Файл: Расчет переходных процессов в линейных.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Решение задач

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.12.2023

Просмотров: 188

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
– простые корни характеристического уравнения N(p) = 0;.2)  =, (2.3)где pi – корни характеристического уравнения F3(p)=0.В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (2.3) соответствует сигналам, имеющим принужденную составляющую.Если уравнение второго порядка, соответствующее цепи второго порядка, F2(p)=0 имеет комплексные сопряженные корни и , то достаточно вычислить слагаемое сумм (2.2) или (2.3) только для корня , а для сопряженного корня взять значение, сопряженное этому слагаемому. Сумма, соответствующая этим двум слагаемым, равна удвоенному значению действительной части, найденной для одного из корней:=(2.4)или  = .3. Пример расчета переходного процесса в цепи II порядкаДана цепь (рис. 2.3) с параметрами Е = 30 В , J = 2 А , R1 = 20 Ом , R2 = 10 Ом, С = 100 мкФ , L = 50 мГн .Определить закон изменения тока i1(t) после коммутации.

3.1. Классический метод расчета


  1. Правила коммутации:
iL(0–) = iL(0+) = 0 А,uC(0–) = uC(0+) = JR2= 20 B.

  1. Составление характеристического уравнения цепи.
2.1. Совместное решение однородной системы дифференциальных уравнений. Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:Из уравнения (2.12).Из уравнения (2.13) определим ток (2.17)и подставим его в выражение для тока индуктивности.Определим производную тока индуктивности.Из уравнения (2.11) определим ток i4и подставим в полученное уравнение (2.17).Все полученные выражения подставляем в уравнение (2.14).После приведения подобных слагаемых и группирования получаем дифференциальное неоднородное уравнение второго порядкаТаким образом методом исключения из системы дифференциальных уравнений для любой электрической цепи можно получить дифференциальное неоднородное уравнение.Характеристическое уравнение получается из соответствующего однородного дифференциального уравнения в результате замены производных на соответствующие степени оператора p и имеет вид
2.2. Алгебраизация дифференциальных уравнений. Для получения характеристических уравнений записывается система уравнений по методу контурных токов, которая впоследствии переписывается в алгебраической форме с помощью вспомогательного символа p, заменяющего операцию дифференцирования, и 1/p, заменяющего операцию интегрирования:Так как i33 = J , следовательно,и, соответственно, для свободных составляющих токов:Данная система алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нулевого только тогда, когда ее определитель равен нулю:илиТаким образом, характеристическое уравнение в результате преобразования принимает вид.2.3. Метод входного сопротивления. Удалим источники из цепи в соответствии с известным правилом: источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками, ветви с источниками тока размыкаются. В произвольной ветви, разорвав цепь, запишем входное сопротивление:Заменив j на p, получимПриравняв данное выражение нулю (Z(р) = 0) и произведя необходимые преобразования, получим характеристическое уравнение цепиПодставим значения параметров цепи:p2 + 700p + 300000 = 0. Корни характеристического уравненияp1 = – 350 + j421,308, p2
= – 350 – j421,308являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

  1. Определение принужденной составляющей. Рассматриваемая цепь в принужденном режиме имеет вид (рис. 2.4)
,i1пр = 1/3 (A).4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характеристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в видеi1св(t) = e–t(A1cos t + A2 sin t),где – декремент затухания, – частота свободных колебаний определяются через корни характеристического уравнения p1,2 = – +j.Таким образом, в выражении i1св необходимо определить постоянные интегрирования А1 и А2. Вычисление их ведется с помощью системы уравнений, составленных для момента t = 0+:4.1. Определение значений и с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае cоставляется система уравнений Кирхгофа. Методом исключения выражается значение тока i1(0+) через известные значения uC(0+) и i2(0+):.Дифференцируя выражение для i1(t), получим.Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим.Подставив соответствующие значения
uC и iL в момент t = 0+, рассчитаемi1(0+) = – 250 A/с.4.2. Определение i1(0+) и i1(0+) с использованием резистивных схем замещения в момент t = 0+. Схема замещения в 0+ для величин токов и напряжений изображена на рис. 2.5ЕС = uС(0–)J = iL(0–)JПо II закону Кирхгофа получимДля построения схемы замещения в (0+) для производных токов и напряжений необходимо определить начальные значения:Таким образом, следует определить iC(0+) и uL(0+) с помощью уже полученной схемы замещения:а) для определения uL(0+) составим уравнение по II закону Кирхгофа:uL(0+) – iR2(0+)R2 = – uC(0+)подставив значения, получим uL(0+) = 0, следовательно, .б) iC(0+) = i1(0+) = 0,5 A , следовательно, = 5000 B/с.При построении схемы замещения в 0+ для производных следует:

  • источники заменить на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равным соответственно производной от данных в задании;

  • номиналы резисторов остаются неизменными;

  • емкости и индуктивности же замещаются в соответствии со следующим правилом – емкости с нулевыми начальными условиями ( ) заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями( ) – противодействующими источниками ЭДС с ;

  • ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия ( ) размыкаются, в случае ненулевых начальных условий ( ) индуктивности заменяют на содействующие источники тока с .

Смотрите также файлы