2 а = 1300 мс 3 а = 1690 мс 4 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 3 Вопросы Ответы Код Закон вращательного движения тела
φ = 0,25t
3
+ 4t? Определить вид движения Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4 2. Закон вращательного движения колеса φ = 0,3t
3
+ 3. Определить ускорение колеса в момент t
= 5 с
7,5 рад/с
2 1
9 рад/с
2 2
22,5 рад/с
2 3
25,5 рад/с
2 4
3. При торможении ротора электродвигателя его скорость меняется согласно графику. Рассчитать число оборотов ротора до полной остановки
938 об
1 942 об
2 150 об
3 450 об
4 4. Какие ускорения возникнут в точке А при равномерном вращении колеса
a
n
≠0; a
t
=0
1
a
n
=0; a
t
≠0
2
a
n
≠0; a
t
≠0
3
a
n
=0; a
t
=0
4 5. Определить полное ускорение на ободе колеса а = 6,6 мс 1
50
r= 0,6 м, при t = 3 с, если ω = 11 рад/с. Движение равномерное а = 3,96 мс 2 а = 72,6 мс 3 а 19,8 мс 4 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 4 Вопросы Ответы Код
1. По заданному закону вращения регулятора
φ = π(1 +2t)
Определить вид движения Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4 2. Закон вращательного движения колеса
φ = 6t - l,5t
2 Определить время до полной остановки с
1 с
2 с
3 с
4 3. По условию предыдущей задачи определить число оборотов колеса до остановки
1 об
1 0 об
2
6 об
3
12 об
4 4. При вращении скорость маховика изменяется по графику.
Определить угловое ускорение маховика в конце рассматриваемого участка n
1=
420 об/мин, t
1
= 20 с
1,2 рад/с
2 1
2,2 рад/с
2 2
4,2 рад/с
2 3
2,8 рад/с
2 4
51 5. Определить нормальное ускорение точек на ободе колеса диаметром 0,2 м, если закон движения
φ= 0,4t
3 t = с
0,4 мс 1
7,2 мс 2
11,7 мс 3
23,3 мс 4 Тест № 12 КИНЕМАТИКА вариант 5 Вопросы Ответы Код
1. Закон движения колеса
φ = Определить угловую скорость вращения колеса в момент t = 5 с
24 рад/с
1 15,8 рад/с
2 75,4 рад/с
3 131,2 рад/с
4 2. Колесо вращается по закону, приведенному в вопросе 1. Определить угловое ускорение колеса в момент t= 3 с
18 рад/с
2 1
5,8 рад/с
2 2
8,6 рад/с
2 3
14,4 рад/с
2 4
3. Скорость ротора менялась согласно графику и за 120 оборотов достигла ω= 50,2 рад/с. Определить время разгона до указанной скорости
4,8 с
1 с
2 30 с
3 42 с
4 3. При вращении колеса скорость и ускорение в точке А имеют указанные на чертеже направления. Определить вид вращения, если а, = const Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4
52 5. Колесо вращается с частотой п = 250 об/мин. Определить полное ускорение точек на ободе колесам мс 1
547 мс 2
12,5 мс 3
4620 мс 4 Ответы к тесту №12: Вопросы
1 2
3 4
5 Вариант 1 3
1 2
3 3 Вариант 2 2
1 2
2 4 Вариант 3 4
2 3
1 3 Вариант 4 1
1 1
2 3 Вариант 5 3
1 3
3 2 Сложное движение точки. В мире все находится в непрерывном движении, и неподвижная система координат в действительности не существует. Поэтому возникает необходимость рассматривать движение точек одновременно по отношению к двум системам отсчета, одна из которых считается неподвижной, а вторая определенным образом движется по отношению к первой. Движение точки в данном случае называется сложным. Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным. Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным. Движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной называется переносным. Абсолютное движение является сложными состоит из относительного и переносного движений. В тех случаях, когда заданы движения двух или более тел (точек) относительно неподвижной системы координат и необходимо определить
53 движение одного из этих тел относительно другого, удобно пользоваться расчленением абсолютного движения на переносное и относительное. Тело, относительно которого требуется рассмотреть движение, мысленно остановим, а неподвижную систему координат заставим двигаться по его закону, нов обратном направлении. Тогда для второго тела это движение станет переносным, а движение второго тела - относительным. После этого просто понять, как будет двигаться второе тело по отношению к первому. При изучении сложного движения точки будем рассматривать только перемещение и скорость. Если переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой, то
1. перемещение точки в абсолютном движении равно алгебраической сумме перемещений в переносном и относительном движениях
2. скорость точки в абсолютном движении равна алгебраической сумме переносной и относительной скоростей. Условимся направление переносного перемещения и соответственно направление переносной скорости считать положительными. Тогда относительное перемещение и соответственно относительная скорость будут также положительными, если они направлены в туже сторону, что и переносное. Если же относительное перемещение имеют направление, противоположное переносному, то будем считать их отрицательными. Таким образом, при совпадении направлений переносного и относительного движений
отн
пер
абс
V
V
V
При противоположных друг другу направлениях переносного и относительного движений
отн
пер
абс
V
V
V
Модуль абсолютной скорости находится по теореме косинусов
)
,
cos(
2 2
2
отн
пер
отн
пер
отн
пер
абс
V
V
V
V
V
V
V
, а направление по теореме синусов
)
sin(
)
sin(
)
sin(
пер
абс
отн
отн
абс
пер
отн
пер
абс
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Указания к решению задач
54 1. Выяснить, какое движение является абсолютным, какое относительным, какое переносным.
2. Направить векторы абсолютной, относительной и переносной скоростей.
3.
Простроить параллелограмм или треугольник скоростей и из него найти неизвестные величины. Пример 7. Наклонная плоскость АВ (рис) с углом ВАС, равным 45
0
, движется прямолинейно с постоянной скоростью v=5 мс. По плоскости скользит тело
G со скоростью 2t . определить абсолютную скорость тела через 5 с после начала движения, считая, что в начальный момент относительная скорость тела G равнялась нулю. Рис Решение. Прямолинейное движение тела со скоростью 2t по движущейся плоскости
– относительное V
отн.
=2t. Прямолинейное движение наклонной плоскости с постоянной скоростью пер мс – переносное. Таким образом, V
абс
=V
пер
+V
отн
, угол между векторами пери V
отн в параллелограмме скоростей = 45 0
, тогда
)
,
cos(
2 2
2
отн
пер
отн
пер
отн
пер
абс
V
V
V
V
V
V
V
=
t
t
2 10 4
5 Определяем модуль абсолютной скорости в момент времени 5 секунд. абс
= √5 2
+ 45 2
+ 10√2*5 =14 мс Пример 8.
55 Вниз по течению реки равномерно плывет лодка, приводимая в движение гребным винтом от мотора. Скорость течения реки 4 км/ч, скорость лодки, сообщаемая ей гребным винтом по отношению к воде, составляет 8 км/ч. Определить скорость лодки относительно берегов и расстояние, которое проходит лодка вдоль берегов за 20 мин. Решение.
1. Лодку принимаем за материальную точку, а водную массу реки – за материальную среду. Движение лодки относительно берегов или, иначе говоря, движение лодки, наблюдаемое с берега, - это абсолютное движение. Переносное движение лодки – ее перемещение вместе с рекой скорость – 4 км/ч, которую сообщает лодке река, - ее переносная скорость.
Относительное движение – перемещение лодки по поверхности воды, создаваемое гребным винтом, скорость относительного движения – 8 км/ч.
