Файл: Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного.pdf

152 скоростями
))
u sin(
q
),
u cos(
q
,
u
(
1 0
0 1
0 0
0




, их годограф есть винтовая линия
(
0
u
-параметр) на цилиндре радиуса
0
q с шагом

2
(см. рисунок 4).
Пусть скорость частиц ограничена
U
u
0 0
0



Тогда частицы с еди- ничной площади плоскости x=0 за время T займут объем
2 0
2 0
q
U
T

, плот- ность мгновенного источника равна
2 0
2 0
2 2
0 0
q
U
q
1





, расход через еди- ничную площадь плоскости
0
x x

за время Т есть
0 0
1 0
0 0
U
)
T
x
U
(





при


T
. Контактный разрыв
)
xt
(
h
)
)
t
(
x sin(
z
)
)
t
(
x cos(
y
1 1
1







возможен для политропного газа





2 2
1 1
S
S
Подалгебра 3.11 дает
1 1
1 1
1 1
( ),
( ) cos(( (
) )
( )),
( )sin(( (
) )
( )),
( ),
( ).
u
xt
u t v
yt
q t
x
t
t
w
zt
q t
x
t
t
t S
S t




 















Из УГД получается решение с точностью до галилеевых переносов и вращения u=xt
-1
, v=yt
-1
+q
0
t
-1
cos(x(

t)
-1
), w=zt
-1
+q
0
t
-1
sin(x(

t)
-1
),




0 3
t
, S=S
0
Мировые линии – прямые
x
u t

0
,
y
v t
q
u



0 0
0 1
cos(
)

,
z
w t
q
u



0 0
0 1
sin(
)

, x=0 2

q
0
Рис. 4

153 где
)
w
,
v
,
u
(
u
0 0
0 0


- лагранжевы переменные. Матрица Якоби
0
u x




выро- ждается при t=0,
1
u x
rank
0





. При t=0 частицы сосредоточены на окружности q
z y
,
0
x
2 0
2 2



Из точки
)
sin q
z
,
cos q
y
,
0
(
0 0
0 0
0 0




этой окружности вы- летают множество частиц, которые в момент t занимают плоскости
)).
1
k
2
(
(
t x
0






Подалгебра 3.10 дает
u
x
t
u






(
)
1 1
1
, v
yt
q t
x
t
t






1 1
1
( ) cos( (
)
( ))


,
w
zt
q t
x
t
t






1 1
1
( ) sin( (
)
( ))


,



( )
t , S
S t

( ).
Из УГД получается решение с точностью до переносов и вращений
S
S
,
t
)
t
1
(
),
)
t
1
(
x sin(
t q
zt w
),
)
t
1
(
x cos(
t q
yt v
,
)
t
1
(
x u
0 2
1 0
1 1
0 1
1 1
0 1
1



























Мировые линии – прямые
,
x sin q
t w
z
,
x cos q
t v
y
),
t
1
(
x x
0 0
0 0
0 0
0







где
0 0
0
w
,
v
,
x
- лагранжевы переменные. Определитель матрицы Якоби ра- вен
).
t
1
(
t
2


При
1
t




частицы сосредоточены на плоскости
0
x

При t=0 частицы сосредоточены на винтовой линии x
sin q
z
,
x cos q
y
0 0




В точку
)
x sin q
,
x cos q
,
x
(
1 0
1 0
1


на винтовой линии попадают частицы из любой точки плоскости x=0 , причем из точки
)
x sin q
w
,
x cos q
v
,
0
(
1 0
0 1
1 0
0 1








частица двигается со скоростью
)
w
,
v
,
x
(
0 0
1

Подалгебра 3.9 дает
).
t
(
S
S
),
t
(
)),
t
(
)
t
(
x sin(
)
t
(
q
)
1
t
)(
y tz
(
w
)),
t
(
)
t
(
x cos(
)
t
(
q
)
1
t
)(
z ty
(
v
),
t
(
u
)
t
(
x u
1 1
2 1
1 2
1 1

































Из УГД получается решение с точностью до переносов

154
S
S
,
)
1
t
(
)
t
(
,
)
1
t
))(
sin cos t
(
q y
tz
(
w
,
)
1
t
))(
sin t
(cos q
z ty
(
v
,
)
t
(
x
,
u
0 1
2 1
0 1
2 0
1 2
0 1



































Мировые линии – прямые
,
cos q
v t
w z
,
sin q
w t
v y
),
t
(
x
0 0
0 0
0 0
0 0
0













