Файл: Министерство образования и науки российской федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования.pdf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ КИНЕМАТИКА Примеры решения задач по теоретической механике для самостоятельной работы студентов
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2015

КИНЕМАТИКА Примеры решения задач по теоретической механике для самостоятельной работы студентов
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2015

УДК 531 (075)
ББК я Т 338
Кинематика. Примеры решения задач по теоретической механике для самостоятельной работы студентов учебно-методическое пособие / сост В.Е. Головко, МВ. Максименко, ИВ. Клюшкин; СПбГТУРП.–СПб.,
2015. –67 с.
В настоящем учебно-методическом пособии кратко изложены основные теоретические положения, необходимые для решения задач. Приводятся примеры решения задач по разделу Кинематика теоретической механики. При рассмотрении решения каждой задачи указывается, как используется то или иное теоретическое положение. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 27.03.04 Управление в технических системах 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника 15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств 15.03.02. Технологические машины и оборудование. Рецензенты др техн. наук, профессор Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров В.С. Куров; др техн. наук, профессор Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров ГА. Кондрашкова. Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия.
©Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров, 2015

3 ВВЕДЕНИЕ Настоящее учебно-методическое пособие предназначено в помощь студентам при самостоятельном изучении раздела Кинематика курса теоретической механики. Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учѐта их массы и действующих на них сил. Основной задачей кинематики является определение всех кинематических величин, характеризующих движение как отдельной точки, таки тела в целом (траектории, скорости, ускорения и т.п.). Для решения этой задачи необходимо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано. Кинематически задать движение точки - это значит указать способ, позволяющий в любой момент времени определить положение этой точки относительно выбранной системы отсчѐта. В пособии кратко изложены основные теоретические положения кинематики. Затем приводятся примеры решения задач, при этом поясняется, какие теоретические положения используются при решении той или иной задачи.

4
1. ТРИ СПОСОБА ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
1) Естественный способ задания движения точки Если траектория точки известна, то, выбрав на ней начало отсчѐта О, положение точки М на траектории можно определить криволинейной координатой S. При движении точки по траектории криволинейная координата непрерывно изменяется, те. координата S является функцией времени (рис. 1). Рис . 1 Чтобы задать движение точки естественным способом, необходимо
1) задать траекторию точки
2) задать начало отсчѐта на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчѐта криволинейных координат
3) задать криволинейную координату S как функцию времени
S = S(t).
(1) Уравнение (1) является уравнением движения точки в естественной форме.
2) Координатный способ задания движения точки Положение точки М в системе отсчѐта OXYZ определяется тремя координатами x, y, z (рис. Рис. 2

5 При движении точки М еѐ координаты изменяются стечением времени. Поэтому, чтобы задать движение точки координатным способом, необходимо
1) задать систему отсчѐта;
2) задать координаты точки как функции времени x = x(t); y = y(t); z = z(t). (2) Уравнения (2) выражают движение точки в декартовых координатах. Движение точки М водной плоскости описывается двумя уравнениями, а прямолинейное движение - одним.
3) Векторный способ задания движения точки
Положение точки М в пространстве однозначно определяется заданием радиус-вектора
r
, проведѐнного изначала координат в точку М (рис. 3). Рис. 3 При движении точки М радиус-вектор
r
изменяется, то есть r - это вектор-функция времени. Чтобы задать движение точки векторным способом, необходимо
1) задать неподвижную точку в пространстве
2) задать радиус-вектор точки как векторную функцию времени
)
(t
r
r

(3) Уравнение (3) выражает уравнение движения точки в векторной форме.

6
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ
1) Определение скорости точки Скоростью точки называется вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данной системе отсчѐта, всегда направленный по касательной к траектории точки. При естественном способе задания движения точки алгебраическая величина скорости равна производной от криволинейной координаты точки повремени При V > 0 точка движется в сторону увеличения значений криволинейной координаты. При V < 0 точка движется в сторону уменьшения криволинейной координаты точки. При задании движения точки координатным способом проекции скорости точки на оси координат равны производным от соответствующих координат точки повремени Модуль и направление скорости определяются по формулам
2 2
2
x
y
z
V
V
V
V



; cos cos( , )
x
V
a
V i
V


; cos cos( , )
y
V
V j
V



; cos cos( , )
z
V
V k
V




7 При векторном способе задания движения точки вектор скорости точки в данный момент времени равен производной от радиус-вектора точки
r
повремени) Определение ускорения точки Ускорением точки называется вектор, характеризующий быстроту изменения скорости. Ускорение точки есть производная от скорости повремени. При естественном способе задания движения точки вектор ускорения имеет две составляющие
n
a
a
a




a - касательное ускорение, которое характеризует быстроту изменения скорости по величине, направлено по касательной к траектории.
2 Если
2 и
dt
dS
имеют одинаковые знаки, скорость и касательное ускорение направлены в одну сторону, точка совершает ускоренное движение. Если
2 2
dt
S
d
и
dt
dS
имеют разные знаки, скорость и касательное ускорение направлены в противоположные стороны, точка совершает замедленное движение.
n
a
– нормальное ускорение, характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению где

– радиус кривизны траектории в данной точке.

