Файл: Министерство образования и науки российской федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 43
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
15 Здесь поступательное движение полюса определяется первыми двумя уравнениями, вращательное движение вокруг этого полюса – третьим уравнением. Скорость любой точки тела М при плоском движении равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса А Вращательная скорость направлена перпендикулярно к отрезку в сторону вращения тела и по модулю равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки от полюса. Модуль и направление вращательной скорости определяются формулами и изображаются графически (рис. 10): Рис. 10 Вращательную скорость можно представить в виде векторного произведения вектора угловой скорости
тела на радиус-вектор точки М, проведѐнной из полюса А Скорость точки М при плоском движении тела изображается диагональю параллелограмма, построенного при точке М на скорости полюса А, перенесѐнного в точку Ми вращательной скорости точки М вокруг полюса А.
16 При плоском движении проекции скоростей двух точек тела напрямую, соединяющую эти точки, алгебраически равны (рис. 11). Рис. 11
Мгновенный центр скоростей Если движение плоской фигуры в данный момент времени не является поступательным (угловая скорость, тов этот момент времени существует единственная точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю. Скорости остальных точек находят, как при вращении фигуры вокруг точки Р. Точка Р называется мгновенным центром скоростей (МЦС).
МЦС находится на перпендикуляре к вектору скорости полюса на расстоянии от полюса
. Направление перпендикуляра находим поворотом вектора на 90° в сторону вращения тела вокруг полюса. Скорость любой точки М плоской фигуры по модулю равна произведению угловой скорости на расстояние этой точки от МЦС и направлена перпендикулярно к отрезку, соединяющему точку с МЦС, в сторону вращения тела
17 Модули скоростей точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям этих точек до МЦС (рис. 12). Рис. 12 Определение положения мгновенного центра скоростей
1. Плоское движение осуществляется путѐм качения без скольжения выпуклой плоской фигуры по неподвижной выпуклой прямой. В этом случае МЦС находится в точке Р соприкосновения плоских кривых. В точке касания точки кривых должны иметь одинаковые скорости. Так как одна из плоских кривых неподвижна, то точка соприкосновения есть
МЦС (рис. 13). Рис. 13
18 2. Известны направления скоростей точек Аи В плоской фигуры. В этом случае МЦС находится в точке Р пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек Аи В к направлениям этих скоростей (рис. 14). Рис . 14 3. Векторы скоростей двух точек Аи В фигуры параллельны между собой и перпендикулярны отрезку АВ. Случай, когда вектор
AB
не перпендикулярен
A
V
(или
B
V
), невозможен, так как тогда не будут равны проекции
A
V
и
B
V
напрямую, проходящую через точки Аи В. В этом случае
МЦС находится в точке Р пересечения отрезка АВ или его продолжения с прямой, проходящей через концы векторов
A
V
ирис Рис. 15
19 4. Скорости двух точек Аи В плоской фигуры параллельны между собой, равны по модулю и направлены в одну сторону. В этом случае тело совершает поступательное движение, и МЦС находится в бесконечности (рис. 16). Рис. 16 Ускорение точек плоской фигуры Ускорение любой точки плоской фигуры определяется геометрической суммой ускорения полюса и ускорения во вращательном движении точки вокруг этого полюса
B
a
=
A
a
+
BA
a
, где
A
a
– ускорение полюса
BA
a
– ускорение во вращательном движении точки В вокруг полюса А. Ускорение во вращательном движении, в свою очередь, складывается из двух составляющих центростремительного и вращательного Величины центростремительного и вращательного ускорений определяются Таким образом, ускорение точки плоской фигуры определяется из выражения
20 Мгновенный центр ускорений В любой момент времени непоступательного движения плоской фигуры существует единственная точка, ускорение которой в этот момент равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений Q (МЦУ). Для определения МЦУ звена АВ необходимо знать ускорение одной из точек, например А, угловую скорость
и угловое ускорение
этого звена. Расстояние от точки А до МЦУ, точки Q, равно
4 Угол β, который составляет вектор ускорения точки Ас прямой AQ, определяется из выражений
2
tg
; Угол β откладывается от ускорения точки А в сторону углового ускорения ε, и проводится прямая, на которой откладывается расстояние AQ. Для определения ускорения точки В следует соединить точки В и Q и от этой прямой отложить угол таким образом, чтобы ускорения точек Аи В были направлены относительно мгновенного центра ускорений в сторону углового ускорения ε. Модуль ускорения точки В определяется по формулам
4 2
BQ
a
B
;
BQ
AQ
BQ
AQ
a
a
B
A
4 2
4 2
,
21 те. модули ускорений точек звена, совершающего плоское движение, пропорциональны расстояниям этих точек до МЦУ.