2. Так как в данном случае переносное и относительное движения направлены в одну и туже сторону, то скорость лодки относительно берегов абсолютная скорость) абс реки+ лодки 4+8 = 12 км/ч
3. За время t = 20 мин =
3 часа лодка вдоль берегов проходит расстояние абс абс t = 12 *
3 1
= 4 км. Для самостоятельного решения. Задача С какой скоростью относительно берегов будет перемещаться лодка и какое расстояние она проплывет за 30 мин, если будет двигаться против течения Ответ абс 4 км/ч абс км
Сложное движение твердого тела Плоскопараллельным движением твердого тела называют такое движение, при котором все точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
56 Плоскопараллельное движение является сложным, состоящим из переносного поступательного вместе с выбранным полюсом и относительного вращательного движений вокруг полюса. Отметим, что скорость поступательного движения зависит от выбора полюса, а угловая скорость вращательного движения не зависит от выбора полюса. Применяют три способа определения скоростей точек плоской фигуры
1 способ. (риса) Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса Аи скорости той же точки во вращательном движении данной фигуры относительно полюса V
ВА
: В А +V
ВА
При этом скорость полюса А по существу является переносной скоростью точки В, а скорость во вращательном движении вокруг полюса V
ВА
– относительной скоростью точки В. Модуль относительной скорости V
ВА
=ω АВ, где ω – угловая скорость плоской фигуры. Рис 2 способ. (рис, б) В любой момент времени в плоскости фигуры можно найти такую точку Р, абсолютная скорость которой равна нулю V
P
=0. Точку Р называют мгновенным центром скоростей плоской фигуры. Скорость любой другой точки А этой плоской фигуры равна вращательной скорости той же точки вокруг мгновенного центра скоростей.
V
А
=АР ω.
57 3 способ. (рис, в) Если при плоскопараллельном движении фигуры известны модуль и направление одной точки Аи направление другой точки В, то неизвестный модуль точки В можно определить последующей теореме проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление этого отрезка равны между собой, те. ПРАВ
V
A
= ПРАВ
V
B. Пусть на отрезке АВ известны V
A
, α, β и направление В. Требуется определить модуль В. Тогда ПРАВ
V
A
= V
A
cos α, ПРАВ В В cos β, Подставляя проекции скоростей в ПРАВ
V
A
= ПРАВ
V
B, находим В V
A
cos
α/ cos β. Определение мгновенного центра скоростей. При решении задач возможны следующие случаи Известны вектор скорости одной точки V
A
и угловая скорость вращения плоской фигуры ω (риса. Мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре, восстановленном из точки А к направлению вектора скорости, на расстоянии АР = V
A
/ ω. Если мгновенный центр скоростей при движении тела остается неподвижным, то плоское движение превращается во вращательное. Рис. 7 2. Известны только направления скоростей двух точек Аи В, причем линии действия векторов скоростей пересекаются (рис, б. Мгновенный центр
58 скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в этих точках, к направлению их скоростей. Так как V
A
= АР ω и В ВР ω, то V
A
/ V
В
=АР/ВР. Если скорости двух точек параллельны и направлены в одну сторону, а прямая, соединяющая эти точки, не перпендикулярна направлению скоростей, то тело движется поступательно
3. Известны векторы двух точек V
A
и В, причем V
A и В параллельны и направлены в одну сторону (рис, в. Прямая, соединяющая эти точки, перпендикулярна направлению скоростей. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении прямой, проведенной через концы векторов V
A и В , и продолжении прямой АВ , со стороны точки, имеющей меньшую скорость. Расстояния от мгновенного центра скоростей до точек Аи В пропорциональны модулям скоростей. АР V
В
/ВР. Если V
A
= В, тов данный момент тело движется поступательно. В этом случае мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Скорости всех точек плоской фигуры геометрически равны, а скорость вращения вокруг любого полюса равна ω=0 4. Векторы V
A
и В параллельны, но направлены в разные стороны (рис, г. Мгновенный центр лежит на отрезке АВ и делит его на части, пропорциональные величинам скоростей. АР V
В
/ВР
5. Плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой рис, г. Мгновенный центр скоростей Р находится в точке касания фигуры с кривой. Пример 9 Стержень АВ двигается в плоскости чертежа. В момент, когда стержень занимает горизонтальное положение(рис.8, а, скорость его точки А равна 2 мс и направлена под углом 60
0
к прямой АВ. Определить скорость точки В, если известно, что она направлена вдоль АВ. Решение 1. Сложение переносной и относительной скоростей (рис, б)
59 Рис. 8 1. Примем за полюс точку А. Вместе с полюсом стержень АВ движется поступательно, поэтому точка В как слагаемая скорость имеет скорость полюса, те. V
A
, которую изобразим уточки В вектором ВК.
2. Вследствие вращения стержня вокруг полюса точка В имеет вторую слагаемую скорость В – относительную скорость, направленную перпендикулярно к стержню.
3. Построим параллелограмм скоростей. В параллелограмме известно направление диагонали, которая изобразит искомую скорость В поэтому из точки К проведем до пересечения с продолжением АВ отрезок KL, параллельный направлению относительной скорости V В. Затем из точки L проведем прямую
LD, параллельную КВ ( или вектору V
A
), до пересечения в точке D с линией, характеризующей направление V В. Получается параллелограмм BKLD, в котором диагональ BL изображает V В - скорость точки В.
4. Находим числовое значение V В Треугольник BLK – прямоугольный, поэтому V В V
A
cos α= 2 cos 60 0
= 1 м. Решение 2. При помощи мгновенного центра скоростей (рис, в.
1. Из точек Аи В проведем две прямые, перпендикулярные к направлениям скоростей V В и V
A
. Точка С пересечения этих прямых и определит положение МЦС.
2. Вращение стержня АВ вокруг МЦС Св данный момент характеризуется угловой скоростью ω. Поэтому V В В V
A
/ AC = ω.
60 Отсюда V В = V
A
ВС/АС, но т.к. угол ВСА =α, то ВС/АС = cos α, следовательно
V В = V
A
cos α= 2 cos 60 0
= 1 м. Решение 3. С применением теоремы о проекциях скоростей двух точек плоского сечения.
1. В рассматриваемом случае искомая скорость V В направлена вдоль прямой, соединяющей точки Аи В, при этом известен угол между данной скоростью V Аи той же прямой АВ. Поэтому удобно применить теорему проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление этого отрезка равны между собой.
2. Спроектировав данную скорость V Аи искомую скорость V В напрямую
АВ (рис.4,в) и приравняв эти проекции, получим
V В = V
A
cos α, откуда V В = V
A
cos α= 2 cos 60 0
= м. Основные понятия динамики Предмет динамики. В динамике изучают движение механической системы материальных точек, в связи с действующими на нее силами. Аксиомы (законы) динамики. В основе динамики лежат четыре аксиомы (закона, сформулированные Исааком Ньютоном. Первая аксиома (Закон инерции. Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние силы не выведут её из этого состояния. Если тело движется прямолинейно, тона него или совсем не действуют никакие силы (идеальный случай) или действует уравновешенная система сил реальный случай. Всякая материальная точка обладает инертностью, те. она стремится сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Другими словами, инертность — свойство сохранять скорость (по модулю и по направлению.
61 Сама материальная точка, безучастия внешних сил, не может изменить свою скорость. Вторая аксиома (Основное уравнение динамики точки Сила равна массе, умноженной на ускорение Р = а. Так как масса — величина скалярная, то вектор силы направлен в туже сторону, что и вектор ускорения. Чем больше масса, тем большую силу необходимо приложить к точке, чтобы изменить ее скорость. Следовательно, масса является мерой инертности. Всякая материальная точка притягивается к Земле с силой, которую называют весом. Чем больше масса материальной точки, тем больше ее вес. Следовательно, масса является и мерой тяжести. В применении к свободному падению (притяжению к Земле) второй закон Ньютона имеет вид mg=G, где g – ускорение свободного падения, зависящее от географической широты местности G – сила веса тела. Третья аксиома (Закон независимости действия сил.