где
0 0
0
w
,
v
,

- лагранжевы координаты. Определитель матрицы Якоби ра- вен
).
t
)(
1
t
(
2




Особенность возникает в момент
1
t




(при

=0 нет особенности), когда все частицы сосредотачиваются на плоскости
0
x

Из каждой точки этой плоскости вылетают частицы со всевозможными скоро- стями. Если выбрать по одной частице со специально подобранной скоро- стью для каждой точки плоскости, то в момент t можно получить из этих частиц любую поверхность.
Инвариантные барохронные движения ранга 1 рассмотрены. Они име- ют общие свойства: частицы двигаются по прямым. Якобиан перехода от ла- гранжевых переменных к эйлеровым переменным обратно пропорционален плотности. Моменту времени, когда якобиан обращается в ноль, соответст- вует многообразие частиц размерности, равной рангу матрицы Якоби в этот момент.
Далее рассматриваются подалгебры, для которых t не является инва- риантом.
Подалгебра 3.33 дает представление решения, в котором все функции зависят только от одной пространственной переменной x.
Из УГД следует либо постоянное решение, либо решение
0
p p
),
x
(
),
x
(
w w
),
x
(
v v
,
0
u







с тремя произвольными функциями. Во втором изобарическом случае частицы двигаются по параллельным прямым t
)
x
(
w z
z
,
t
)
x
(
v y
y
0 0
0 0




в плоскостях x
x
0

Подалгебра 3.32 дает
2 1
1 2
( ),
( ),
( ),
( ),
( ),
u
t
u s v
v s w
w s
s S
S s s
x
t
 
 




 
Из УГД получается два типа решений:

155 1)
u
C
1
 
,
u
dp
D
s
1 2
1 2






,
v
v

0
,
w
w

0
,
S
S

0
;
2)
,
( ),
( ),
( ),
( ).
u
t v
v s w
w s p
p s
p s







Мировые линии определяются равенствами
2 1
0 0
0 0
0 2
,
( ) ,
( ) .
x
x
t
y
y
v x t z
z
w x t






В равноускоренной вдоль оси x системе координат решения второго ти- па совпадают с решениями, построенными по подалгебре 3.33. Значит, на движение, инвариантное относительно подалгебры 3.33, инерционные силы не оказывают влияния при равноускоренном движении среды вдоль оси x.
Решение первого типа в равноускоренной системе координат опи- сывают установившееся течение из неточечного источника, так как решение определено только при
s
D

Подалгебра 3.31 дает
).
x
(
S
S
),
x
(
),
x
(
w t
w
),
x
(
v v
),
x
(
u u
1








Из УГД получается решение
S
S
,
,
xu w
t w
,
v v
,
0
u u
0 0
1 0
0 0
0











Растяжение, инверсия и галилеевы переносы по x, y, z делают
0
w v
u
0 0
0



и приводят к сдвиговому движению (см. подалгебру 3.44).
Подалгебра 3.30 дает
2 1
1 1
2
( ),
( ),
( ),
( ),
( ),
,
0.
u
t
u s v
v s w
t
w s
s S
S s s
x
t

 

 





 

Из УГД получается решение с точностью до галилеевых переносов по y и z:
v

0
,
w
u ds
 



1 1
,
S
S

0
,

u
D
1

,
G
D
d
C
s
F s
( )
( )













2 2
1 0
2 2

156
Решение определено в области
s
s
D




2 1
, где
C
s
D
d









2 2
2 2
1 0




,




f
D
1 2
(см. рисунок 5).
Для каждого


s s
имеется два значения
2
,
1
i
,
)
s
(
i





. Имеем два исте- чения газа из двигающегося вдоль оси z источника, с равноускоренно дви- гающейся границей
2 1
2
x
t
s



. Мировые линии частиц определяются ра- венствами

( )
s ds
Dt
s
s
s




0
,
y
y

0
, z
t
z


1 2
2 0

В системе координат, двигающейся с ускорением
)
,
0
,
1
(
a



, получается установившееся течение из неточечного источника.
При


s s
имеем,
)
s
(
u
)
(
f
2 1






и







1 2
1 1
)
u f
(
u
. Значит, граница звукового источника совпадает с предельной плоскостью. До предельной плоскости движение должно перестроится.
Подалгебра 3.28 дает
)
z
(
S
S
),
z
(
),
z
(
w w
),
z
(
v v
),
z
(
u y
u
1








Из УГД получается два вида стационарных решений.
1.
,
p p
),
z
(
,
0
w v
),
z
(
u y
u
0 1








где
)
z
(
),
z
(
u
1

- произвольные функции. Мировые линии частиц есть прямые x=x
0
+t(y
0
+u
1
(z
0
)), y=y
0
, z=z
0
,
1 2
D
s

s

2



1 0

s
G( )

F(s)
Рис. 5

157 траектории, которых параллельны оси x. Получаются сдвиговые пространст- венные изобарические течения по прямым.
2.
S
S
,
,
0
w w
,
v v
,
w zv y
u
0 0
0 0
1 0
0










Галилеевы переносы по y и z приводят к случаю 1.
Подалгебра 3.27 дает два представления решений a)
 