Для определения ускорения любой точки С звена АВ надо соединить точки Сии от этой прямой отложить угол β в сторону, противоположную направлению ε (рис. 17): Рис. 17 Модуль ускорения любой точки можно определить
Сложное движение точки твёрдого тела Сложным называется такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или более движениях (рис. 18): Рис. 18
CQ
a
BQ
a
AQ
a
C
B
A
22 Рассмотрим движущееся тело Аи точку Мне принадлежащую этому телу и совершающую по отношению к нему некоторое движение. Через произвольную точку О движущегося тела А проведѐм оси координат X, Y, Z, связанные с этим телом. Систему осей X, Y, Z, называют подвижной системой отсчѐта. Неподвижные оси координат X
1
,Y
1
, Z
1
жестко связаны с землѐй. Систему осей X
1
, Y
1
, Z
1 называют неподвижной системой отсчѐта. Движение точки М относительно подвижной системы отсчѐта называют относительным. Скорость и ускорение точки в относительном движении называются относительной скоростью и относительным ускорением и обозначаются и от латинского relativus - относительный. Движение подвижной системы отсчѐта X, Y, Z и связанного с ней тела А по отношению к неподвижной системе отсчѐта X
1
, Y
1
, Z
1 является для точки М переносным движением. Скорость и ускорение точки тела А, связанного с подвижной системой отсчѐта, совпадающей в данный момент времени с движущейся точкой М, называются переносной скоростью и переносным ускорением точки Ми обозначаются
e
V
и от французского enterainer – увлекать за собой. Задачи на сложение движений и определение траекторий делятся на два типа известны относительное и переносное движения точки требуется определить уравнения абсолютного движения и абсолютную траекторию точки известны абсолютное и переносное движения точки требуется определить уравнение относительного движения и относительную траекторию точки.
Первая задача сводится к сложению составляющих движения точки. Вторая заключается в разложении известного абсолютного движения на заданное переносное и подлежащее определению относительное. Абсолютная скорость точки при сложном движении равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей этой точки Модуль абсолютной скорости определяется по формуле Абсолютное ускорение точки при сложном движении определяется на основании теоремы Кориолиса.
e
r
V
V
V
23 При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение при сложном движении точки равно геометрической сумме относительного
r
a
, переносного и Кориолисова ускорений
a
=
r
a
+
e
a
+ В случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение при сложном движении точки равно геометрической сумме относительного
r
a
и переносного ускорений точки
a
=
r
a
+ В общем случае при переносном вращательном движении абсолютное ускорение можно представить в виде или Относительное ускорение
r
a
характеризует изменение относительной скорости
r
V
в относительном движении точки и вычисляется общими методами кинематики точки
rn
r
r
a
a
a
или Переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости в переносном движении точки и вычисляется методами кинематики твѐрдого тела
Кориолисовым ускорением называется составляющая абсолютного ускорения точки в сложном движении, равная удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного вращения на вектор относительной скорости
)
(
2
r
e
C
V
a
Кориолисово ускорение существует только при сложном движении и только в случае, когда переносное движение не поступательно.
24
Кориолисово ускорение появляется в результате а) изменения модуля и направления переносной скорости точки вследствие еѐ относительного движения б) изменения направления относительной скорости точки вследствие вращательного переносного движения. Модуль Кориолисова ускорения определяется как модуль векторного произведения (рис. 19): Рис. 19
Кориолисово ускорение обращается в ноль а) если ω
e
= 0, отсутствует вращение, те. в случае поступательного переносного движения или в моменты, когда угловая скорость непоступательного переносного движения обращается в ноль б) если V
r
= 0, те. в случае относительного покоя точки, или в моменты, когда еѐ относительная скорость обращается в ноль в) если те. когда относительная скорость
V
r точки параллельна оси переносного вращения Направление Кориолисова ускорения определяется как направление векторного произведения.
25 Вектор Кориолисова ускорения
C
a
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы ив ту сторону, откуда вращение векторов
e
и
r
V
видно происходящим против хода часовой стрелки. Для определения направления Кориолисова ускорения удобно пользоваться правилом профессора Жуковского (рис. 20): Рис. 20 Для определения направления Кориолисова ускорения необходимо спроектировать вектор относительной скорости
r
V
точки на плоскость, перпендикулярную коси переносного вращения, и повернуть эту проекцию в этой же плоскости на 90° в сторону вращения.
26 ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ Задача № 1 Поданным уравнениям движения точки найти уравнения еѐ траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения.
1) x=3t – 5, y=4 – 2t. Решение
Для получения уравнения движения точки из заданных уравнений исключаем время t. x=3t-5
2 ; 2x=6t-10 y=4-2t
3; 3y=4-6t
2x + 3y – 2=0 – уравнение прямой линии.
Для построения прямой линии достаточно двух точек при x=0; y=
3 2
; при y=0; x=1.
Для определения направления движения вначале определяется точка начала движения при
0
t
0
:
5
X
0
,
4
Y
0
, а затем - точка при любом значении t > 0
(рис. 21).
6 5
4 3
2 1
6 6
6 5
5 5
4 4
4 3
3 3
2 2
2 1
1 Направление движения. 21 Ответ полупрямая 2x + 3y – 2 = 0 c началом в точке x = – 5, y = 4.
27
2) x=2t, y=8t
2
. Для получения уравнения траектории исключаем время t из заданных уравнений
2
x
t
;
2 2
8 2
2
x
y
x
;
2 2
y
x
– уравнение квадратной параболы.
Для построения траектории точки определяем координаты точек параболы в различные моменты времени (табл. 1).
