Тема: Выпуклые и вогнутые функции. Их основные свойства.

§1. Выпуклые и вогнутые функции.

Определение 1. Функция f(X), определенная на выпуклом множестве M, называется выпуклой, если для любых двух точек X₁ и X₂ из этого множества и любого 0 ≤ λ ≤ 1 справедливо неравенство: f[λX₁ + (1 - λ)X₂] ≤ λf(X₁) + (1 – λ)f(X₂) (1)

Функция называется строго выпуклой, если в условии (1) при 0 < λ < 1 и любых X₁, X₂ M, X₁ ≠ X₂ имеет место строгое неравенство « < ».

Определение 2. Функция f(X), определенная на выпуклом множестве M называется вогнутой, если для любых двух точек X₁и X₂ из этого множества и любого 0 < λ < 1 справедливо неравенство:

f[λX₁ + (1 – λ)X₂] ≥ λf(X₁) + (1 – λ)f(X₂) (2).

Если в условии (2) при 0 ≤ λ ≤ 1 и любых X₁, X₂ M, X₁ ≠ X₂ имеет место строгое неравенство « > », то f(X) называется строго вогнутой.

Если функция f(X) – выпуклая, то « – f(X)» – вогнутая функция и наоборот.

Выпуклость и вогнутость функций определяется только относительно выпуклых множеств, так как по определению выпуклого множества ему вместе с точками X₁ и X₂ принадлежат и все точки вида: λX₁ + (1–λ)X₂ при 0 ≤ λ ≤ 1.

Если Z = f(X) – выпуклая поверхность ( n ≤ 2) , то отрезок, соединяющий любые две ее точки лежит на поверхности или выше ее. ЕслиZ= f(X) – вогнутая, то отрезок лежит на поверхности или ниже ее.



Выпуклая функция f(X) не может принимать на отрезке [X₁,X₂] значений больших, чем линейная функция интерпретирующая значения f(X₁) и f(X₂).

Сумма выпуклых функций есть функция выпуклая:

F(X) = , если f_j(X) –выпуклые, то и F(X) – выпуклая.

Справедливо такое утверждение: сумма выпуклых функций есть функция выпуклая.

---

Теорема 1. Если g(x) – выпуклая функция при всех x ≥ 0, то будем выпуклым и множество решений системы g(x) ≤ b, x ≥ 0.

Доказательство. Покажем, что вместе с решением x₁ и x₂ системы множеству решений системы будет принадлежать и их выпуклая линейная комбинация, то есть , где

0 ≤ λ ≤ 1. Ясно, что . Покажем, что ≤ b.

Так как функция g(x) – выпуклая:

(3)

И , тогда для любого 0 ≤ λ ≤ 1 выполняются условия:

λg(x₁) ≤ λb и (1 – λ)g(x₂) ≤ (1 – λ)b , складывая, получим:

λg(x₁) + (1 – λ)g(x₂) ≤ λb + (1 – λ)b = b и учитывая соотношения (3), получаем: ≤ b, ч.т.д.

Известно, что пересечение выпуклых множеств выпукло. В связи с этим множество решений системы неравенств – выпукло, если в неравенствах со знаком «≤» g_i – выпуклые функции, а в неравенствах со знаком «≥» g_i – вогнутые функции для x ≥ 0.

Можно доказать, что выпуклая функция f(x), определенная на выпуклом множестве M непрерывна в любой внутренней точке этого множества.

Теорема 2. Еслиf(x) – выпуклая функция, заданная на замкнутом выпуклом множестве , тогда любой локальный минимум функции f(x) на множестве M является и глобальным.

Докажем от противного.

Предположим, что в точке функция f(x) имеет локальный минимум, а в точке X^*– глобальный минимум, причем:

---

. Так как f(x) – выпуклая функция, то для любого

0 ≤ λ ≤ 1 справедливо соотношение.

(4)

Множество M выпукло, поэтому точка λX^*+ (1 – λ) при

0 < λ <1 принадлежит множеству M. Неравенство (4) можно усилить если вместо представим , будем иметь

< (5)

Значение λ можно выбрать так, чтобы точка λX^*+ (1 – λ) была расположена как угодно близко к . Тогда из (5) получим, что в этой близкой к точке функция f принимает значение меньшее, чем в точке , а это противоречит тому, что точка является точкой локального минимума. Противоречие доказывает теорему.

Следствие 1. Если глобальный минимум достигает в двух различных точках, то он достигается и в любой точке отрезка, соединяющего данные точки.

Следствие 2. Если f(x) – строго выпуклая функция, то ее глобальный минимум на выпуклом множестве M достигается в единственной точке.

Необходимое и достаточное условие выпуклости f(x).

Пусть f(x) – непрерывная функция и имеет непрерывные частные производные первого порядка на выпуклом множестве M.

Определение. Если функция f(X) дифференцируема в точке X₀ , то градиентом f(X) в точке X₀ называется n-мерный вектор:

gradf(X₀) =

Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема во внутренних точках множества

---

M и выпукла на нем, то можно получить следующий результат:

(6),

где X₁ и X₂ – любые внутренние точки множества M.

Это условие выполняется для любых внутренних точек X₁ и X₂ и является необходимым и достаточным условием выпуклости функции f(x).

Если функцияfнепрерывна вместе с частными производными первого порядка и вогнута на множестве M, то

(7).
Теорема 3. Выпуклая функция , определенная на выпуклом множестве M достигает своего глобального минимума в каждой точке , в которой gradf( ) = 0.

Доказательство. Пусть в точке X^*, gradf(X^*) = 0. Пусть X – произвольная точка множества M, X^*= X⁽¹⁾, а = X⁽²⁾, тогда из (6) получим 0 ≤ f( ) – f(X^*) или gradf(X^*)( –X^*) или f( ) ≥ f(X^*), ч.т.д.

Таким образом, выпуклая функция f(x) достигает своего глобального минимума на множестве M в каждой точке, где .
* * *

Можно показать, что если M – замкнутое, ограниченное сверху выпуклое множество, то глобальный максимум выпуклой функции f(x) достигается на нем в одной или нескольких угловых точках (при этом предполагается, что в точке X значение функции f(X) – конечно). Применяя при решении таких задач процедуру перебора крайних точек, можно получить точку локального максимума, но нельзя установить, является ли эта точка точкой глобального максимума.

---

* * *

Для вогнутых функций получим следующий результат. Пусть f(x) – вогнутая функция, заданная на замкнутом выпуклом множестве M Eⁿ . Тогда любой локальный максимум f(x) на множестве M является глобальным. Если глобальный максимум достигается в двух различных точках множества, то он достигается в любой точке отрезка, соединяющего эти точки.

Для строго вогнутой функции существует единственная точка, в которой она достигает глобального максимума.

Градиент вогнутой функции f(x) в точках максимума равен нулю, если f(x) – дифференциальная функция.
* * *

Глобальный минимум вогнутой функции, если он конечен, на замкнутом ограниченном снизу множестве должен достигаться в одной или нескольких его угловых точках, если функция f(x) конечна в каждой точке этого множества.
1>

---

Смотрите также файлы

• Исследование закономерностей теплового излучения нагретого тела.docx

• Вариант 4 Определить отношения между понятиями, изобразить их с помощью кругов Эйлера.docx

• Методическая разработка урока геометрии по теме Окружность.ppt

• Спецификациядиагностической работы по математике.pdf

• Практическая работа к теме Доверие к государству Тема занятия Наша страна Россия Класс 2.docx