1 2 3 4 5 6 7 8
= 1,3t
2
+ t А
1 В
2 С
3
D
4 3. Для движения, закон которого задан в вопросе 2, определить угловое ускорение в момент t = с
1,3 рад/с
2 1
2,6 рад/с
2 2
26 рад/с
2 3
130 рад/с
2 4
4. Груз F начинает двигаться вверх из состояния покоя с постоянным ускорением а = 1,26 м/с
2
Определить частоту вращения колеса через 5 секунд после начала движения n= 10,5 об/мин
1 n= 62,5 об/мин
2 n= 100об/мин
3 n= 597об/мин
4 5. Известно, что скорость точки A V
A
= 12 мс Определить скорость точки В
2,4 мс
1 6 мс
2 8,4 мс
3
48 r
1
= мм мс
4 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 2 Вопросы Ответы Код
1. Барабан вращается со скоростью ω=2πt Какое это вращение Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4 2. Закон вращательного движения тела φ = 0,68t
3
+ t
Определить ω в момент t = 3 с
ω= 19,4 рад/с
1
ω = 18,4 рад/с
2
ω = 6,1 рад/с
3
ω = 21,4 рад/с
4 3. Поданным, приведенным в вопросе 2, определить ε тела в момент t = 5 с
ε = 18,4 рад/с2 1
ε = 20,4 рад/с2 2
ε = 22,2 рад/с2 3
ε = 28,2 рад/с2 4
4. Скорость ротора электродвигателя в период разгона меняется согласно графику Определить число оборотов ротора за период разгона
408 20 об
1 65 об
2 165 об
3 408 об
4 5. Маховое колесом вращается равномерно и а = 13 мс 1
49 в момент времени t= с имеет ω = 130 рад/с. Определить полное ускорение точек на ободе колеса в этот момента мс 2 а = 1300 мс 3 а = 1690 мс 4 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 3 Вопросы Ответы Код Закон вращательного движения тела
φ = 0,25t
3
+ 4t? Определить вид движения Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4 2. Закон вращательного движения колеса φ = 0,3t
3
+ 3. Определить ускорение колеса в момент t
= 5 с
7,5 рад/с
2 1
9 рад/с
2 2
22,5 рад/с
2 3
25,5 рад/с
2 4
3. При торможении ротора электродвигателя его скорость меняется согласно графику. Рассчитать число оборотов ротора до полной остановки
938 об
1 942 об
2 150 об
3 450 об
4 4. Какие ускорения возникнут в точке А при равномерном вращении колеса
a
n
≠0; a
t
=0
1
a
n
=0; a
t
≠0
2
a
n
≠0; a
t
≠0
3
a
n
=0; a
t
=0
4 5. Определить полное ускорение на ободе колеса а = 6,6 мс 1
50
r= 0,6 м, при t = 3 с, если ω = 11 рад/с. Движение равномерное а = 3,96 мс 2 а = 72,6 мс 3 а 19,8 мс 4 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 4 Вопросы Ответы Код
1. По заданному закону вращения регулятора
φ = π(1 +2t)
Определить вид движения Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4 2. Закон вращательного движения колеса
φ = 6t - l,5t
2 Определить время до полной остановки с
1 с
2 с
3 с
4 3. По условию предыдущей задачи определить число оборотов колеса до остановки
1 об
1 0 об
2
6 об
3
12 об
4 4. При вращении скорость маховика изменяется по графику.
Определить угловое ускорение маховика в конце рассматриваемого участка n
1=
420 об/мин, t
1
= 20 с
1,2 рад/с
2 1
2,2 рад/с
2 2
4,2 рад/с
2 3
2,8 рад/с
2 4
51 5. Определить нормальное ускорение точек на ободе колеса диаметром 0,2 м, если закон движения
φ= 0,4t
3 t = с
0,4 мс 1
7,2 мс 2
11,7 мс 3
23,3 мс 4 Тест № 12 КИНЕМАТИКА вариант 5 Вопросы Ответы Код
1. Закон движения колеса
φ = Определить угловую скорость вращения колеса в момент t = 5 с
24 рад/с
1 15,8 рад/с
2 75,4 рад/с
3 131,2 рад/с
4 2. Колесо вращается по закону, приведенному в вопросе 1. Определить угловое ускорение колеса в момент t= 3 с
18 рад/с
2 1
5,8 рад/с
2 2
8,6 рад/с
2 3
14,4 рад/с
2 4
3. Скорость ротора менялась согласно графику и за 120 оборотов достигла ω= 50,2 рад/с. Определить время разгона до указанной скорости
4,8 с
1 с
2 30 с
3 42 с
4 3. При вращении колеса скорость и ускорение в точке А имеют указанные на чертеже направления. Определить вид вращения, если а, = const Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4
52 5. Колесо вращается с частотой п = 250 об/мин. Определить полное ускорение точек на ободе колесам мс 1
547 мс 2
12,5 мс 3
4620 мс 4 Ответы к тесту №12: Вопросы
1 2
3 4
5 Вариант 1 3
1 2
3 3 Вариант 2 2
1 2
2 4 Вариант 3 4
2 3
1 3 Вариант 4 1
1 1
2 3 Вариант 5 3
1 3
3 2 Сложное движение точки. В мире все находится в непрерывном движении, и неподвижная система координат в действительности не существует. Поэтому возникает необходимость рассматривать движение точек одновременно по отношению к двум системам отсчета, одна из которых считается неподвижной, а вторая определенным образом движется по отношению к первой. Движение точки в данном случае называется сложным. Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным. Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным. Движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной называется переносным. Абсолютное движение является сложными состоит из относительного и переносного движений. В тех случаях, когда заданы движения двух или более тел (точек) относительно неподвижной системы координат и необходимо определить
53 движение одного из этих тел относительно другого, удобно пользоваться расчленением абсолютного движения на переносное и относительное. Тело, относительно которого требуется рассмотреть движение, мысленно остановим, а неподвижную систему координат заставим двигаться по его закону, нов обратном направлении. Тогда для второго тела это движение станет переносным, а движение второго тела - относительным. После этого просто понять, как будет двигаться второе тело по отношению к первому. При изучении сложного движения точки будем рассматривать только перемещение и скорость. Если переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой, то
1. перемещение точки в абсолютном движении равно алгебраической сумме перемещений в переносном и относительном движениях
2. скорость точки в абсолютном движении равна алгебраической сумме переносной и относительной скоростей. Условимся направление переносного перемещения и соответственно направление переносной скорости считать положительными. Тогда относительное перемещение и соответственно относительная скорость будут также положительными, если они направлены в туже сторону, что и переносное. Если же относительное перемещение имеют направление, противоположное переносному, то будем считать их отрицательными. Таким образом, при совпадении направлений переносного и относительного движений
отн
пер
абс
V
V
V
При противоположных друг другу направлениях переносного и относительного движений
отн
пер
абс
V
V
V
Модуль абсолютной скорости находится по теореме косинусов
)
,
cos(
2 2
2
отн
пер
отн
пер
отн
пер
абс
V
V
V
V
V
V
V
, а направление по теореме синусов
)
sin(
)
sin(
)
sin(
пер
абс
отн
отн
абс
пер
отн
пер
абс
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Указания к решению задач
54 1. Выяснить, какое движение является абсолютным, какое относительным, какое переносным.
2. Направить векторы абсолютной, относительной и переносной скоростей.
3.
Простроить параллелограмм или треугольник скоростей и из него найти неизвестные величины. Пример 7. Наклонная плоскость АВ (рис) с углом ВАС, равным 45
0
, движется прямолинейно с постоянной скоростью v=5 мс. По плоскости скользит тело
G со скоростью 2t . определить абсолютную скорость тела через 5 с после начала движения, считая, что в начальный момент относительная скорость тела G равнялась нулю. Рис Решение. Прямолинейное движение тела со скоростью 2t по движущейся плоскости
– относительное V
отн.
=2t. Прямолинейное движение наклонной плоскости с постоянной скоростью пер мс – переносное. Таким образом, V
абс
=V
пер
+V
отн
, угол между векторами пери V
отн в параллелограмме скоростей = 45 0
, тогда
)
,
cos(
2 2
2
отн
пер
отн
пер
отн
пер
абс
V
V
V
V
V
V
V
=
t
t
2 10 4
5 Определяем модуль абсолютной скорости в момент времени 5 секунд. абс
= √5 2
+ 45 2
+ 10√2*5 =14 мс Пример 8.
55 Вниз по течению реки равномерно плывет лодка, приводимая в движение гребным винтом от мотора. Скорость течения реки 4 км/ч, скорость лодки, сообщаемая ей гребным винтом по отношению к воде, составляет 8 км/ч. Определить скорость лодки относительно берегов и расстояние, которое проходит лодка вдоль берегов за 20 мин. Решение.
1. Лодку принимаем за материальную точку, а водную массу реки – за материальную среду. Движение лодки относительно берегов или, иначе говоря, движение лодки, наблюдаемое с берега, - это абсолютное движение. Переносное движение лодки – ее перемещение вместе с рекой скорость – 4 км/ч, которую сообщает лодке река, - ее переносная скорость.
Относительное движение – перемещение лодки по поверхности воды, создаваемое гребным винтом, скорость относительного движения – 8 км/ч.