Таблица 1 x
-2
-1 0
1 2 y
8 2
0 2
8 Движение начинается из точки начала координат и происходит по правой ветви параболы (рис. 22).
1 1
1 2
3 4
2 3
3 2
4 4
5 6
7 Направление дв иж ен ия
X
Y
Рис .22 Ответ правая ветвь параболы y = 2x
2
с начальной точкой x = 0, y = 0.
3) x = 2 – 3cos5t; y = 4sin5t – 1.
Для получения уравнения траектории исключаем время t изданных уравнений cos5t =
2 3
x
; sin5t =
1 4
y
28 Эти два уравнения возводим в квадрат и складываем
2 2
2 2
cos 5 3
x
t
;
2 2
2 1
sin 5 4
y
t
;
2 2
sin 5
cos 5 1
t
t
1
2 2
2 2
4 1
y
3 2
x
- уравнение эллипса (рис. 23).
Начало движения при
0
t
0
,
0 1
x
; y
0
= – 1. Рис. 23 Ответ эллипс
1
2 2
x 2
y 1 9
16
с начальной точкой x = –1, y = –1. Задача № 2
Движение точки задано уравнениями :
3
x = 3t, y Определить в моменты времени
1
t
1 c и
2
t
2 c скорость точки, ускорение точки, касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны траектории. Определить и построить траекторию точки. Решение
Для определения уравнения точки исключаем параметр t из уравнений движения
3
x
t
. Подставляем это значение в уравнение координаты y:
9
y
x
– уравнение гиперболы.
29 Точка движется по ветви гиперболы, расположенной в верхнем правом квадрате, так как при подстановке времени t > 0
в уравнения движения обе координаты принимают положительное значение. Движение точки происходит сверху вниз. Траекторию строим по координатам (табл. 2)
Таблица 2 Время t,c
0 3
1 2
1 1
2 3 см
0 1
1,5 3
6 9 см
9 6
3 1,5 1
0
X
Y
3 6
9 3
6 Направление движения
2
С
1
С
x1
V
x2
V
n1
a Рис. 24 Определяем скорость точки по еѐ проекциям на координатные оси (рис. 24): мс
;
2 мс Проекции скорости и их значения для точек в заданный момент времени при
1 1
t
c
;
1 мс
1 2
3 мс
;
30
2 2
2 2
1 1
1 3
-3 4, 2
x
y
см
V
V
V
с
при
2 2
t
c
;
2 3
x
см
V
с
;
2 2
3 3
2 мс
;
2 2
2 2
2 2
2 3
3 3,1 4
x
y
см
V
V
V
с
Определяем проекции ускорения точки на координатные оси Проекции ускорения и их значения для точек в заданный момент времени При
1 1
t
c
:
1 0
x
a
;
1 3
2 6
6 мс
;
1 1
2 6
y
см
a
a
с
При
2 2
t
c
:
2 0
x
a
;
2 3
2 6
3 2
4
y
см
a
с
;
2 2
2 мс
Для определения касательного и нормального ускорений переходим к естественному способу задания движения точки.
Касательное ускорение
2 2
2 2
2 2
2 2
2
x
x
y
y
x
y
V a
V При
1 1
t
c
;
1 2
3 0 3 6 18 4, 2 4, 2 4, мс
;
2 2
3 0 0, 75 0, 75 0,18 3,1
см
a
с
Нормальные ускорения
2 При
1c t
1
;
2 2
2 2
1 1
1 2
6 4, 2 4, 2
n
см
a
a
a
с
При
2c t
2
;
2 2
2 2
2 2
2 2
0, 75 0,18 0, мс Определяем радиус кривизны траектории в заданные моменты времени
2
n
a
a
; Прим При
2 2
t
c
;
2 2
2 2
2 3,1 13,5 0, 71
n
V
см
a
Все результаты решения показаны на чертеже. Ответ при
1 1
t
c
:
1 4, 2
,
см
V
с
1 2
6
,
см
a
с
1 2
4, мс
1 2
4, 2
,
n
см
a
с
1 4, 2
;
cм
при
2 2
t
c
:
2 3,1
,
см
V
с
2 мс
2 2
0,18
,
см
a
с
2 2
0, мс
2 13,5
см
Задача № 3
В соответствии с заданными уравнениями движения определить траекторию движения точки M , а для момента времени - положение точки на траектории, найти ее скорость, полное, нормальное и тангенциальное ускорение, а также радиус кривизны. Дано Найти траекторию, Решение
Для определения траектории движения точки, определим зависимость ее координаты x от ее координаты y: Подставим значение
, полученное из уравнения координаты , в уравнение координаты : Полученное уравнение является уравнением траектории движения точки. На рис. 25 представлен график полученной функции,
32 который является изображением полной траектории движения точки. Найдем координаты точки в момент времени , подставляя его в уравнения координат
: Уравнения скоростей находятся как производные от координат соответственно. Для удобства обозначим такие производные как и . Для нахождения полной скорости сложим по теореме Пифагора Найдем значения для момента времени : Рис. 25
33 На рис. 26 представлено положение точки M в момент времени t, a также - построение векторов скоростей и ускорений в соответствии с условиями данной задачи. Рис. 26 Уравнения ускорений находятся как производные и или же как и
. Для удобства обозначим такие производные, как
34 Найдем полное ускорение, сложив по теореме Пифагора Найдем значения для момента времени
: Отрицательное значение скорости и ускорения указывает на то, что их векторы будут сонаправлены. Положительное значение скорости и ускорения указывает на то, что их векторы будут сонаправлены. Положительное значение скорости и ускорения указывает на то, что их векторы будут сонаправлены. Полное ускорение содержит в себе две составляющие тангенциальное ускорение и нормальное ускорение Сначала найдем :
35 Подставим в выражение значение Зная
, найдем которое будет определяться из корня разности Зная и
, по формуле найдем радиус кривизны R: Ответ,
,
,
,
,
,
,
,
.
