ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 37
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
= 3, y1 = 2. Проверка показывает, что эта пара чисел является решением второго уравнения системы (7), а значит, она является решением системы (7) и равносильной ей исходной системе.
Итак, исходная система имеет единственное решение (3; 2).
в) Введя новое неизвестное a =
, перепишем первое уравнение системы в виде: 
. Оно имеет два корня: a1 = 1 и a2 = –4. Поэтому все решения исходной системы есть объединение всех решений двух систем:
1)
и 2) 
Используя подстановку y = 9 – x, решим каждую из систем и получим, что система 1) имеет единственное решение (6; 3), а система 2) имеет единственное решение (14
; –5 ).
Итак, исходная система имеет два решения: (6; 3), (14 ; –5 ).
ж) Перепишем систему в виде:
(8)
Если пара чисел (x0; y0) — решение системы (8), то верны числовые равенства: x0(9x0 + 4y0) = 1 и y0(9x0 + 4y0) = –2. Заметим, что обе части этих числовых равенств не нули, поэтому разделив первое равенство на второе почленно, получим новое числовое равенство:
. Откуда следует, что y0 = –2x0. То есть искомые решения системы (8) являются решениями системы
(9)
Решив систему (9), получим два её решения: (1; –2), (–1; 2).
Проверкой убеждаемся, что обе эти пары чисел действительно являются решениями исходной системы.
Ответ. а) (3; 2); в) (6; 3), (14
; –5 ); ж) (1; –2), (–1; 2).
Замечание. Отметим, что мы не доказали в процессе решения задания ж) равносильность системы (9) исходной системе, но из проведённого рассуждения следует, что любое решение исходной системы является решением системы (9) (т. е. система (9) является следствием исходной системы), поэтому необходимо проверить, является ли каждое решение системы (9) решением исходной системы. И эта проверка является обязательной частью решения системы.
На самом деле система (9) равносильна исходной системе, что следует из утверждения, доказанного ниже.
Дополнительные задания
1. Решите систему уравнений
а)
б) 
в)
г) 
Решение. а) Выделив полные квадраты в первом уравнении, перепишем его в виде:
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 0. (1)
Теперь очевидно, что первое уравнение системы имеет единственное решение: x1 = 3, y1 = 1. Проверкой убеждаемся, что эта пара является решением второго уравнения, а значит, и решением системы уравнений.
б) Рассуждая аналогично, получим единственное решение системы (–2, 0,5).
в) Разложим левую часть первого уравнения системы на множители:
x2 – 7xy + 12y2 = x2 – 3xy – 4xy + 12y2 = x(x – 3y) – 4y(x– 3y) = (x – 3y)(x – 4y).
Перепишем данную систему в виде
(2)
Теперь очевидно, что все решения системы (2) есть объединение всех решений двух систем:
1)
и 2) 
Система 1) имеет два решения: (3; 1), (–3; –1). Система 2) также имеет два решения: (12; 3), (–12; –3). Следовательно, исходная система имеет четыре решения: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3).
г) Перепишем исходную систему в виде:
(3)
Очевидно, что первое уравнение системы (3) имеет единственное решение:
(3; –2). Проверка показывает, что оно является оно также и решением второго уравнения системы (3), следовательно, система (3), а значит, и исходная система имеют единственное решение (3; –2).
Ответ. а) (3; 1); б) (–2, 0,5); в) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); г) (3; –2).
2. Докажите утверждение: если f (x, y) и g (x, y) — многочлены относительно x и y, a и b — числа, b
0, то равносильны системы 1) 
и 2) 
Доказательство. 1. Пусть пара чисел (x0; y0) — решение системы 1), тогда верны числовые равенства: f (x0, y0) = a и g (x0, y0) = b. Так как b 0, то и g (x0, y0) 0, поэтому верно числовое равенство: 
. Это означает, что любое решение системы 1) является решением системы 2).
2. Пусть теперь пара чисел (x0; y0) — решение системы 2), тогда верны числовые равенства: и g (x0, y0) = b. Так как b 0, то и g
(x0, y0) 0, поэтому умножив обе части первого числового равенства на равные отличные от нуля числа g (x0, y0) и b, получим новое верное числовое равенство: f (x0, y0) = a. Это означает, что любое решение системы 2) является решением системы 1).
3. Предположим, что система 1) не имеет решения, а система 2) имеет решение. Тогда из п. 2. доказательства, проведённого выше, следует, что система 1) имеет решение. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно. Значит, если система 1) не имеет решения, то и система 2) не имеет решения.
Аналогично доказывается, что если система 2) не имеет решения, то и система 1) не имеет решения.
Из приведённого выше доказательства следует, что системы 1) и 2) равносильны, что и требовалось доказать.
Приведём пример решения системы 518, жс помощью этого утверждения.
Решив последнюю систему, получим два её решения: (1; –2), (–1; 2), следовательно, исходная система имеет два решения: (1; –2), (–1; 2).
3. Решите систему уравнений:
а)
б) 
в) 
Решение. а) Исходная система равносильна системе
которую перепишем в виде:
(4)
Система (4) имеет единственное решение (1; 2). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (1; 2).
б) Исходную систему перепишем в виде
Эта система равносильна системе:
(5)
Система (5) имеет единственное решение (–1; –5). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (–1; –5).
в) Исходная система равносильна системе
или системе
(6)
Система (6) имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; 2). Следовательно, и исходная система имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2).
