Файл: Интегральное исчисление.docx

Индивидуальное домашнее задание № 2

Тема: «Интегральное исчисление»

Вариант___

Задание 1. Определенный интеграл. Интегрирование методом замены переменной.

Вычислить определённый интеграл, заменив переменную и вычислив новые пределы интегрирования. Результат записать в виде обыкновенной дроби.

Решение:

Пусть

Заменим пределы интегрирования: если

.

Вычислим дифференциал . Для его вычисления используем равенство — если равны функции, то равны и их дифференциалы:



Составим интеграл по переменной , эквивалентный исходному, и вычислим его значение:

Ответ:

Задание 2. Интегрирование рациональных функций.

Вычислить определённый интеграл от рациональной функции, разложив её на элементарные дроби. Результат округлить с точностью до 0,001.

---

Решение:

1) Представим подынтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей. Для этого вначале вычислим корни многочлена в знаменателе.



Т.о., многочлен можно представить в виде произведения:

Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух элементарных дробей с неопределёнными коэффициентами:





Т.о., подынтегральная рациональная функция примет вид:

2) В исходном интеграле заменим подынтегральную функцию и вычислим определённый интеграл с заданной точностью:

Ответ:

-Задание 3. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции.

Определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями. Пределы интегрирования определить аналитически. Выполнить чертёж в заданном масштабе: за единичный отрезок взять 1 клетку. Результат представить в виде обыкновенной дроби и десятичной дроби с точностью до 0,001.

Решение:

1) Построение.

— парабола с вершиной в точке с координатами (-2,5; -5,25). Ветви параболы направлены вверх.

— парабола с вершиной в точке с координатами (3,5;25,25). Ветви параболы направлены вниз.



2) Вычислим аналитически пределы интегрирования:

Пределы интегрирования – это абсциссы точек пересечения парабол.

Абсциссы точек пересечения:



3) Составим интегральное уравнение площади искомой фигуры и вычислим определённый интеграл: {в подынтегральной функции из уравнения верхней кривой вычитаем уравнение нижней кривой}

---

Ответ:

Задание 4. Интеграл в физических задачах. Кинематика.

Скорость тела изменяется по закону . Определить путь, пройденный телом за интервал времени от до .

Решение:

Если тело движется с переменной скоростью, то путь, пройденный телом от момента времени до момента времени будет равен интегралу:



Составим интегральное уравнение пройденного пути и вычислим определенный интеграл:

Ответ: 172,9

Задание 5. Интеграл в физических задачах. Работа переменной силы.

Вдоль оси действует переменная сила . Определить работу этой силы на участке траектории от до . Результаты вычислений округлить до 0,001.

Решение:

Если на тело действует переменная сила , то работа этой силы на интервале от до будет равна интегралу:



Составим интегральное уравнение работы и вычислим определённый интеграл:

---

Ответ: Дж

Задание 6. Интеграл в физических задачах. Электродинамика.

Вычислить электрический заряд, переносимый за интервал времени от до секунд через поперечное сечение проводника, если сила тока меняется по закону . Результаты вычислений округлить до 0,001.

Решение:

Если по проводнику течёт переменный ток, уравнение которого , то за интервал времени от до секунд через поперечное сечение проводника пройдёт заряд, равный интегралу:



Составим интегральное уравнение и вычислим определённый интеграл:

Ответ: Кл

Задание 7. Интеграл в физических задачах. Работа и мощность.

Мощность силовой установки в кВт зависит от времени согласно следующему закону: .

Определить работу в кДж, выполняемую этой установкой за время от до . Время задано в секундах. Результаты вычислений округлить до 0,001.

Решение.

Работа, выполняемая силовой установкой, будет равна интегралу:



Составим интегральное уравнение работы:



Подынтегральная функция является дробно-рациональной. (Пошаговый алгоритм решения подобных интегралов в Задании 2)

---

Представим подынтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей.

— корни квадратного уравнения найдём с помощью теоремы Виета.

и и .

Т.о. многочлен в знаменателе можно представить в виде произведения



Подынтегральная функция примет вид: . Представим её в виде суммы элементарных дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов для вычисления числителей элементарных дробей:



Сравнивая слагаемые числителя, составим систему:



Т.о., подынтегральная функция в виде суммы двух элементарных дробей примет вид:



В исходном интеграле заменим подынтегральную функцию и вычислим значение определённого интеграла:

Ответ: кДж

-Задание 8. Объём тела вращения.

График функции вращается вокруг оси . Определить объём тела вращения в диапазоне . Результаты вычислений округлить до 0,001. Изобразить график заданной функции в прямоугольной системе координат .

Решение.

График функции :

Область определения функции: заданный интервал

---