36 ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ Задача № 1 Точка А шкива, лежащая на его ободе, движется со скоростью 50
см
с
, а некоторая точка В, взятая на одном радиусе сточкой А, движется со скоростью 10
см
с
; расстояние АВ=20 см (рис. 27). Определить угловую скорость
и диаметр шкива. Рис. 27 1. Определяем диаметр диска, воспользовавшись прямо пропорциональной зависимостью скоростей точек шкива оси и их расстояния до оси вращения
;
2
d
OA
20;
2
d
OB
А 2
;
10 20 А 2,5d – 100 = 0,5d; d=50 м.
2. Определим угловую скорость шкива
2 50 2
50 2
A
V
рад
d
с
Ответ
= 2 рад/с, d = 50 см.
37 Задача № 2 Угол наклона полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу равен
0 рис. 28). Касательное ускорение ее в данный момент
2 10 3
м
a
с
Найти: нормальное ускорение точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии r = м. Радиус махового колесам Рис. 28 Решение
2
,
n
tg
a a
1. Определяем нормальное ускорение точки А
2 3
10 3 10 мс
2. Определяем нормальное ускорение точки B:
2 10 5
2 мс Ответ
2 мс
38 Задача № 3 Вал радиуса R=10 см приводится во вращение гирей P, привешенной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением
2 100t x
, где x – расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выраженное в сантиметрах, t – время в секундах (рис. 29). Определить угловую скорость
и угловое ускорение ε вала, а также полное ускорение точки на поверхности вала в момент времени t. Рис. 29 Решение
1. Определяем уравнение вращения вала
2 2
x
100t
10t
R
10
(рад.
2. Определяем угловую скорость и угловое ускорение вращающегося вала
20
d
t
dt
рад
с
;
20
2
рад
с
Угловая скорость и угловое ускорение направлены в сторону возрастания угла
39 3. Определяем скорость точки М на ободе вала
20 10 200
M
V
R
t
t
мс 4. Определяем ускорение точки М на ободе вала
20 10 200
вр
a
R
2
cм
с
;
2 2
2 20 10 4000
ц
a
R
t
t
2
cм
с
;
2 2
2 2
2 2
200 4000 200 1 400
вр
ц
a
a
a
t
t
2
cм
с
Ответ: ω = 20t рад/с, ε = 20 рад/с
2
,
2 200 1 400
a
t
2
cм
с
Задача № 4 Найти траекторию точки М шатуна кривошипно-ползунного механизма, если r = L = см,
1 3
MB
L
,
4 t
(t- в секундах, а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда рис. 30). Рис. 30 Решение
1. Задаѐм движение точки координатным способом
2 2
cos
60 60 cos 4 100 cos 4 3
3
x
r
L
t
t
;
1 1
sin
60sin 4 20sin 4 3
3
y
L
t
t
40 2. Для определения уравнения траектории точки исключим параметр t из уравнений движения cos 4
;
100
x
t
sin 4 Возводим в квадрат обе части уравнений и складываем
2 2
2 2
1.
100 Получаем центральный эллипс с полуосями 100 см и 20 см.
3. Определяем скорость точки по еѐ проекциям на координатные оси
100 4 sin 4 400 sin 4
X
V
x
t
t
,
20 4 cos 4 80 cos 4
Y
V
y
t
t
При
0
время t = 0. Проекции скорости принимают вид
0 0
x
см
V
с
;
0 80
y
см
V
с
Скорость точки при
0 0
t
:
2 2
2 0
0 0
0 80 80
x
y
см
V
V
V
с
4. Определяем ускорение точки по ее проекциям на координатные оси
2 400 4 cos 4 1600
cos 4
X
X
a
V
x
t
t
;
2 80 4 sin 4 320
sin 4
y
y
a
V
y
t
t
В момент времени
0 0
t
проекции ускорения на координатные оси принимают вид
2 0
2 1600
;
X
см
a
с
0 2
0
Y
см
a
с
Ускорение точки при
0 0
t
:
2 2
2 2
2 2
0 0
0 2
1600 0
1600
X
y
см
a
a
a
с
5. Определяем радиус кривизны траектории точки в начальный момент времени
0 0
t
:
2
n
V
a
; отсюда При
0 0
t
:
0 0
0 0
X
X
yo
yo
V
a
V
a
a
V
;
41 2
2 0
0 Радиус кривизны траектории в начальный момент времени
0 0
t
:
2 2
0 0
2 0
80 см. Определяем начальное положение точки М при
0
t
0
:
0 см
0 На чертеже показываются проекции скорости и ускорения точки при
0 Ответ Эллипс
2 2
2 2
1,
100 20
x
y
0 80
,
см
V
с
2 0
2 1600
,
см
a
с
0 4
см
1 2 3
Задача № 5
Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям x=300t, y=400t-
2 5t
(t – в секундах, x,y в метрах. Найти
1) скорость и ускорение в начальный момент
2) высоту и дальность обстрела
3) радиус кривизны траектории в начальной и наивысшей точках
4) уравнение траектории. Решение
Определяем уравнение траектории движения снаряда, исключая из заданных уравнений параметр t - время (рис. 31):
300
x
t
;
2 2
400 5
300 300
x
x
y
;
2 2
4 5
3 300
y
x
x
– уравнение параболы.