2. Так как в данном случае переносное и относительное движения направлены в одну и туже сторону, то скорость лодки относительно берегов абсолютная скорость) абс реки+ лодки 4+8 = 12 км/ч
3. За время t = 20 мин =
3 часа лодка вдоль берегов проходит расстояние абс абс t = 12 *
3 1
= 4 км. Для самостоятельного решения. Задача С какой скоростью относительно берегов будет перемещаться лодка и какое расстояние она проплывет за 30 мин, если будет двигаться против течения Ответ абс 4 км/ч абс км
Сложное движение твердого тела Плоскопараллельным движением твердого тела называют такое движение, при котором все точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
56 Плоскопараллельное движение является сложным, состоящим из переносного поступательного вместе с выбранным полюсом и относительного вращательного движений вокруг полюса. Отметим, что скорость поступательного движения зависит от выбора полюса, а угловая скорость вращательного движения не зависит от выбора полюса. Применяют три способа определения скоростей точек плоской фигуры
1 способ. (риса) Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса Аи скорости той же точки во вращательном движении данной фигуры относительно полюса V
ВА
: В А +V
ВА
При этом скорость полюса А по существу является переносной скоростью точки В, а скорость во вращательном движении вокруг полюса V
ВА
– относительной скоростью точки В. Модуль относительной скорости V
ВА
=ω АВ, где ω – угловая скорость плоской фигуры. Рис 2 способ. (рис, б) В любой момент времени в плоскости фигуры можно найти такую точку Р, абсолютная скорость которой равна нулю V
P
=0. Точку Р называют мгновенным центром скоростей плоской фигуры. Скорость любой другой точки А этой плоской фигуры равна вращательной скорости той же точки вокруг мгновенного центра скоростей.
V
А
=АР ω.
57 3 способ. (рис, в) Если при плоскопараллельном движении фигуры известны модуль и направление одной точки Аи направление другой точки В, то неизвестный модуль точки В можно определить последующей теореме проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление этого отрезка равны между собой, те. ПРАВ
V
A
= ПРАВ
V
B. Пусть на отрезке АВ известны V
A
, α, β и направление В. Требуется определить модуль В. Тогда ПРАВ
V
A
= V
A
cos α, ПРАВ В В cos β, Подставляя проекции скоростей в ПРАВ
V
A
= ПРАВ
V
B, находим В V
A
cos
α/ cos β. Определение мгновенного центра скоростей. При решении задач возможны следующие случаи Известны вектор скорости одной точки V
A
и угловая скорость вращения плоской фигуры ω (риса. Мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре, восстановленном из точки А к направлению вектора скорости, на расстоянии АР = V
A
/ ω. Если мгновенный центр скоростей при движении тела остается неподвижным, то плоское движение превращается во вращательное. Рис. 7 2. Известны только направления скоростей двух точек Аи В, причем линии действия векторов скоростей пересекаются (рис, б. Мгновенный центр
58 скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в этих точках, к направлению их скоростей. Так как V
A
= АР ω и В ВР ω, то V
A
/ V
В
=АР/ВР. Если скорости двух точек параллельны и направлены в одну сторону, а прямая, соединяющая эти точки, не перпендикулярна направлению скоростей, то тело движется поступательно
3. Известны векторы двух точек V
A
и В, причем V
A и В параллельны и направлены в одну сторону (рис, в. Прямая, соединяющая эти точки, перпендикулярна направлению скоростей. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении прямой, проведенной через концы векторов V
A и В , и продолжении прямой АВ , со стороны точки, имеющей меньшую скорость. Расстояния от мгновенного центра скоростей до точек Аи В пропорциональны модулям скоростей. АР V
В
/ВР. Если V
A
= В, тов данный момент тело движется поступательно. В этом случае мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Скорости всех точек плоской фигуры геометрически равны, а скорость вращения вокруг любого полюса равна ω=0 4. Векторы V
A
и В параллельны, но направлены в разные стороны (рис, г. Мгновенный центр лежит на отрезке АВ и делит его на части, пропорциональные величинам скоростей. АР V
В
/ВР
5. Плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой рис, г. Мгновенный центр скоростей Р находится в точке касания фигуры с кривой. Пример 9 Стержень АВ двигается в плоскости чертежа. В момент, когда стержень занимает горизонтальное положение(рис.8, а, скорость его точки А равна 2 мс и направлена под углом 60
0
к прямой АВ. Определить скорость точки В, если известно, что она направлена вдоль АВ. Решение 1. Сложение переносной и относительной скоростей (рис, б)
59 Рис. 8 1. Примем за полюс точку А. Вместе с полюсом стержень АВ движется поступательно, поэтому точка В как слагаемая скорость имеет скорость полюса, те. V
A
, которую изобразим уточки В вектором ВК.
2. Вследствие вращения стержня вокруг полюса точка В имеет вторую слагаемую скорость В – относительную скорость, направленную перпендикулярно к стержню.
3. Построим параллелограмм скоростей. В параллелограмме известно направление диагонали, которая изобразит искомую скорость В поэтому из точки К проведем до пересечения с продолжением АВ отрезок KL, параллельный направлению относительной скорости V В. Затем из точки L проведем прямую
LD, параллельную КВ ( или вектору V
A
), до пересечения в точке D с линией, характеризующей направление V В. Получается параллелограмм BKLD, в котором диагональ BL изображает V В - скорость точки В.
4. Находим числовое значение V В Треугольник BLK – прямоугольный, поэтому V В V
A
cos α= 2 cos 60 0
= 1 м. Решение 2. При помощи мгновенного центра скоростей (рис, в.
1. Из точек Аи В проведем две прямые, перпендикулярные к направлениям скоростей V В и V
A
. Точка С пересечения этих прямых и определит положение МЦС.
2. Вращение стержня АВ вокруг МЦС Св данный момент характеризуется угловой скоростью ω. Поэтому V В В V
A
/ AC = ω.
60 Отсюда V В = V
A
ВС/АС, но т.к. угол ВСА =α, то ВС/АС = cos α, следовательно
V В = V
A
cos α= 2 cos 60 0
= 1 м. Решение 3. С применением теоремы о проекциях скоростей двух точек плоского сечения.
1. В рассматриваемом случае искомая скорость V В направлена вдоль прямой, соединяющей точки Аи В, при этом известен угол между данной скоростью V Аи той же прямой АВ. Поэтому удобно применить теорему проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление этого отрезка равны между собой.
2. Спроектировав данную скорость V Аи искомую скорость V В напрямую
АВ (рис.4,в) и приравняв эти проекции, получим
V В = V
A
cos α, откуда V В = V
A
cos α= 2 cos 60 0
= м. Основные понятия динамики Предмет динамики. В динамике изучают движение механической системы материальных точек, в связи с действующими на нее силами. Аксиомы (законы) динамики. В основе динамики лежат четыре аксиомы (закона, сформулированные Исааком Ньютоном. Первая аксиома (Закон инерции. Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние силы не выведут её из этого состояния. Если тело движется прямолинейно, тона него или совсем не действуют никакие силы (идеальный случай) или действует уравновешенная система сил реальный случай. Всякая материальная точка обладает инертностью, те. она стремится сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Другими словами, инертность — свойство сохранять скорость (по модулю и по направлению.
61 Сама материальная точка, безучастия внешних сил, не может изменить свою скорость. Вторая аксиома (Основное уравнение динамики точки Сила равна массе, умноженной на ускорение Р = а. Так как масса — величина скалярная, то вектор силы направлен в туже сторону, что и вектор ускорения. Чем больше масса, тем большую силу необходимо приложить к точке, чтобы изменить ее скорость. Следовательно, масса является мерой инертности. Всякая материальная точка притягивается к Земле с силой, которую называют весом. Чем больше масса материальной точки, тем больше ее вес. Следовательно, масса является и мерой тяжести. В применении к свободному падению (притяжению к Земле) второй закон Ньютона имеет вид mg=G, где g – ускорение свободного падения, зависящее от географической широты местности G – сила веса тела. Третья аксиома (Закон независимости действия сил.