2
V
a
n

,

8 Нормальное ускорение всегда положительно и направлено к центру кривизны траектории. Учитывая, что касательное и нормальное ускорения перпендикулярны друг другу (рис. 4) , модуль полного ускорения можно вычислить
2 Рис. 4 При координатном способе задания движения точки проекции вектора ускорения на координатные оси определяются первыми производными повремени от соответствующих проекций скорости или вторыми производными повремени от соответствующих координат точки
x
x
x
dV
a
V
x
dt





;
y
y
y
dV
a
V
y
dt





; Модуль ускорения
2 2
2
z
y
x
a
a
a
a




9 Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами
a
a
i
a
a
x


)
,
cos(
cos
;
a
a
j
a
y


)
,
cos(
cos

; При векторном способе задания движения точки вектор ускорения в данный момент времени равен производной от вектора скорости точки повремени или второй производной от радиус-вектора точки
r
:
2 2
dt
r
d
dt
V
d
a


3. ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
При изучении кинематики твѐрдого тела сначала устанавливаются кинематические характеристики движения всего тела, а затем изучается движение его точек в отдельности. Различают пять видов движения твѐрдого тела
1) поступательное движение
2) вращательное движение вокруг неподвижной оси
3) плоское или плоскопараллельное движение
4) движение тела вокруг неподвижной точки (сферическое движение
5) общий случай движения. Поступательное и вращательное движение тела вокруг неподвижной оси – это простейшие движения. Остальные – это составные движения, состоящие из различных совокупностей простейших движений.
Поступательное движение твёрдого тела Поступательным называется такое движение твѐрдого тела, при котором любая прямая, проведѐнная в этом теле, перемещается параллельно своему первоначальному положению.

10
При поступательном движении скорости всех точек тела геометрически равны, ускорения всех точек геометрически равны, траектории всех точек тождественны и параллельны.
Свойства поступательного движения позволяют свести его изучение к изучению движения отдельной точки тела.
Вращение тела вокруг неподвижной оси
Вращательным называется такое движение твѐрдого тела, при котором все его точки, лежащие на одной прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными, остальные точки описывают окружности с центрами, находящимися на оси вращения, и с радиусами, равными по длине расстоянию от точки до оси вращения. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Для определения положения вращающегося тела зададимся направлением оси вращения Z и проведѐм через неѐ полуплоскости (рис. 5):
- неподвижную полуплоскость Н
- подвижную полуплоскость П, связанную с телом и вращающуюся вместе с ним. Рис. 5 Угол φ между полуплоскостями, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости Н к подвижной полуплоскости П, называется углом поворота тела. Угол поворота тела считается положительным, когда он отложен против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси вращения Z.

11 Угол поворота тела обычно измеряется в радианах. Часто угол поворота тела выражается через число оборотов N тела. Поскольку один оборот соответствует 2π радиан, то получается
φ = 2πN рад. При вращении тела угол поворота φ изменяется в зависимости от времени φ = φ(t), это уравнение – уравнение вращательного движения тела. Основными кинематическими характеристиками являются угловая скорость и угловое ускорение тела. Угловой скоростью называется вектор, характеризующий быстроту и направление вращения тела. Обозначается

, основная размерность
[ω] = рад/с =
c
1
= с
30 60 2
N
N





(с. Угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота тела повремени Знак угловой скорости определяет направление вращения тела. Если



dt
d
> 0, то тело вращается против хода часовой стрелки при взгляде с положительного направления оси Z, если



dt
d
< 0, то тело вращается походу часовой стрелки. Условно угловая скорость изображается вектором, направленным по оси вращения, так чтобы, смотря навстречу вектору, видеть, что тело вращается против хода часовой стрелки (рис. 6). Рис. 6

12 Угловым ускорением называется вектор, характеризующий изменение стечением времени угловой скорости тела. Обозначается

, основная размерность
[ε] = рад/с
2
=
2 1
c
= c
-2
: Угловое ускорение тела в данный момент времени численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела повремени. Знак углового ускорения даѐт возможность установить, является ли вращение тела в данный момент времени ускоренным или замедленным. Если знаки угловой скорости и углового ускорения одинаковы, тело вращается ускоренно, если различны – замедленно. Вектор углового ускорения, также, как и вектор угловой скорости, направлен вдоль оси вращения. При ускоренном вращении направление

и

совпадают, при замедленном – противоположны (рис. 7). Рис. 7 Скорость точки вращающегося тела называется вращательной или линейной скоростью этой точки. Скорость точки вращающегося тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние этой точки от оси вращения (радиус вращения
V = ω R.

13 Вектор V направленпо касательной к траектории точки в сторону вращения тела
V
r

 
Вращательная скорость точки вращающегося тела равна векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор этой точки, проведѐнный из любой точки оси вращения (риса) б)
Рис. 8 Ускорение точки М вращающегося тела определяется по его составляющим касательному ускорению, которое в этом случае называется вращательными обозначается
, и нормальному ускорению, которое в этом случае называется центростремительными обозначается рис. Рис. 9

14 Величина вращательного ускорения точки равна произведению углового ускорения точки на расстояние от оси вращения до этой точки (на радиус вращения Вращательное ускорение направлено перпендикулярно к радиусу вращения. В случае ускоренного вращения вращательное ускорение совпадает с направлением вращательной скорости и противоположно ему в случае замедленного вращения тела. Модуль центростремительного ускорения тела равен произведению квадрата угловой скорости тела на радиус вращения тела Направлено центростремительное ускорение всегда к центру окружности, описываемой точкой. Модуль полного ускорения определяется по формуле
4 Направление полного ускорения точки
a

определяется углом между
a

и
(радиусом окружности, описываемой точкой
Плоскопараллельное движение твёрдого тела Плоским или плоскопараллельным называется такое движение твѐрдого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. При таком движении все точки тела, лежащие на прямой, перпендикулярной к этой неподвижной плоскости, имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения. Следовательно, при изучении плоскопараллельного движения твердого тела достаточно исследовать движение плоской фигуры, которая является сечением этого тела плоскостью, параллельной неподвижной. Если принять любую точку тела Аза полюс, то плоское движение складывается из поступательного движения тела вместе с полюсом Аи вращательного движения вокруг этого полюса. В системе координат, жестко связанной с плоской фигурой, уравнения плоского движения имеют вид А = А А А φ = φ(t)