Определяем координаты точек параболы в различные моменты времени (табл. 3):
Таблица 3 t
0 1
2 3
80 x
0 300 600 900 2400 y
0 395 780 1155 0
42 Рис. 31 Определяем скорость снаряда по проекциям на оси координат
300
X
dx
см
V
dt
с
;
400 мс
В начальный момент времени
0 0
t
:
0 мс
;
0 мс
2 2
2 2
0 0
0 300 400 мс
Ускорение точки также определяем по проекциям на оси координат
2 2
0
X
d x
a
dt
;
2 2
2 10
y
d мс
2 2
0 мс Дальность полѐта определяем из конечных условий x=L; y=0, которые подставляем в уравнение траектории
2 2
4 5
0 3
300
L
L
, отсюда
2 4
300 4
2.4 10 24 5 мкм Так как вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории, то высоту траектории h определяем из условия, что в наивысшей точке скорость направлена горизонтально
X
V
V
;
0
y
V
y
43
Приравнивая
y
V
к нулю, получаем
1 40
t
c
- время достижения снарядом наивысшей точки траектории. В этот момент времени высота
2 1
( )
400 40 5 40 8000 8
h
y мкм Определяем касательное ускорение точки
,
dv
xx
yy
yy
a
dt
V
V
так как Таким образом
2 2
400 10 ( 10)
300 400 Нормальное ускорение точки определяется из зависимости
2 2
n
a
a
a
, откуда
2 2
2 2
2 2
2 2
2 400 10 10 3000 10 300 400 10 300 400 В начальный момент времени
0 0
t
:
0 2
3000 мс В момент времени c
40
t
1
:
1 2
3000 10 300
n
м
a
с
Радиус кривизны траектории определяется из формулы для нормального ускорения
2
n
V
a
; откуда В момент времени
0 0
t
:
2 2
4 0
0 1
500 4,167 10 41, 67 6
n
V
м
км
a
При
1 40
t
t
c
(в наивысшей точке траектории
2 2
3 1
1 1
300 9 10 мкм Ответ
0 мс
0 мс км км
0 км
1 км
44 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ Задача № 1 Зубчатая передача приводится в движение грузом 1, подвешенным к колесу 2. На одной оси с колесом 2 укреплено колесо 3, которое сцепляется с колесом 4 (рис. 32). Определить скорость и ускорение точки М на ободе колеса 4 в момент времени с. Груз движется по закону
2 5
10
x
t
t см
Радиусы колѐс соответственно
2 см,
3 см,
4 см Рис. 32 Решение Скорость и ускорение груза 1 будут совпадать со скоростью и вращательным ускорением точки К на ободе колеса 2, с которого сходит нить, к которой подвешен груз Так как колѐса 2 и 3 имеют одну ось вращения, то угловая скорость и угловое ускорение у них одинаковые
-1 2 3 2
10 10 с
45 Точка N – точка соприкосновения колѐс 3 и 4. Скорость этой точки и вращательное ускорение для колеси будут одинаковые
2 3 3
4 4
;
N
V
r
r
отсюда
1 2 3 3
4 4
1 6 1 3
;
8 4
t
t
r
c
r
2 2 3 3
4 4
1 6 3
8 Скорость точки M:
4 4
1 3 8
6 6
;
4
M
t
см
V
r
t
с
в момент t=1c:
1 6 6 мс Ускорение точки М в момент t=1c:
2 2
2 2
2 6
18 18.97
вр
ц
M
М
M
см
a
a
a
с
Ответ: мс
2 18.97
M
см
a
с
46 ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Задача № 1
Найти скорость ползуна В нецентрального кривошипного механизма при двух горизонтальных и двух вертикальных положениях кривошипа, вращающегося вокруг вала Ос угловой скоростью если ОА = 40 см, АВ = 200 см, ОС = 20 см (рис. 33).
А
В
h
C
O
Рис. 33 Решение
1. Горизонтальные положения кривошипа ОА (рис. 34). Рис. 34
47
МЦС (точка Р) находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных из точки Аи из точки В к их скоростям. Точка А совершает вращательное движение вместе с кривошипом, значит, ее скорость направлена перпендикулярно к радиусу вращения ОА. Ползун В движется поступательно горизонтально, его скорость также направлена горизонтально.