1 2 3 4 5 6 7 8
48 r
1
= мм мс
4 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 2 Вопросы Ответы Код
1. Барабан вращается со скоростью ω=2πt Какое это вращение Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4 2. Закон вращательного движения тела φ = 0,68t
3
+ t
Определить ω в момент t = 3 с
ω= 19,4 рад/с
1
ω = 18,4 рад/с
2
ω = 6,1 рад/с
3
ω = 21,4 рад/с
4 3. Поданным, приведенным в вопросе 2, определить ε тела в момент t = 5 с
ε = 18,4 рад/с2 1
ε = 20,4 рад/с2 2
ε = 22,2 рад/с2 3
ε = 28,2 рад/с2 4
4. Скорость ротора электродвигателя в период разгона меняется согласно графику Определить число оборотов ротора за период разгона
408 20 об
1 65 об
2 165 об
3 408 об
4 5. Маховое колесом вращается равномерно и а = 13 мс 1
49 в момент времени t= с имеет ω = 130 рад/с. Определить полное ускорение точек на ободе колеса в этот момента мс 2 а = 1300 мс 3 а = 1690 мс 4 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 3 Вопросы Ответы Код Закон вращательного движения тела
φ = 0,25t
3
+ 4t? Определить вид движения Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4 2. Закон вращательного движения колеса φ = 0,3t
3
+ 3. Определить ускорение колеса в момент t
= 5 с
7,5 рад/с
2 1
9 рад/с
2 2
22,5 рад/с
2 3
25,5 рад/с
2 4
3. При торможении ротора электродвигателя его скорость меняется согласно графику. Рассчитать число оборотов ротора до полной остановки
938 об
1 942 об
2 150 об
3 450 об
4 4. Какие ускорения возникнут в точке А при равномерном вращении колеса
a
n
≠0; a
t
=0
1
a
n
=0; a
t
≠0
2
a
n
≠0; a
t
≠0
3
a
n
=0; a
t
=0
4 5. Определить полное ускорение на ободе колеса а = 6,6 мс 1
50
r= 0,6 м, при t = 3 с, если ω = 11 рад/с. Движение равномерное а = 3,96 мс 2 а = 72,6 мс 3 а 19,8 мс 4 Тест №12 КИНЕМАТИКА вариант 4 Вопросы Ответы Код
1. По заданному закону вращения регулятора
φ = π(1 +2t)
Определить вид движения Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4 2. Закон вращательного движения колеса
φ = 6t - l,5t
2 Определить время до полной остановки с
1 с
2 с
3 с
4 3. По условию предыдущей задачи определить число оборотов колеса до остановки
1 об
1 0 об
2
6 об
3
12 об
4 4. При вращении скорость маховика изменяется по графику.
Определить угловое ускорение маховика в конце рассматриваемого участка n
1=
420 об/мин, t
1
= 20 с
1,2 рад/с
2 1
2,2 рад/с
2 2
4,2 рад/с
2 3
2,8 рад/с
2 4
51 5. Определить нормальное ускорение точек на ободе колеса диаметром 0,2 м, если закон движения
φ= 0,4t
3 t = с
0,4 мс 1
7,2 мс 2
11,7 мс 3
23,3 мс 4 Тест № 12 КИНЕМАТИКА вариант 5 Вопросы Ответы Код
1. Закон движения колеса
φ = Определить угловую скорость вращения колеса в момент t = 5 с
24 рад/с
1 15,8 рад/с
2 75,4 рад/с
3 131,2 рад/с
4 2. Колесо вращается по закону, приведенному в вопросе 1. Определить угловое ускорение колеса в момент t= 3 с
18 рад/с
2 1
5,8 рад/с
2 2
8,6 рад/с
2 3
14,4 рад/с
2 4
3. Скорость ротора менялась согласно графику и за 120 оборотов достигла ω= 50,2 рад/с. Определить время разгона до указанной скорости
4,8 с
1 с
2 30 с
3 42 с
4 3. При вращении колеса скорость и ускорение в точке А имеют указанные на чертеже направления. Определить вид вращения, если а, = const Равномерное
1 Равноускоренное
2
Равнозамедленное
3 Переменное
4
52 5. Колесо вращается с частотой п = 250 об/мин. Определить полное ускорение точек на ободе колесам мс 1
547 мс 2
12,5 мс 3
4620 мс 4 Ответы к тесту №12: Вопросы
1 2
3 4
5 Вариант 1 3
1 2
3 3 Вариант 2 2
1 2
2 4 Вариант 3 4
2 3
1 3 Вариант 4 1
1 1
2 3 Вариант 5 3
1 3
3 2 Сложное движение точки. В мире все находится в непрерывном движении, и неподвижная система координат в действительности не существует. Поэтому возникает необходимость рассматривать движение точек одновременно по отношению к двум системам отсчета, одна из которых считается неподвижной, а вторая определенным образом движется по отношению к первой. Движение точки в данном случае называется сложным. Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным. Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным. Движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной называется переносным. Абсолютное движение является сложными состоит из относительного и переносного движений. В тех случаях, когда заданы движения двух или более тел (точек) относительно неподвижной системы координат и необходимо определить
53 движение одного из этих тел относительно другого, удобно пользоваться расчленением абсолютного движения на переносное и относительное. Тело, относительно которого требуется рассмотреть движение, мысленно остановим, а неподвижную систему координат заставим двигаться по его закону, нов обратном направлении. Тогда для второго тела это движение станет переносным, а движение второго тела - относительным. После этого просто понять, как будет двигаться второе тело по отношению к первому. При изучении сложного движения точки будем рассматривать только перемещение и скорость. Если переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой, то
1. перемещение точки в абсолютном движении равно алгебраической сумме перемещений в переносном и относительном движениях
2. скорость точки в абсолютном движении равна алгебраической сумме переносной и относительной скоростей. Условимся направление переносного перемещения и соответственно направление переносной скорости считать положительными. Тогда относительное перемещение и соответственно относительная скорость будут также положительными, если они направлены в туже сторону, что и переносное. Если же относительное перемещение имеют направление, противоположное переносному, то будем считать их отрицательными. Таким образом, при совпадении направлений переносного и относительного движений
отн
пер
абс
V
V
V
При противоположных друг другу направлениях переносного и относительного движений
отн
пер
абс
V
V
V
Модуль абсолютной скорости находится по теореме косинусов
)
,
cos(
2 2
2
отн
пер
отн
пер
отн
пер
абс
V
V
V
V
V
V
V
, а направление по теореме синусов
)
sin(
)
sin(
)
sin(
пер
абс
отн
отн
абс
пер
отн
пер
абс
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Указания к решению задач
54 1. Выяснить, какое движение является абсолютным, какое относительным, какое переносным.
2. Направить векторы абсолютной, относительной и переносной скоростей.
3.
Простроить параллелограмм или треугольник скоростей и из него найти неизвестные величины. Пример 7. Наклонная плоскость АВ (рис) с углом ВАС, равным 45
0
, движется прямолинейно с постоянной скоростью v=5 мс. По плоскости скользит тело
G со скоростью 2t . определить абсолютную скорость тела через 5 с после начала движения, считая, что в начальный момент относительная скорость тела G равнялась нулю. Рис Решение. Прямолинейное движение тела со скоростью 2t по движущейся плоскости
– относительное V
отн.
=2t. Прямолинейное движение наклонной плоскости с постоянной скоростью пер мс – переносное. Таким образом, V
абс
=V
пер
+V
отн
, угол между векторами пери V
отн в параллелограмме скоростей = 45 0
, тогда
)
,
cos(
2 2
2
отн
пер
отн
пер
отн
пер
абс
V
V
V
V
V
V
V
=
t
t
2 10 4
5 Определяем модуль абсолютной скорости в момент времени 5 секунд. абс
= √5 2
+ 45 2
+ 10√2*5 =14 мс Пример 8.
55 Вниз по течению реки равномерно плывет лодка, приводимая в движение гребным винтом от мотора. Скорость течения реки 4 км/ч, скорость лодки, сообщаемая ей гребным винтом по отношению к воде, составляет 8 км/ч. Определить скорость лодки относительно берегов и расстояние, которое проходит лодка вдоль берегов за 20 мин. Решение.
1. Лодку принимаем за материальную точку, а водную массу реки – за материальную среду. Движение лодки относительно берегов или, иначе говоря, движение лодки, наблюдаемое с берега, - это абсолютное движение. Переносное движение лодки – ее перемещение вместе с рекой скорость – 4 км/ч, которую сообщает лодке река, - ее переносная скорость.
Относительное движение – перемещение лодки по поверхности воды, создаваемое гребным винтом, скорость относительного движения – 8 км/ч.