Ответ. а) (1; 2); б) (–1; –5); в) два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2).
Промежуточный контроль. С-22, С-23, С–24*.
Итак, исходная система имеет единственное решение (3; 2).
в) Введя новое неизвестное a =
, перепишем первое уравнение системы в виде: . Оно имеет два корня: a1 = 1 и a2 = –4. Поэтому все решения исходной системы есть объединение всех решений двух систем:1)
и 2) Используя подстановку y = 9 – x, решим каждую из систем и получим, что система 1) имеет единственное решение (6; 3), а система 2) имеет единственное решение (14
; –5 ).Итак, исходная система имеет два решения: (6; 3), (14
; –5 ).ж) Перепишем систему в виде:
(8)Если пара чисел (x0; y0) — решение системы (8), то верны числовые равенства: x0(9x0 + 4y0) = 1 и y0(9x0 + 4y0) = –2. Заметим, что обе части этих числовых равенств не нули, поэтому разделив первое равенство на второе почленно, получим новое числовое равенство:
. Откуда следует, что y0 = –2x0. То есть искомые решения системы (8) являются решениями системы
(9)
Решив систему (9), получим два её решения: (1; –2), (–1; 2).
Проверкой убеждаемся, что обе эти пары чисел действительно являются решениями исходной системы.
Ответ. а) (3; 2); в) (6; 3), (14
; –5 ); ж) (1; –2), (–1; 2).Замечание. Отметим, что мы не доказали в процессе решения задания ж) равносильность системы (9) исходной системе, но из проведённого рассуждения следует, что любое решение исходной системы является решением системы (9) (т. е. система (9) является следствием исходной системы), поэтому необходимо проверить, является ли каждое решение системы (9) решением исходной системы. И эта проверка является обязательной частью решения системы.
На самом деле система (9) равносильна исходной системе, что следует из утверждения, доказанного ниже.
Дополнительные задания
1. Решите систему уравнений
а)
б) в)
г) Решение. а) Выделив полные квадраты в первом уравнении, перепишем его в виде:
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 0. (1)
Теперь очевидно, что первое уравнение системы имеет единственное решение: x1 = 3, y1 = 1. Проверкой убеждаемся, что эта пара является решением второго уравнения, а значит, и решением системы уравнений.
б) Рассуждая аналогично, получим единственное решение системы (–2, 0,5).
в) Разложим левую часть первого уравнения системы на множители:
x2 – 7xy + 12y2 = x2 – 3xy – 4xy + 12y2 = x(x – 3y) – 4y(x– 3y) = (x – 3y)(x – 4y).
Перепишем данную систему в виде
(2)Теперь очевидно, что все решения системы (2) есть объединение всех решений двух систем:
1)
и 2) Система 1) имеет два решения: (3; 1), (–3; –1). Система 2) также имеет два решения: (12; 3), (–12; –3). Следовательно, исходная система имеет четыре решения: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3).
г) Перепишем исходную систему в виде:
(3)Очевидно, что первое уравнение системы (3) имеет единственное решение:
(3; –2). Проверка показывает, что оно является оно также и решением второго уравнения системы (3), следовательно, система (3), а значит, и исходная система имеют единственное решение (3; –2).
Ответ. а) (3; 1); б) (–2, 0,5); в) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); г) (3; –2).
2. Докажите утверждение: если f (x, y) и g (x, y) — многочлены относительно x и y, a и b — числа, b
0, то равносильны системы 1) и 2) Доказательство. 1. Пусть пара чисел (x0; y0) — решение системы 1), тогда верны числовые равенства: f (x0, y0) = a и g (x0, y0) = b. Так как b
0, то и g (x0, y0) 0, поэтому верно числовое равенство: . Это означает, что любое решение системы 1) является решением системы 2).2. Пусть теперь пара чисел (x0; y0) — решение системы 2), тогда верны числовые равенства:
и g (x0, y0) = b. Так как b 0, то и g
(x0, y0)
0, поэтому умножив обе части первого числового равенства на равные отличные от нуля числа g (x0, y0) и b, получим новое верное числовое равенство: f (x0, y0) = a. Это означает, что любое решение системы 2) является решением системы 1).3. Предположим, что система 1) не имеет решения, а система 2) имеет решение. Тогда из п. 2. доказательства, проведённого выше, следует, что система 1) имеет решение. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно. Значит, если система 1) не имеет решения, то и система 2) не имеет решения.
Аналогично доказывается, что если система 2) не имеет решения, то и система 1) не имеет решения.
Из приведённого выше доказательства следует, что системы 1) и 2) равносильны, что и требовалось доказать.
Приведём пример решения системы 518, жс помощью этого утверждения.
Решив последнюю систему, получим два её решения: (1; –2), (–1; 2), следовательно, исходная система имеет два решения: (1; –2), (–1; 2).
3. Решите систему уравнений:
а)
б) в) Решение. а) Исходная система равносильна системе
которую перепишем в виде:
(4)Система (4) имеет единственное решение (1; 2). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (1; 2).
б) Исходную систему перепишем в виде
Эта система равносильна системе:
(5)Система (5) имеет единственное решение (–1; –5). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (–1; –5).
в) Исходная система равносильна системе
или системе
(6)Система (6) имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; 2). Следовательно, и исходная система имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2).
Ответ. а) (1; 2); б) (–1; –5); в) два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2).
Промежуточный контроль. С-22, С-23, С–24*.