Файл: Тема 12. Координаты и векторы МатематикаЦели изучения темы.pdf

Тема 12. Координаты и векторы
Математика
Цели изучения темы:

научиться применять координаты и векторы для решения математических и прикладных задач.
Задачи темы:

сформировать представление о декартовой системе координат в пространстве;

сформировать общее представление о векторах.
В результате изучения данной темы Вы будете
знать:

основные понятия прямоугольной (декартовой) системы координат;

основные понятия о векторах.
уметь:

задавать в декартовой системе координат уравнение сферы и плоскости;

складывать векторы;

умножать вектор на число;

раскладывать вектор по направлениям;

вычислять угол между двумя векторами;

находить скалярную и векторную проекции вектора на ось;

находить координаты вектора;

вычислять скалярное произведение векторов;

формировать представление о взаимном расположении векторов в пространстве на основе значения скалярного произведения.
владеть:

основными понятиями декартовой системы координат в пространстве;

общими знаниями о векторах в пространстве.
Учебные вопросы темы:
Вопрос 1. Прямоугольная (декартова) система координат.
Вопрос 2. Векторы.
Вопрос 3. Использование координат и векторов при решении математических задач.

Вопрос 1. Прямоугольная (декартова) система координат
Прямоугольная декартова система координат на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми – осями координат, с масштабом, одинаковым для обеих осей.
Точка пересечения координатных прямых называется началом
координат и является начальной для каждой из них.
Ось Ox называют осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат.
Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называется координатной плоскостью и обозначается Oxy.
Каждой точке координатной плоскости ставится в соответствие пара чисел, которые называются координатами этой точки.
Абсцисса – соответствующая координата прямоугольной проекции этой точки на ось Ox Ордината – соответствующая координата прямоугольной проекции этой точки на ось Oy. Эти числа называют декартовыми
координатами данной точки.
Расстояния между двумя точками на координатной плоскости ????(????
1
; ????
1
) и
???? (????
2
; ????
2
) вычисляется по формуле
???? = √(????
2
− ????
1
)
2
+ (????
2
− ????
1
)
2
Координаты середины отрезка AB вычисляются по формуле
(
????
1
+ ????
2 2
;
????
1
+ ????
2 2
).
Уравнение окружности с центром в точке ????(????
1
; ????
1
)и радиусом R в декартовых координатах имеет вид
(???? − ????
1
)
2
+ (???? − ????
1
)
2
= ????
2

Уравнение прямой в декартовых координатах на плоскости имеет вид
???????? + ???????? + ???? = 0.
Прямоугольной
декартовой
системой
координат
в
пространстве называются три взаимно перпендикулярные координатные прямые
– оси координат, пересекающихся в одной точке. Точка пересечения координатных прямых называется началом координат и является начальной точкой для каждой из них.
Ось Ox называют осью абсцисс, ось Oy – осью ординат, а ось Oz – осью
аппликат.
????
1
называют абсциссой точки A,
????
1
– ординатой точки A, а ????
1
– аппликатой этой точки.
Расстояние между точками в пространстве
????(????
1
; ????
1
; ????
1
) и
???? (????
2
; ????
2
; ????
2
) вычисляется по формуле
???? = √(????
2
− ????
1
)
2
+ (????
2
− ????
1
)
2
+ (????
2
− ????
1
)
2
Координаты середины отрезка AB вычисляются по формуле
(
????
1
+ ????
2 2
;
????
1
+ ????
2 2
;
????
1
+ ????
2 2
).

Уравнение сферы с центром в точке ????(????
1
; ????
1
; ????
1
)и радиусом R в декартовых координатах имеет вид:
(???? − ????
1
)
2
+ (???? − ????
1
)
2
+ (???? − ????
1
)
2
= ????
2
Уравнение плоскости имеет вид
???????? + ???????? + ???????? + ???? = 0, где ????
2
+ ????
2
+ ????
2
≠ 0.
Вопрос 2. Векторы
Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец в точке B, то такой вектор обозначается
????????
⃗⃗⃗⃗⃗ .
Часто векторы обозначаются и вот таким образом:
????.
⃗⃗⃗
Модуль вектора ????????
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (|????????
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |) – длина отрезка AB.
Нулевой вектор 0
⃗ – вектор, начало и конец которого совпадают.
Нулевой вектор не имеет направления. Длина нулевого вектора равна нулю.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть
сонаправленными и противоположно направленными.
Векторы называются равными, если они одинаково направлены и их длины равны.
Если в пространстве заданы два вектора ???? = {????
1
; ????
1
; ????
1
} и ????⃗ = {????
2
; ????
2
; ????
2
}, то:

Сумма этих векторов ???? + ????⃗ = {????
1
+ ????
2
; ????
1
+ ????
2
; ????
1
+ ????
2
}

Разность этих векторов ???? − ????⃗ = {????
1
− ????
2
; ????
1
− ????
2
; ????
1
− ????
2
}

Произведение вектора на число ???????? = {????????
1
; ????????
1
; ????????
1
}
Сумма векторов
Сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника:
А также по правилу параллелограмма:
Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.
Для сложения трёх некомпланарных векторов можно использовать правило
параллелепипеда:

Произведением ненулевого вектора ???? на число k называется такой вектор
????⃗ , длина которого равна произведению |????||???? |.
Основные свойства умножения вектора на число
(????????)???? = ????(???????? )
(???? + ????)???? = ???????? + ????????
????(???? + ????⃗ ) = ???????? + ????????⃗
Разложение вектора по направлениям
Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
???? = ???????? + ????????⃗ + ????????
???? , ????⃗ , ???? – некомпланарные векторы, x, y, z– коэффициенты разложения.
Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.
Проекция вектора на ось
В математике существуют два определения:
1) геометрическая проекция вектора — вектор;
2) скалярная проекция вектора на ось — число.
Геометрическая проекция вектора — это вектор, который можно получить, если провести перпендикуляры от концов вектора до выбранной оси.
Проекция начала вектора соответствует началу геометрической проекции, а проекция конца вектора соответствует концу геометрической проекции.
Скалярная проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.