2. Так как в данном случае переносное и относительное движения направлены в одну и туже сторону, то скорость лодки относительно берегов абсолютная скорость) абс реки+ лодки 4+8 = 12 км/ч
3. За время t = 20 мин =
3 часа лодка вдоль берегов проходит расстояние абс абс t = 12 *
3 1
= 4 км. Для самостоятельного решения. Задача С какой скоростью относительно берегов будет перемещаться лодка и какое расстояние она проплывет за 30 мин, если будет двигаться против течения Ответ абс 4 км/ч абс км
Сложное движение твердого тела Плоскопараллельным движением твердого тела называют такое движение, при котором все точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
56 Плоскопараллельное движение является сложным, состоящим из переносного поступательного вместе с выбранным полюсом и относительного вращательного движений вокруг полюса. Отметим, что скорость поступательного движения зависит от выбора полюса, а угловая скорость вращательного движения не зависит от выбора полюса. Применяют три способа определения скоростей точек плоской фигуры
1 способ. (риса) Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса Аи скорости той же точки во вращательном движении данной фигуры относительно полюса V
ВА
: В А +V
ВА
При этом скорость полюса А по существу является переносной скоростью точки В, а скорость во вращательном движении вокруг полюса V
ВА
– относительной скоростью точки В. Модуль относительной скорости V
ВА
=ω АВ, где ω – угловая скорость плоской фигуры. Рис 2 способ. (рис, б) В любой момент времени в плоскости фигуры можно найти такую точку Р, абсолютная скорость которой равна нулю V
P
=0. Точку Р называют мгновенным центром скоростей плоской фигуры. Скорость любой другой точки А этой плоской фигуры равна вращательной скорости той же точки вокруг мгновенного центра скоростей.
V
А
=АР ω.
57 3 способ. (рис, в) Если при плоскопараллельном движении фигуры известны модуль и направление одной точки Аи направление другой точки В, то неизвестный модуль точки В можно определить последующей теореме проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление этого отрезка равны между собой, те. ПРАВ
V
A
= ПРАВ
V
B. Пусть на отрезке АВ известны V
A
, α, β и направление В. Требуется определить модуль В. Тогда ПРАВ
V
A
= V
A
cos α, ПРАВ В В cos β, Подставляя проекции скоростей в ПРАВ
V
A
= ПРАВ
V
B, находим В V
A
cos
α/ cos β. Определение мгновенного центра скоростей. При решении задач возможны следующие случаи Известны вектор скорости одной точки V
A
и угловая скорость вращения плоской фигуры ω (риса. Мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре, восстановленном из точки А к направлению вектора скорости, на расстоянии АР = V
A
/ ω. Если мгновенный центр скоростей при движении тела остается неподвижным, то плоское движение превращается во вращательное. Рис. 7 2. Известны только направления скоростей двух точек Аи В, причем линии действия векторов скоростей пересекаются (рис, б. Мгновенный центр
58 скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в этих точках, к направлению их скоростей. Так как V
A
= АР ω и В ВР ω, то V
A
/ V
В
=АР/ВР. Если скорости двух точек параллельны и направлены в одну сторону, а прямая, соединяющая эти точки, не перпендикулярна направлению скоростей, то тело движется поступательно
3. Известны векторы двух точек V
A
и В, причем V
A и В параллельны и направлены в одну сторону (рис, в. Прямая, соединяющая эти точки, перпендикулярна направлению скоростей. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении прямой, проведенной через концы векторов V
A и В , и продолжении прямой АВ , со стороны точки, имеющей меньшую скорость. Расстояния от мгновенного центра скоростей до точек Аи В пропорциональны модулям скоростей. АР V
В
/ВР. Если V
A
= В, тов данный момент тело движется поступательно. В этом случае мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Скорости всех точек плоской фигуры геометрически равны, а скорость вращения вокруг любого полюса равна ω=0 4. Векторы V
A
и В параллельны, но направлены в разные стороны (рис, г. Мгновенный центр лежит на отрезке АВ и делит его на части, пропорциональные величинам скоростей. АР V
В
/ВР
5. Плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой рис, г. Мгновенный центр скоростей Р находится в точке касания фигуры с кривой. Пример 9 Стержень АВ двигается в плоскости чертежа. В момент, когда стержень занимает горизонтальное положение(рис.8, а, скорость его точки А равна 2 мс и направлена под углом 60
0
к прямой АВ. Определить скорость точки В, если известно, что она направлена вдоль АВ. Решение 1. Сложение переносной и относительной скоростей (рис, б)
59 Рис. 8 1. Примем за полюс точку А. Вместе с полюсом стержень АВ движется поступательно, поэтому точка В как слагаемая скорость имеет скорость полюса, те. V
A
, которую изобразим уточки В вектором ВК.
2. Вследствие вращения стержня вокруг полюса точка В имеет вторую слагаемую скорость В – относительную скорость, направленную перпендикулярно к стержню.
3. Построим параллелограмм скоростей. В параллелограмме известно направление диагонали, которая изобразит искомую скорость В поэтому из точки К проведем до пересечения с продолжением АВ отрезок KL, параллельный направлению относительной скорости V В. Затем из точки L проведем прямую
LD, параллельную КВ ( или вектору V
A
), до пересечения в точке D с линией, характеризующей направление V В. Получается параллелограмм BKLD, в котором диагональ BL изображает V В - скорость точки В.
4. Находим числовое значение V В Треугольник BLK – прямоугольный, поэтому V В V
A
cos α= 2 cos 60 0
= 1 м. Решение 2. При помощи мгновенного центра скоростей (рис, в.
1. Из точек Аи В проведем две прямые, перпендикулярные к направлениям скоростей V В и V
A
. Точка С пересечения этих прямых и определит положение МЦС.
2. Вращение стержня АВ вокруг МЦС Св данный момент характеризуется угловой скоростью ω. Поэтому V В В V
A
/ AC = ω.
60 Отсюда V В = V
A
ВС/АС, но т.к. угол ВСА =α, то ВС/АС = cos α, следовательно
V В = V
A
cos α= 2 cos 60 0
= 1 м. Решение 3. С применением теоремы о проекциях скоростей двух точек плоского сечения.
1. В рассматриваемом случае искомая скорость V В направлена вдоль прямой, соединяющей точки Аи В, при этом известен угол между данной скоростью V Аи той же прямой АВ. Поэтому удобно применить теорему проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление этого отрезка равны между собой.
2. Спроектировав данную скорость V Аи искомую скорость V В напрямую
АВ (рис.4,в) и приравняв эти проекции, получим
V В = V
A
cos α, откуда V В = V
A
cos α= 2 cos 60 0
= м. Основные понятия динамики Предмет динамики. В динамике изучают движение механической системы материальных точек, в связи с действующими на нее силами. Аксиомы (законы) динамики. В основе динамики лежат четыре аксиомы (закона, сформулированные Исааком Ньютоном. Первая аксиома (Закон инерции. Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние силы не выведут её из этого состояния. Если тело движется прямолинейно, тона него или совсем не действуют никакие силы (идеальный случай) или действует уравновешенная система сил реальный случай. Всякая материальная точка обладает инертностью, те. она стремится сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Другими словами, инертность — свойство сохранять скорость (по модулю и по направлению.
61 Сама материальная точка, безучастия внешних сил, не может изменить свою скорость. Вторая аксиома (Основное уравнение динамики точки Сила равна массе, умноженной на ускорение Р = а. Так как масса — величина скалярная, то вектор силы направлен в туже сторону, что и вектор ускорения. Чем больше масса, тем большую силу необходимо приложить к точке, чтобы изменить ее скорость. Следовательно, масса является мерой инертности. Всякая материальная точка притягивается к Земле с силой, которую называют весом. Чем больше масса материальной точки, тем больше ее вес. Следовательно, масса является и мерой тяжести. В применении к свободному падению (притяжению к Земле) второй закон Ньютона имеет вид mg=G, где g – ускорение свободного падения, зависящее от географической широты местности G – сила веса тела. Третья аксиома (Закон независимости действия сил.
