Файл: Решение. Преобразуем уравнение ( )( ) ( ) 2 1 2 4 2 x x x ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 4 0.pdf

Математика. 9 класс. Вариант МА2290503 1
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Решите уравнение
(
)
(
)
(
)
2 1
4 4
4 2
x
x
x
x
−
+
+
=
+
Решение.
Преобразуем уравнение:
(
)(
)
(
)
2 1
2 4
2
x
x
x
−
+
=
+
;
(
) (
)(
)
(
)
2 1
2 4
0
x
x
x
+
−
+
−
= ;
(
)
(
)
2 2
6 0
x
x
x
+
+ −
= ;
(
)(
)(
)
2 3
2 0
x
x
x
+
+
−
= , откуда находим
2
x
= − ,
3
x
= − или
2
x
= .
Ответ: 3
− ; 2
− ; 2.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Два автомобиля одновременно отправляются в 660-километровый пробег.
Первый едет со скоростью, на 11 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Решение.
Пусть скорость первого автомобиля равна
v
км/ч, тогда скорость второго автомобиля равна
11
v
−
км/ч, следовательно,
11
v
>
. Время движения первого автомобиля, равное
660
v
ч, на 2 ч меньше времени движения второго автомобиля, равного
660 11
v
−
ч. Получаем уравнение:
660 660 2
11
v
v
−
=
−
;
2 660 660 7260 2
22
v
v
v
v
−
+
=
−
;
2 11 3630 0
v
v
−
−
= , откуда следует, что
66
v
=
или
55
v
= −
Скорость первого автомобиля равна 66 км/ч.
Ответ: 66 км/ч.
20
21

Математика. 9 класс. Вариант МА2290503 2
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Содержание критерия
Баллы
Ход решения верный, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Постройте график функции
2 4
1 4
x
y
x
x
−
=
−
Определите, при каких значениях k прямая y kx
=
не имеет с графиком общих точек.
Решение.
Преобразуем выражение:
(
)
2 4
1 4
1 1
1 4 4
x
x
x
x
x
x
x
−
−
=
= −
⋅ −
−
при условии, что
1 4
x
≠
и
1 4
x
≠ −
Построим график функции
1
y
x
=
при
0
x
< .
Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей четверти, проходящая через точку
(
)
1; 1
− −
, с выколотой точкой
(
)
1
; 4 4
−
−
1 4
−
1 4
y
x
0
–1
Построим график функции
1
y
x
= −
при
0
x
> . Это ветвь гиперболы, расположенная в четвёртой четверти, проходящая через точку
(
)
1; 1
− , с выколотой точкой
( )
1
; 4 4
−
Прямая y kx
=
не имеет с графиком ни одной общей точки, если она совпадает с осью Ox либо если она проходит через точку
(
)
1
;
4 4
−
−
или через точку
( )
1
;
4 4
−
. Получаем, что
16
k
= − ,
0
k
= или
16
k
= .
Ответ:
16
k
= − ;
0
k
= ;
16
k
= .
22

Математика. 9 класс. Вариант МА2290503 3
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Содержание критерия
Баллы
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
2
График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если
10
BK
=
,
18
CK
= .
Решение.
A
B
D
C
K
Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AK , AK — биссектриса угла BAD , следовательно,
BKA
KAD
BAK
∠
= ∠
= ∠
. Значит, треугольник BKA равнобедренный и
10
AB
BK
=
=
. Сторона
28
BC
BK
CK
=
+
=
По формуле периметра параллелограмма находим:
(
)
2 76
ABCD
P
AB
BC
=
+
=
Ответ: 76.
Содержание критерия
Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
23

Математика. 9 класс. Вариант МА2290503 4
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Основания BC и
AD
трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45,
15
BD
=
. Докажите, что треугольники CBD и
BDA
подобны.
Доказательство.
В треугольниках ADB и
DBC
углы ADB и
DBC
равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и
BC
и секущей BD . Кроме того,
45 3
15
AD
DB
=
= и
15 3
5
DB
BC
=
= , т.е.
3
AD
DB
DB
BC
=
= .
B
A
D
C
Поэтому треугольники CBD и BDA подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
24

Математика. 9 класс. Вариант МА2290503 5
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Четырёхугольник ABCD со сторонами
11
AB
= и
41
CD
=
вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём
60
AKB
∠
= °
. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение.
C
M
D
A
B
K
Через точку B проведём хорду BM , параллельную диагонали AC (см. рисунок). Тогда
11
CM
AB
=
= ,
60
DBM
AKB
∠
= ∠
= ° .
Поскольку четырёхугольник BMCD вписанный, получаем
180 180 60 120
DCM
DBM
∠
=
° − ∠
=
° − ° =
°.
По теореме косинусов
2 2
2
cos
2253
DM
CM
CD
CM CD
DCM
=
+
−
⋅
∠
=
По теореме синусов радиус окружности равен
2253 751 2sin
3
DM
DBM
=
=
∠
Ответ: 751 .
Содержание критерия
Баллы
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
25