Скорости точек Аи В равны произведению угловой скорости
АВ
на расстояние от этих точек до МЦС. Направление угловой скорости
АВ
определяется направлением
A
V
Скорость точки А
A
АВ
V
ОА
АР
Отсюда
1 2
2 2
2 1.5 40 60 60 0.3015 199 39600 200 20
АВ
ОА
ОА
c
АР
АВ
BP
Скорость точки В 20 6.03
B
AB
AB
см
V
BP
h
с
2. Вертикальные положения кривошипа ОА (рис. 35). Рис. 35 При вертикальных положениях кривошипа ОА МЦС находится в бесконечности, поэтому
1.5 40 60
B
A
см
V
V
OA
с
Ответ
6.03
,
B
см
V
с
60
B
см
V
с
48 Задача № 2
Поршень D гидравлического пресса приводится в движение посредством шарнирно-рычажного механизма OABD. В положении, указанном на рис. 36, рычаг OL имеет угловую скорость Определить скорость поршня D и угловую скорость звена AB, если
OA=15 см. Рис. 36 Решение
Шарнирно-рычажный механизм совершает плоскопараллельное движение. МЦС звена AB (точка Р) совпадает сточкой О. Скорость точки А
A
AB
V
OA
AP
;
1 2
AB
OA
OA
AP
OA
c
Поршень BD вместе со штоком совершает поступательное движение
0 15 2 2
20 3 34, 6
cos 30 3
D
B
AB
AB
OA
см
V
V
BP
с
Ответ:
34, 6
,
D
см
V
с
1 2
AB
c
49 Задача № 3 Колесо, имеющее точки A, B, C, D и E, катится без скольжения по некоторой прямой поверхности (рис. 37). Скорость точки E
, радиус колесам, ускорение точки E Найти Рис. 37 Решение Введем прямоугольную систему координат с осями Ox и Oy. Так как колесо движется без скольжения, то из этого следует, что в любой момент времени движения колеса всегда будет существовать некоторая точка, скорость которой относительно земли будет равна нулю. Такая точка называется мгновенным центром скоростей. Пусть этой точкой в рамках данной задачи является точка A(P), которая в момент времени, изображенный на рисунке, является общей точкой колеса и поверхности земли. Относительно этой точки в данный момент времени колесо будет совершать вращение. Все точки данной окружности будут двигаться по циклоиде. Циклоидой называют кривую линию, представляющую собой траекторию движения точки А при перекатывании окружности. Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АА, отмечают промежуточное положение точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра О, получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные точки, получают циклоиду (рис. 38). Рис. 38
50
Имея мгновенный центр скоростей в точке A(P), покажем векторы скоростей всех точек колеса. Для этого соединим поочередно точку A(P) с точками B, C, D и E отрезками. Скорость любой точки колеса в каждый момент времени будет иметь модуль, равный произведению угловой скорости на длину отрезка, соединяющего точку с мгновенным центром скоростей, и направлена перпендикулярно к этому отрезку в сторону вращения колеса. Так как точка E является центром окружности колеса, то она будет двигаться поступательно, и ее ускорение будет складываться только из тангенциального ускорения, которое будет сонаправлено с вектором скорости, анормальное ускорение будет равно нулю.
Так как данное движение колеса является плоскопараллельным, то относительно проведенных нами перпендикуляров и векторов скоростей будет справедливо следующее равенство Отсюда следует Пользуясь первым равенством, найдем скорость : Скорость будет направлена перпендикулярно BP. Ускорение точки B будет складываться из
,
: Найдем
: Так как угловое ускорение
, тогда Ускорение положительно, значит, направлено в туже сторону, что и угловая скорость. Тангенциальное ускорение
. Оно будет направлено перпендикулярно нормальному ускорению спроектируем на оси Ox и Oy:
Ox:
;
51
Oy: Ускорение точки B получаем, складывая полученные проекции квадратично: Аналогично находим ускорение точки Си точки D
, а также и Ответ
, Задача № 4
Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью вокруг оси О неподвижного колеса радиусам, приводит в движение насаженную на его конец А шестерѐнку (рис. 39) радиуса
1 5
r
см
Определить: величину и направление скоростей точек А, ВСЕ подвижной шестерѐнки, если Рис. 39 Решение Определяем скорость точки А как точки, принадлежащей вращающемуся кривошипу ОА: Скорость точки А направлена по перпендикуляру к кривошипу ОА и согласована с направлением угловой скорости
0
52 Определяем угловую скорость подвижной шестерѐнки 1, которая катится без скольжения по неподвижной шестерѐнке 2.
Шестерѐнка 1 совершает плоское движение. МЦС находится в точке касания с неподвижной шестерѐнкой. Угловая скорость направлена почасовой стрелке. Определяем скорости точек C, D, E: Скорости точек СЕ направлены по перпендикулярам, соединяющим эти точки с МЦС, совпадающем сточкой В. Ответ Задача № 5
Кривошип ОА длиной 20 см вращается равномерно со скоростью и приводит во вращение шатун АВ длиной 100 см ползун В движется по вертикали (рис. 40). Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также ускорение ползуна В в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью углы
0 45
и
0 45
53 Рис. 40 Решение
1. Определяем скорость точки А направлена по перпендикуляру к ОА и согласована с направлением
0
2. Определяем скорость точки В. Шатун АВ совершает плоское движение. МЦС находится на пересечении перпендикуляров к скоростям точек Аи В.