Координаты вектора
Мы уже знаем, что любой вектор в пространстве можно разложить по трём некомпланарным векторам. От точки O начала координат отложим единичные вдоль осей Ox, Oy, Oz отложим векторы ???? , ???? , ????⃗ соответственно, длины которых равны 1. Такие векторы будем называть единичными координатными векторами.
Тогда можно разложить вектор ???? по векторам ???? , ???? , ????⃗ (см. рисунок)
???? = ???????? + ???????? + ????????.
⃗⃗⃗
Коэффициенты разложения x, y и z определяются единственным образом.
Коэффициенты разложения x, y, z вектора ???? по координатным векторам ???? , ???? , ????⃗ называют координатами вектора ???? в данной системе координат. Координаты вектора записывают так:
???? {????; ????; ????}.

Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
???? ⋅ ????⃗ = |???? | ⋅ |????⃗ | cos (???? , ????⃗
̂
) = √????
????
2
+ ????
????
2
+ ????
????
2
⋅ √????
????
2
+ ????
????
2
+ ????
????
2
cos (???? , ????⃗
̂
).
Скалярное произведение векторов ???? {????
????
; ????
????
; ????
????
}и ????⃗ {????
????
; ????
????
; ????
????
} есть число
???? ⋅ ????⃗ = ????
????
????
????
+ ????
????
⋅ ????
????
+ ????
????
⋅ ????
????
Свойства скалярного произведения векторов
???? ????⃗ = ????⃗ ????
???? (????⃗ + ???? ) = ???? ????⃗ + ???? ????
(???????? )????⃗ = ????(???? ????⃗ )
???? ???? = |???? |
2
???? ????⃗ = 0, когда ???? ⊥ ????⃗
Угол между двумя векторами
cos (???? , ????⃗
̂
) =
???? ⋅ ????⃗
|???? | ⋅ |????⃗ |
=
????
????
????
????
+ ????
????
⋅ ????
????
+ ????
????
⋅ ????
????
√????
????
2
+ ????
????
2
+ ????
????
2
⋅ √????
????
2
+ ????
????
2
+ ????
????
2
,
???? , ????⃗
̂
= arccos
???? ⋅ ????⃗
|???? | ⋅ |????⃗ |
Вопрос 3. Использование координат и векторов при решении
математических задач
Рассмотрим некоторые примеры использования координат и векторов при решении математических и практических задач.
Пример 1. Даны точки ????(−10; 3), ????(2; 9), ????(3; 7). Докажите, что треугольник ABC – прямоугольный.
Решение. Найдём длины отрезков AB, AC и BC:
???????? = √(3 − (−10))
2
+ (7 − 3)
2
= √185,
???????? = √(2 − (−10))
2
+ (9 − 3)
2
= √180,
???????? = √(3 − 2)
2
+ (7 − 9)
2
= √5.

Если треугольник ABC – прямоугольный, то для него выполняется теорема
Пифагора. Найдём квадраты сторон треугольника
????????
2
= 185,
????????
2
= 180,
????????
2
= 5.
Тогда получим верное равенство
????????
2
= ????????
2
+ ????????
2
Треугольника ABC – прямоугольный.
Пример 2. Если ????⃗ = {????; ????; ????} − нормаль к плоскости, то уравнение плоскости имеет вид
???????? + ???????? + ???????? + ???? = 0.
Чтобы найти d, нужно подставить в уравнение плоскости координаты любой точки, лежащей в этой плоскости, и выразить из него d.
Например, ????⃗ = {1; 2; 3} − нормаль к плоскости. Точка ????(4; 5; 6) лежит в этой плоскости. Тогда получим
1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 + ???? = 0 ⇔ ???? = −32.
Тогда уравнение плоскости имеет вид
???? + 2???? + 3???? − 32 = 0.
Уравнение плоскости также можно составить, используя три точки из плоскости, не лежащие на одной прямой.
Пусть ????(1; 0; 0), ????(0; 3; 4), ????(2; 0; 5) – точки из плоскости. Тогда уравнение плоскости можно найти, решив систему
{
1 ⋅ ???? + 0 ⋅ ???? + 0 ⋅ ???? + ???? = 0 0 ⋅ ???? + 3 ⋅ ???? + 4 ⋅ ???? + ???? = 0 2 ⋅ ???? + 0 ⋅ ???? + 5 ⋅ ???? + ???? = 0
⇒ {
???? = −????
3???? + 4???? − ???? = 0
???? + 5???? = 0
⇒ {
???? = −5????
???? = −3????
???? = 5????
Следовательно, уравнение плоскости имеет вид
−5???? ⋅ ???? − 3???? ⋅ ???? + ???? ⋅ ???? + 5???? = 0.
Можно разделить обе части на ???? ≠ 0, тогда
−5???? − 3???? + ???? + 5 = 0.
Другие примеры использования координат и векторов при решении математических задач будут рассмотрены в практической части урока.
Вопросы для самопроверки:
1. Запишите формулу для вычисления расстояния между точками в пространстве.
2. Запишите уравнение плоскости.
3. Сформулируйте определение вектора.
4. Какие векторы называются коллинеарными? Компланарными?
5. Как сложить три некомпланарных вектора?
6. Запишите формулу для вычисления скалярного произведения векторов.
7. Как найти угол между векторами?

8. Что называют геометрической проекцией вектора на ось? Скалярной проекцией вектора на ось?
9. Запишите свойства скалярного произведения векторов.