Математика. 9 класс. Вариант МА2290504 1
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Решите уравнение
(
)
(
)
2 6
9 4
3
x x
x
x
+
+
=
+
Решение.
Преобразуем уравнение:
(
)
(
)
2 3
4 3
x x
x
+
=
+
;
(
) (
)
(
)
3 3
4 0
x
x x
+
+
−
= ;
(
)
(
)
2 3
3 4
0
x
x
x
+
+
−
= ;
(
)(
)(
)
3 4
1 0
x
x
x
+
+
− = , откуда находим
3
x
= − ,
4
x
= − или
1
x
= .
Ответ: 4
− ; 3
− ; 1.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег.
Первый едет со скоростью, на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Решение.
Пусть скорость первого автомобиля равна
v
км/ч, тогда скорость второго автомобиля равна
24
v
−
км/ч, следовательно,
24
v
>
. Время движения первого автомобиля, равное
420
v
ч, на 2 ч меньше времени движения второго автомобиля, равного
420 24
v
−
ч. Получаем уравнение:
420 420 2
24
v
v
−
=
−
;
2 420 420 10 080 2
48
v
v
v
v
−
+
=
−
;
2 24 5040 0
v
v
−
−
= , откуда следует, что
84
v
=
или
60
v
= −
Скорость первого автомобиля равна 84 км/ч.
Ответ: 84 км/ч.
20
21

Математика. 9 класс. Вариант МА2290504 2
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Содержание критерия
Баллы
Ход решения верный, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Постройте график функции
2 2,5 1
2,5
x
y
x
x
−
=
−
Определите, при каких значениях k прямая y kx
=
не имеет с графиком общих точек.
Решение.
Преобразуем выражение:
(
)
2 2,5 1
2,5 1
1 1 2,5 2,5
x
x
x
x
x
x
x
−
−
=
= −
⋅ −
−
при условии, что
2 5
x
≠ и
2 5
x
≠ − .
2 5
−
2 5
y
x
0
–1
Построим график функции
1
y
x
= при
0
x
< . Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей четверти, проходящая через точку
(
)
1; 1
− − , с выколотой точкой
(
)
2 5
;
5 2
−
−
Построим график функции
1
y
x
= − при
0
x
> . Это ветвь гиперболы, расположенная в четвёртой четверти, проходящая через точку
(
)
1; 1
− , с выколотой точкой
(
)
2 5
;
5 2
−
Прямая y kx
= не имеет с графиком ни одной общей точки, если она совпадает с осью
Ox
либо если она проходит через точку
(
)
2 5
;
5 2
−
−
или через точку
( )
2 5
;
5 2
−
. Получаем, что
6, 25
k
= −
,
0
k
=
или
6, 25
k
=
Ответ:
6, 25
k
= −
;
0
k
= ;
6, 25
k
=
22

Математика. 9 класс. Вариант МА2290504 3
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Содержание критерия
Баллы
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
2
График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если
12
BK
=
,
16
CK
=
Решение.
A
B
D
C
K
Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AK , AK — биссектриса угла BAD , следовательно,
BKA
KAD
BAK
∠
= ∠
= ∠
. Значит, треугольник BKA равнобедренный и
12
AB
BK
=
=
. Сторона
28
BC
BK
CK
=
+
=
По формуле периметра параллелограмма находим:
(
)
2 80
ABCD
P
AB
BC
=
+
=
Ответ: 80.
Содержание критерия
Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
23

Математика. 9 класс. Вариант МА2290504 4
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Основания BC и
AD
трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64,
16
BD
=
. Докажите, что треугольники CBD и
BDA
подобны.
Доказательство.
В треугольниках ADB и DBC углы ADB и DBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD . Кроме того,
64 4
16
AD
DB
=
= и
16 4
4
DB
BC
=
=
, т.е.
4
AD
DB
DB
BC
=
= .
B
A
D
C
Поэтому треугольники CBD и BDA подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
24

Математика. 9 класс. Вариант МА2290504 5
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Четырёхугольник ABCD со сторонами
39
AB
=
и
6
CD
= вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём
60
AKB
∠
= °
. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение.
C
M
D
A
B
K
Через точку B проведём хорду BM , параллельную диагонали AC (см. рисунок). Тогда
39
CM
AB
=
=
,
60
DBM
AKB
∠
= ∠
= ° .
Поскольку четырёхугольник BMCD вписанный, получаем
180 180 60 120
DCM
DBM
∠
=
° − ∠
=
° − ° =
°.
По теореме косинусов
2 2
2
cos
3 199
DM
CM
CD
CM CD
DCM
=
+
−
⋅
∠
=
По теореме синусов радиус окружности равен
3 199 597 2sin
3
DM
DBM
=
=
∠
Ответ: 597 .
Содержание критерия
Баллы
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
25