1 2 3 4 5 6 7 8
Если на материальную точку действуют несколько сил одновременно, то точка имеет такое же ускорение, какое она получит от равнодействующей этой системы сил. Это означает, что вместо того, чтобы находить ускорение материальной точки как сумму α = α
1
+ α
2
+….+ α
n
=P
1
/m + P
2
/m + …+P
n
/m, достаточно определить равнодействующую и ускорение найдется как отношение α =P/m Действие силы на точку не зависит оттого, действует ли сила одна или совместно с другими силами, а также и оттого, находится ли точка в покое или в движении. Четвертая аксиома (Закон равенства действия и противодействия Действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны. Если тело А действует на тело В с силой Р то и тело В действует на тело Ас силой Р = — Р
1
Идеальные и реальные связи Связи, в которых отсутствует трение, называют идеальными. Реакции таких связей всегда перпендикулярны опорной
62 поверхности. В природе существуют только связи с трением, их называют реальными Полная реакция такой связи всегда отклонена от нормали При решении задач реакцию опорной поверхности обычно представляют двумя составляющими нормальной реакцией N и силой трения При движении величина силы трения связана с нормальной реакцией законом Кулона F
TP
= ƒ N, где ƒ — коэффициент трения движения (в отличие от коэффициента трения покоя, зависящий от материалов и обработки трущихся поверхностей и скорости их взаимного перемещения. Обычно изменением f с увеличением или уменьшением скорости пренебрегают и считают его постоянным. Тест №13 Законы Ньютона. Сила. Единицы силы Для каждого вопроса группы А указать правильный ответ из группы А, для каждого вопроса группы В указать правильный ответ из группы В Вопросы группы А
1. Что называется инерцией тела
2. В чем состоит первый закон Ньютона
3. Как будет двигаться тело без воздействия на него других тел
4. Что называется силой
5. Чем характеризуется сила как вектор
6. В чем состоит второй закон Ньютона
7. Что называется массой тела
8. Что такое вес тела
9. В чем состоит третий закон Ньютона Вопросы группы В
1. Как математически записывается второй закон Ньютона
2. Как математически записывается третий закон Ньютона
3. Укажите формулу веса тела
4. Что принимается за единицу силы в СИ
5. Как называется единица веса в СИ
63 6. Что принимается за единицу силы в системе МКГСС?
7. Как называется единица веса в СИ
8. Как движется тело под действием постоянной силы
9. Какое соотношение между 1 килограмм-силой и 1 Н
№ вопр. Ответы гр.А
№ вопр. Ответы гр.В всякое воздействие на данное тело, сообщающее ускорение или вызывающее его деформацию
a
1
m
1
= - a
2
скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела сила вызывает равномерное прямолинейное движение величина, измеряемая силой, с которой тело притягивается к Земле Ньютон свойство тел сохранять свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения сила вызывает равноускоренное прямолинейное движение Всякому воздействию соответствует равное, но противоположно направленное противодействие
P=mg Ускорение тела прямопропорционально действующей силе, обратнопропорционально массе и совпадает по направлению с силой сила, с которой притягивается к земле тело массой в 1 кг на уровне моря и на широте
45 величиной, направлением и точкой приложения
1кГ=9,8Н Всякое тело сохраняет состояние относительного покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока другие такая сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение в 1 мс
64 тела не выведут его из этого состояния Сила, действующая на тело, прямопорциональна массе тела и обратнопропорциональна его ускорению
a= F/m равномерно и прямолинейно Н кГ Две задачи динамики материальной точки Уравнения движения материальной точки Свободная и несвободная материальная точка. Материальную точку, на которую не наложены никакие связи, называют свободной, а ее движение — свободным. Такая материальная точка может занимать любое положение в пространстве, и ее движение зависит только от начальных условий и действующих на нее активных (заданных) сил. Материальную точку, на движение которой наложены какие-либо связи, называют несвободной, а ее движение несвободным. Такая точка под действием активных сил не может, благодаря наложенным на нее связям, занимать произвольное положение или иметь произвольную скорость. На основании второй и третьей аксиом динамики имеем mα = P = ΣP
i
, где m — масса материальной точки α— ее ускорение Р — равнодействующая всех сил, приложенных к этой точке. При свободном движении в ΣP
i войдут только активные силы. Если же движение несвободное, то сначала отбрасывают связи и заменяют их действие силами реакций связей (те. применяют принцип освобождаемости от связей. Затем несвободную материальную точку рассматривают как свободную, тогда в число ΣP
i
; войдут и активные силы и реакции связей. Обычно массу материальной точки находят как отношение ее веса G, выраженного в Н (СИ, к ускорению силы тяжести g, в м/сек
2
, те Уравнения движения материальной точки в декартовой системе координат. Проектируя векторное равенство mα = P = ΣP
i на оси декартовой системы координат, получаем уравнения движения материальной точки в этой системе mα
x
=ΣX
i
=X mα
y
=ΣY
i
=Y mα
z
=ΣZ
i
=Z где х, α
y
, α
z
— проекции ускорения
X, Y, Z— проекции равнодействующей силы на соответствующие оси. Так как проекция ускорения на какую-либо ось — есть первая производная от соответствующей проекции скорости или вторая производная от координаты, то эти уравнения можно записать иначе m dx/dt= ΣX
i m dy/dt= ΣY
i m dz/dt= ΣZ
i или m d
2
x/dt
2
= ΣX
i m d
2
y/dt
2
= ΣY
i m d
2
z/dt
2
= ΣZ
i Уравнения движения, записанные в такой форме, называют дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Если точка движется прямолинейно, то, принимая траекторию точки за ось x, получаем ma = Уравнения движения в естественных осях Проектируя векторное равенство mα = P = ΣP
i на естественные оси, получаем уравнения движения в естественных осях ma t
=P
t
66 ma n
= P
n где a t
и a n тангенциальное и нормальное ускорения точки
P
t и P
n
проекции действующей силы (равнодействующей) соответственно на касательную и нормаль. Эти же уравнения можно записать в дифференциальной форме m dv/dt= P
t m v
2
/ρ= P
n
, где v — скорость точки
ρ — радиус кривизны траектории. Пользуясь данными уравнениями , можно решать две основные задачи динамики точки. Первая основная задача динамики материальной точки По заданному закону движения x = f
1
(t), y = f
2
(t), z= f
3
(t) и массе m материальной точки найти силу Р, действующую на эту точку. Эта задача сводится к нахождению ускорения. Методы определения ускорения зависят от способа задания движения. Определенные проекции ускорения на декартовы (или естественные) оси координат следует подставить в уравнения движения и найти проекции действующей (равнодействующей) силы на соответствующие оси Ха х Y = ma y
Z = ma Модуль и направление силы, действующей на точку, находят по формулам
2 2
2
Z
Y
X
P
cos (Р, х) =
P
X
; cos (Р, у) =
P
Y
; cos (Р, z) =
P
Z
Аналогично решаем задачу в естественных осях
67
P
t
= ma t
; P
n
= ma Откуда cos(P, t)=
P
P
t
; cos(P, n) = Методические указания к решению задач При решении первой основной задачи динамики точки рекомендуется придерживаться следующего порядка
1. Выбрать объект рассмотрения, приняв егоза материальную точку. Изобразить её в текущий момент времени.
2. Приложить активные (заданные) силы, действующие на точку.
3. Освободить точку от связей в (случае несвободной точки, заменив действие отброшенных связей реакциями.
4. Выбрать систему координат.
5. Составить уравнения движения точки (в тех случаях, когда траектория точки — окружность, удобнее составлять уравнения движения в естественной форме.
6. Определить проекции ускорения на выбранные оси координат по заданному закону движения и подставить в уравнения движения.
7. Найти проекции действующей (равнодействующей) силы на оси координат.
8. При необходимости по формулам
2 2
2
Z
Y
X
P
cos (Р, х) =
P
X
; cos (Р, у) =
P
Y
; cos (Р, z) =
P
Z
P
t
= ma t
; P
n
= ma n
cos(P, t)= P
t
/P; cos(P, n) = P
n
/P определить модуль и направление искомой силы. Пример 10 Каково натяжение троса, на котором поднимается лифт весом G=10000 H с грузом Q = 25000 несли засек скорость подъема возросла с V
0
=1 м/сек до V
k
= 2,5 м/сек, движение считать равноускоренным рис)
68 Рис. 9 Решение Принимаем лифт с грузом за материальную точку. К материальной точке приложены активные силы G — вес лифта Q — вес груза. Отбрасываем связь разрезаем трос и заменяем его действие натяжением Т. Направляем ось х. В данной задаче все силы направлены вдоль оси х, поэтому достаточно составить одно уравнение движения ах Согласно условию, лифт движется с постоянным ускорением
t
V
V
a
x
0
; масса материальной точки
g
Q
G
m
;
Подставляем m и ах в уравнения движения
g
Q
G
ma
x
*
t
V
V
0
= T-G-Q
Полученное уравнение содержит одно неизвестное искомое натяжение
T=(G+Q) (к- V
0
)/ g t=( 10000+25000) (1+(2,5-1,0)/(9,8 -2)=37700 Н Вторая основная задача динамики материальной точки По заданным силам P(ΣPj), действующим на материальную точку, и её массе m найти закон движения x = ƒ
1
(t) y = ƒ
2
(t) z = ƒ
3
(t) Зная силы, из уравнений движения можно определить ускорение. Но одного ускорения недостаточно для определения закона движения.