Угловая скорость звена АВ:
АВ
направлена почасовой стрелке
B
V
направлена по направляющей вверх.
3. Определяем ускорение точки А
54 направлено коси вращения звена АО так как
,
0 0
0
d
dt
, Определение ускорения точки В Принимаем за полюс точку Аи пользуясь теоремой об ускорениях плоской фигуры запишем
Центростремительное ускорение во вращательном движении точки вокруг полюса А
Вращательное ускорение Чтобы найти
AB
, воспользуемся графическим построением
- отложим из точки В ускорение полюса А
A
a
;
- из конца вектора отложим в направлении оси от точки В к полюсу А
- из конца проведѐм направление до пересечения с направлением
В
а
;
- а направлено по вертикали
- перпендикулярно Спроектируем векторное равенство на две взаимно перпендикулярные оси X и Y. На ось X: Отсюда
55 Угловое ускорение
AB
: Угловое ускорение направлено в такую сторону, в которую вектор
, помещѐнный в точку В, стремится повернуть плоскость относительно полюса А, то есть почасовой стрелке. На ось Y: Отсюда
5
. Определяем скорость точки В, пользуясь теоремой о скоростях точек плоской фигуры
B
A
BA
V
V
V
BA
V
- вращательная скорость точки В при вращении вокруг полюса А. А направлена перпендикулярно радиусу вращения АВ. Построим графически
- отложим из точки В скорость полюса
A
V
;
- из конца вектора
A
V
проведѐм направление
AB
V
до пересечения с направлением Спроектируем векторное равенство на две взаимно перпендикулярные оси X ирис. На ось X:
0
cos 45
cos 45 .
o
o
A
BA
V
V
Отсюда Угловая скорость
AB
:
56 Рис. 41 На ось Y:
6. Определяем ускорение точки В, пользуясь мгновенным центром ускорений
2 2
В
а
QB
; Тангенс угла между отрезком AQ, соединяющим точку Ас мгновенным центром ускорений
2 2
16 4;
2
AB
AB
tg
75, 96 .
o
Угол
откладывается от оси ускорения точки А почасовой стрелке, то есть также, как угловое ускорение
AB
57
Расстояние точки А до мгновенного центра ускорений AQ: Для определения расстояния точки В до мгновенного центра ускорений рассмотрим треугольник В
90 90 75,96 14, 04 .
o
o
o
QAB
По теореме косинусов
Ускорение точки В определяется из соотношения
A
B
a
a
AQ
BQ
, откуда
Для определения направления а откладываем угол
оси отрезка QB в направлении, противоположном направлению
AB
, то есть против хода часовой стрелки. Ответ
58 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ Задача № 1
Кривошип ОА = r, вращается в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки О согласно уравнению φ = kt. Ползун А при этом перемещается в наклонной кулисе В, которая может передвигаться поступательно вдоль оси О. Угол наклона кулисы коси равен α (рис. 42)
Составить уравнения абсолютного и относительного движения точки А, а также найти абсолютную, относительную и переносную скорости точки. Рис. 42 Решение Первый способ Абсолютное движение ползуна А – вращение вокруг неподвижного центра О. Относительное движение – прямолинейное движение ползуна вдоль кулисы, определяемое переменным расстоянием О
1
А = η. Переносное движение – поступательное перемещение точки А вместе с кулисой. Уравнения абсолютного движения точки А имеют вид cos
,
sin
x
r
kt С другой стороны, обозначая расстояние ОО
1
= х e
, получим cos ,
sin Решая совместно уравнения, после несложных преобразований находим sin
,
sin
kt
r
cos sin( )
e
x
r
kt
r
kt ctg
59 Определим абсолютную скорость точки А. Проекции скорости sin
,
cos
,
x
y
V
x
rk
kt V
y
rk
kt
модуль абсолютной скорости
2 а направляющие косинусы имеют вид Проекция относительной скорости точки А на направление О
1
А равна производной от относительной координаты повремени так как относительное движение является прямолинейным. Проекция переносной скорости точки А на ось х sin cos( )
,
ex
e
V
x
rk
kt
rk
kt ctg
так как переносное движение является поступательными, следовательно, скорости всех точек кулисы одинаковы. Второй способ Находим величину угловой скорости кривошипа ОА:
k
Величина абсолютной скорости точки А как конца кривошипа, вращающегося вокруг неподвижного центра О, Направлена эта скорость перпендикулярно к кривошипу. Относительная скорость точки А направлена вдоль прямой О
1
А. Переносная скорость точки А параллельна оси Ох. Строим параллелограмм скоростей (рис. 43). Откладываем вектор, равный абсолютной скорости точки А. На этом отрезке, как на диагонали, строим параллелограмм скоростей, проводя линии, параллельные относительной и переносной скоростям, величины которых известны. Эти величины определяются как стороны параллелограмма. Рис. 43
60 По теореме синусов получим sin cos Отсюда находим модуль относительной скорости cos Проекция переносной скорости на ось х
(sin cos( )
).