0
: u=t+u
1
(s), v=v(s), w=y

-1
+w
1
(s),



(s),S=S(s), s=


(
)
x
t
y


1 2
2
; б)
1 1
2 1
1 2
0,
0 :
( ),
( ),
(
)
( ),
( ),
( ).
u
t
u y v
v y
w
x
t
w y
y S
S y



 



 






Из УГД получаются несколько типов решений. а)
1 1
1 1
:
,
0,
( ),
( ),
( ),
( )
u
v u
t v
w
y
w s
p s p
p s w s












 

- произвольные функции. Мировые линии есть параболы в плоскостях y=const:
2 1
1 0
0 0
1 0
0 0
2
,
,
(
(
))
x
x
t
y
y z
y
w
x
y
t
z











В равноускоренной вдоль оси x системе отчета движение происходит по прямым параллельным оси z. a2)
 

0 0
1
, u
:
u
t
D
 


1
,
v
v

0
,
w
y
v D
ds







1 0
1
(
)
,
D
dp
C
x
t
2 2
1 2
2 2









Мировые линии определяются равенствами

ds
D t
s



(
),
0
y
v t
y


0 0
,
z
t y
v s
z





1 0
0 0 0
(
)
Это еще один источник, с равноускоренно двигающейся границей. б) v

0: u
tyv
u



0 1
0
, v
v

0
, w
x
t
u v y
y v








1 1
2 2
0 0 1
1 2
2 0
2
(
) ,



0
, S
S

0
Галилеевы переносы и переносы приводят это решение к виду
S
S
,
),
v
2
y tyv x
(
w
,
0
v
,
yv u
0 0
2 0
1 2
1 0
1 1
0
















Мировые линии - прямые
,
t
)
v
2
y x
(
z z
,
y y
,
t yv x
x
2 0
1 2
0 0
1 0
0 1
0 0












158 где
)
z
,
y
,
x
(
x
0 0
0 0


есть положение частицы в момент t=0 (лагранжевы пе- ременные). Якобиан
1
x x
0





не вырождается, нет особенностей при дви- жении газа. Расстояние между двумя частицами
1 2
1 2
1 2
2 2
2
z z
z
,
y y
y
,
x x
x
,
z y
x
R















вычисляется по формуле
R
R
z
x
y
x
y
x
y
t
v
v
t
v
v
2 0
2 2
0 0
0 0
0 0
0 2
0 2
0 2
2 2
0 2
0 2






 


























 


где
)
y y
(
2 02 01 1




Минимальное схождение частиц равно
1 2
2 0
0 0
2 0
2 0
2 2
0 0
1 0
2 0
0 0
0 2
0 2
m
)
)
v y
x
(
y v
)(
]
y x
v
)
v y
x
(
z
([
R
R























при
)
)
v y
x
(
y v
)(
y x
v
)
v y
x
(
z
(
t
2 2
0 0
0 2
0 2
0 2
0 0
1 0
2 0
0 0
0
m
























1
Подалгебра 3.20 дает U
U x

( ) ,
V
Q x
t
x

 
( ) sin(
( ))


,
W
Q x
t
x

 
( ) cos(
( ))


,



( )
x
, S
S x

( ).
Из УГД получаются решения. а)
p p
,
0
W
V
U
0




Тогда можно взять
)
z
,
y
,
x
(



как произвольную функцию. Это покой газа. б) xU
,
0
U
U
,
,
Q
Q
,
S
S
0 1
0 0
0 0
0













Галилеев перенос по x приводит к частному виду решений из подалгебры 3.33.
Подалгебра 3.19 дает
U
t
U s
 
1
( )
,
V
Q s
t
s




( ) sin(
( ))
 

1
,
W
Q s
t
s




( ) cos(
( ))
 

1
,



( )
s
, S
S s

( ) , s
x
t


1 2
2
Из УГД получаются решения. а)
)
s
(
p p
),
s
(
p
,
0
W
V
,
t
U








- произвольная функция.
Получается равноускоренное в направлении оси x движение с не воз- растающим давлением и согласованной плотностью. Если давление ограни- чено и монотонно убывает на всей прямой s , то положительная кривая

159 плотности имеет горб на прямой s и имеет участки выпуклости и во- гнутости. Поэтому звуковые характеристики сгущаются с ростом t и при- ведут к образованию ударной волны. б) S
S

0
, Q
Q

0
,

U
D
1

, D
dp
C
s
2 2
1 2
2








,




  


2 1
(
)
D
ds
В декартовой системе координат имеем
v
Q
t
D
ds





0 1
1
cos(
(
)
)



, w
Q
t
D
ds





0 1
1
sin(
(
)
)



Мировые линии задаются формулами

ds
D t
s
s
s




(
)
0
;
y
y
Q t
s



0 0
1 0
cos(
)