69 Необходимо знать скорость и положение точки в начальный момент времени, те. начальные условия.
Рассмотрим простейший случай — все силы, действующие на точку, постоянны (тогда и ускорение, получаемое точкой, тоже постоянно, те. точка должна двигаться равноускоренно или равнозамедленно. При решении второй задачи динамики точки необходимо придерживаться следующего порядка
1. Принять рассматриваемый объект за материальную точку и изобразить ее в текущий момент времени.
2. Приложить активные (заданные) силы, действующие на материальную точку.
3. Освободить точку от связей (в случае несвободной точки, заменив действие связей реакциями.
4. Выбрать систему координат (если точка движется по окружности, то следует выбрать систему естественных осей.
5. Составить уравнения движения точки в выбранной системе координат.
6. Выразить проекции ускорения через искомые кинематические элементы (проекций скоростей, координаты, время) и подставить в уравнения движения.
7. Решить уравнения относительно искомых величин.
Кинетостатика материальной точки Силы инерции Всякое ускорение — следствие действия силы, а сила - мера механического взаимодействия двух материальных точек. Силой инерции Р
и материальной точки М называют произведение массы этой точки на ее ускорение, взятое с обратным знаком Р
и
= – mα Сила инерции Р
и материальной точки M, движущейся под действием активной силы Р и силы реакции связи N, реально существует, но она приложена не к точке Мак телам, механически взаимодействующим сточкой Ми к связям, наложенным на эту точку.
70 При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Если движение ускоренное, то сила инерции направлена в сторону, противоположную скорости, если замедленное, то сила инерции совпадает по направлению со скоростью. При криволинейном движении полную силу инерции Р
и целесообразно разложить на две составляющие нормальную (центробежную) силу инерции
Р
иn
- mα
n и тангенциальную (касательную) силу инерции и - Тогда и Р
иn
+ P
иt
Модуль полной силы инерции определяют по формуле
2 2
2 2
n
t
иt
n
и
и
a
a
m
P
Р
P
При решении задач обычно ограничиваются определением составляющих Р
иn и и
Частные случаи а) движение равномерное и прямолинейное. Тогда dv/dt=α
t
=0; ρ=∞ и и m √(dv/dt)
2
+ (v
2
/ρ)
2
= m √0+(v
2
/∞)
2
=0 б) движение прямолинейное с постоянным ускорением α.
Тогда dv/dt= α
t
= α; ρ=∞ и ив) равномерное движение по окружности радиусом гс угловой скоростью
ω. Тогда dv/dt= 0; ρ=r; v=ω r; и m√(0)
2
+ (ω
2
r
2
/ r)
2
=m ω
2
r г) равноускоренное движение по окружности радиусом r с угловым ускорением ε. При этом dv/dt=α
t
= ε r; ρ=r; v=ω r и и √ (ε r)
2
+ (ω
2
r
2
/ r )
2
= m r √ ε
2
+ Полную силу инерции лучше представить двумя составляющими тангенциальной Р
иt
= m ε r и нормальной Р
иn
= m ω
2
r Принцип Даламбера (кинетостатики) Принцип Даламбера для материальной точки формулируется следующим образом в каждый момент времени все силы, действующие на точку, уравновешиваются силой инерции, те. Р + Р
И
= 0. Проектируя векторное равенство на оси декартовой системы координат, получаем три скалярных равенства
71
ΣX+ Р
Иx
=0
ΣY+ Р
Иy
=0
ΣZ+ Р
Иz
=0, где Р
Иx
, Р
Иy
, Р
Иz
проекции силы инерции на соответствующие оси. Проектируя на естественные оси, получаем
ΣP
t
+и
=0
ΣP
n
+и
=0 При этом в число действующих сил ΣP входят активные силы и реакции связей. Принцип Даламбера позволяет задачи динамики решать как статические. Добавив силы инерции, можно применять все теоремы, законы и правила, доказанные и принятые в статике. Раздел, связанный с принципом Даламбера, получил название «кинетостатика» (что означает статика в движении. В механической системе материальных точек, некоторым образом связанных между собой, можно рассматривать кинетостатическое равновесие не только каждой точки, но и всей системы в целом и любой ее части. При этом необходимо прикладывать силы инерции к каждой материальной точке. Всякое твердое тело можно представить как систему материальных точек. Приложив к каждой точке силу инерции и сложив их, определяем силу инерции твердого тела. Она приложена в центре его тяжести Си равна
Р
И
= - mα
t, где m — масса тела, а α
t
— ускорение центра тяжести. Принцип Даламбера для движущегося тела имеет такое же выражение, как и для материальной точки и, где ΣP
i
— сумма всех сил, действующих на тело (активных сил и реакций связей. Для направления вектора силы инерции необходимо знать направление ускорения. Выберем любое направление и решим задачу. Если в результате решения ускорение получается со знаком плюс, то направление выбрано верно, если со знаком минус, значит, надо изменить его на противоположное. Необходимо учитывать, что только при решении задач методом кинетостатики необходимо добавлять силы инерции.
72 Применение принципа Даламбера при решении задач Приступая к решению задач, в которых рассматривается несвободная материальная точка, нужно, прежде всего, выявить действующие на точку активные силы (движущие силы и силы сопротивления, а также реакции связей пассивные силы. Выявив действующие силы, необходимо определить, находятся они в равновесии или нет Этот вопрос в зависимости от заданных условий решается двояко. Если, например, известно, что точка движется равномерно и прямолинейно, значит, система сил уравновешена если же известно, что точка двигается неравномерно или имеет криволинейную траекторию, то система сил неуравновешенна. Если система сил задана (все силы системы известны, то, определив проекции сил на оси координат, можно установить равновесие или неравновесие системы. В случае, когда суммы проекций всех сил на каждую из осей равны нулю, заданная система сил уравновешена когда же сумма проекций всех сил хотя бы на одну из осей неравна нулю, система сил неуравновешенна в первом случае точка движется равномерно и прямолинейно, во втором случае - имеет ускорение (вторая задача динамики. При решении различных технических задач особенно важное значение приобретает случай, когда на материальную точку действует неуравновешенная система сил. В подобных случаях целесообразно решать задачи, применяя так называемый метод кинетостатики или принцип Даламбера, который формулируется так
Активные силы, реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему сил. Применяя принцип Даламбера, необходимо очень хорошо понимать сущность силы инерции. Нужно помнить, во-первых, что сила инерции, численно равная произведению массы точки на приобретенное ускорение, всегда направлена в сторону, противоположную вектору ускорения
73 во-вторых, что сила инерции в действительности не приложена к рассматриваемой в задаче материальной точке она условно прикладывается к этой точке фактически сила инерции приложена к двигающему телу или к связи в-третьих, что равновесие сил, которое образуется после добавления силы инерции к силам, приложенным к точке- равновесие фиктивное но оно позволяет воспользоваться для решения задачи уравнениями равновесия из статики. При решении задач с применением метода кинетостатики рекомендуется придерживаться такой последовательности
1. Выделить точку, движение которой рассматривается, и изобразить ее на рисунке
2. Выявить все активные силы и изобразить их приложенными к точке на рисунке
3. Освободить точку от связей, заменить связи их реакциями и также изобразить их на рисунке
4. Добавить к полученной системе сил силу инерции
5. Рассмотреть образовавшуюся уравновешенную систему сил ив зависимости от вида системы сил выбрать наиболее рациональный способ решения. Задача 1. По наклонной плоскости (рис. 10) АВ длиной 4 мс углом подъема α=15
1 2 3 4 5 6 7 8