,
z
z
Q t
s



0 0
1 0
sin(
)

Поведение газа в проекции на ось x аналогично движению, которое возникало при рассмотрении подалгебры 3.30. Имеем два движения из плос- кого источника, с двигающейся границей
2 1
2
x
t
s



. Частица
)
y
,
x
,
s
(
0 0
0
из источника летит по линии, проекция которой на плоскость y, z есть луч с направлением
)).
s sin(
),
s
(cos(
Q
1 0
1 0
0




Направление зависит от проекции час- тицы на ось x , значит, источник вращается вокруг оси x.
Подалгебра 3.7 дает yz s
),
s
(
S
S
),
s
(
),
s
(
w w
),
s
(
v v
),
s
(
u z
ln u
1 1











Из УГД получаются два типа решения. а)
0
p p
,
0
w v



и можно взять
)
z
,
y
(
),
z
,
y
(
u u




произвольными функциями. Траектории частиц параллельны оси x. Имеем изобарическое установившееся течение постоянное в направлении оси x с произвольным профилем скорости. б)
2 2
1 2
0 2
2 2
2
,
ln
(
) ,
2
,
0,
(
)
2
(
)
0.
S
S u
zv
yw v
w
dp
C dw
sdv
v
f dv
vwdvdw
w
f dw





















160
В плоскости (y, z) имеем автомодельную простую волну Прантля -Майера
(13.21), которая существует лишь при



f w
v
2 2
. Если ввести полярную систему координат как в плоскости течения




sin r
z
,
cos r
y
, так и в плос- кости годографа v
q

cos

,
w
q

sin

, то решение задается квадратура- ми:
 
 





  
2
, ( )
,
q
const
где





q ctg dq
1
,
sin
 

aq
1
Подалгебра 3.6 дает
).
r
(
S
S
),
r
(
),
r
(
W
W
),
r
(
V
V
),
r
(
U
t
U
1










Из УГД получаются два типа решений. а)
)
r
(
p
),
r
(
U
);
r
(
p r
,
r
W
,
0
,
0
V
1 1
2 1












- произвольные функции.
Мировая линия частицы
))
r
(
U
(
t x
x
,
t
,
r r
0 1
0 0
1 0
0











лежит на цилиндре. Траектория есть винтовая линия
)).
r
(
U
)(
(
x x
,
r r
0 1
0 0
0 0









При фиксированном t, r непрерывного распределения функции U на всем цилиндре быть не может. При изменении

от
0

до



2 0
функция U при- нимает приращение

2
, при этом W остается непрерывным.
Значит, на цилиндре
0
r r

существует контактный разрыв
)
r
(
h
0 0


, ко- торый передвигается по закону
1 0
t
)
r
(
h





б)
S
S

0
, W
Dr


1
,
V
r


(
)

1
,
E r
I
C
D r
2 2
2 2
2
(
)
( )







или
G r
r
C
I
E
D
F
( )
(
( ))(
)
( )







2 2
2 2
2 2 1




,
I
dp
( )





2 1
,
U
U
r
D rE
dr
1 0
2 1







(
)(
)
Функция
)
(
F

имеет два корня:
2 0
0
C
)
(
I
,
,
0







; один максимум
2 2
C
)
(
f
E
)
(
I
,












(см. рисунок 6). Максимуму
)
(
F


соответствует значение
))
(
F
)
r
(
G
(
r r






, которое ограничивает область определения ре- шения (


r r
).

161

r r
r
1



2


Рис. 6
Решение двухзначно:





)
r
(
0 1
и
0 2
)
r
(






. Имеем два раз- личных истечения из вращающегося вокруг оси x, и двигающегося вдоль оси x цилиндрического источника


r r
(стока при E<0). В области дви- жения газа имеется поверхность контактного разрыва
0
)
,
r
,
x
,
t
(
h


. Из усло- вий на контактном разрыве
 
p

0,
 
u n
D
h
h
n
t


 


|
|
1
следует:
 
V

0,
 
W

0,
 
U


2 0

,
h
x

0
, h
r
R
t
 
( , )

,
R R
DR
R V R
t
2 2



( )
На предельной окружности


r r
радиальная составляющая вектора ско- рости равняется скорости звука
)
(
f
V





, а ускорение


r
V
при


r r
Это является физическим препятствием достижимости течением предельной окружности и течение должно перестроится.
Рассмотрены трехмерные подалгебры, для которых инвариантные под- модели интегрируются. Остальные инвариантные подмодели ранга один сводятся к системе из двух уравнений первого порядка. Имеются 7 автоном- ных инвариантных подмоделей, которые сводятся к одному уравнению пер- вого порядка и квадратуре, а также 3 неавтономные инвариантные подмоде- ли. Эти подмодели рассмотрены далее.
F
G