ex
V
rk
kt
kt ctg
Второй способ решения быстрее и проще ведет к цели, если требуется определить только скорости в абсолютном, переносном и относительном движении. Если же необходимо, кроме этих скоростей, найти и уравнения абсолютного, переносного и относительного движения, то целесообразно применить первый способ решения. Ответ уравнения абсолютного движения cos ,
sin
,
x
r
kt уравнение относительного движения абсолютная скорость
,
V
rk
относительная скорость переносная скорость
(sin cos( )
).
ex
V
rk
kt
kt ctg
61 Задача № 2
Для сообщения поступательного движения в станках применяют механизм, состоящий из прямолинейного стержня, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω вокруг точки О так, что угол φ=ωt. Дойдя до упора, стержень начинает вращаться стой же угловой скоростью в противоположном направлении. Ползун А вращается вместе со стержнем и одновременно может перемещаться вдоль стержня. Прямая АВ, шарнирно соединенная с ползуном, движется в горизонтальных направляющих, осуществляя возвратно-поступательное движение (рис. 44).
Зная расстояние l от шарнира О до прямой АВ, определить ее скорость и ускорение в поступательном движении. Рис. 44 Решение Первый способ Проведем неподвижные оси координат с началом в шарнире О. Тогда координаты точки А определяются уравнениями
(
),
x
lctg
t Величина скорости точки А тогда будет
2
,
sin
dx
l
V
dt
t
так как точка А движется прямолинейно. Величина ускорения точки А определится как производная от скорости повремени Второй способ Рассмотрим абсолютное движение точки А ползуна как составное переносное – вращение вместе со стержнем ОА и относительное – прямолинейное движение вдоль стержня ОА. Тогда модуль переносной скорости точки А будет sin
e
l
V
OA
Направлена переносная скорость перпендикулярно к стержню ОА, следовательно, она образует со стержнем АВ угол 90°–φ. Относительная скорость (в прямолинейном движении по ОА) равна производной от ОА повремени и направлена по прямой ОА: cos sin sin
r
d
l
l
t
V
dt
t
t
Проектируя векторное равенство определяющее абсолютную скорость точки А, на направление АВ, находим
2 2
2
cos sin cos
1
,
sin sin
e
r
t
l
V
V
t V
t
l
t
t
Переходим к определению абсолютного ускорения точки А. Согласно теореме сложения ускорений
e
r
C
a
a
a
a
Так как ω=const, то величина переносного ускорения
2 Оно направлено от А к центру О. Значение относительного ускорения в прямолинейном движении
2 2
2
(1 Оно направлено по прямой ОА. Ускорение Кориолиса равно по величине
2 2
2
cos
2
sin Направление ускорения определится поворотом вектора относительной скорости на 90° в сторону переносного вращения. Проектируя далее векторное равенство на направление абсолютного ускорения, совпадающего с осью х, находим
2 3
2
cos
(
) cos sin sin
e
r
C
l
t
a
a
a
t
a
t
t
Ответ
2
,
sin
dx
l
V
dt
t
2 3
2
cos sin
l
t
a
t
63 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие способы задания движения точки применяются в кинематике ив чем они состоят
2. Что называется законом или уравнением движения точки
3. Что называется графиком движения
4. Как направлена и чему равна по модулю скорость точки в данный момент
5. Какую кривую представляет собой график равнопеременного движения
6. Как определяется траектория точки из уравнений движения в декартовых координатах
7. Какая существует зависимость между вектором скорости движущейся точки и радиусом-вектором этой точки
8. Что называется ускорением точки
9. Чему равны проекции скорости точки на оси декартовых координат
10. Чему равны проекции ускорения точки на оси декартовых координат
11. Какие оси называются естественными
12. Чему равны проекции ускорения точки на естественные оси
13. В каком движении равны нулю а) касательное ускорение б) нормальное ускорение
14. Какое движение твердого тела называется поступательным
15. Как формулируется теорема о движении точек твердого тела, движущегося поступательно
16. Какой можно привести пример криволинейного поступательного движения твердого тела
17. Что называется законом, или уравнением, вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
18. Что называется угловой скоростью тела Угловым ускорением
19. Какое вращение твердого тела называется равномерным
20. Как выражается зависимость между угловой скоростью вращающегося тела и скоростью любой точки этого тела
21. Как выражаются касательное и центростремительное ускорение точки
64 твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
22. Каково геометрическое место точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, скорость которых в данный момент имеет одинаковый модуль и одинаковое направление
23. Какое движение точки называется относительным
24. Какое движение называется переносным
25. Что называется относительной и переносной скоростью точек
26 Круг радиусом R вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, и перпендикулярен кего плоскости. По диаметру этого круга движется точка М. Чему равна по величине и как направлена переносная скорость точки в момент, когда эта точка находится в центре круга На его окружности
27. Сформулируйте теорему сложения скоростей.
28. Что называется относительными переносным ускорением точки
29. Как определяется абсолютное ускорение точки в случае, когда переносное движение является поступательным Вращательным
30. В каких случаях кориолисово ускорение равно нулю
31. Чему равна проекция кориолисова ускорения движущейся точки на направление относительной скорости этой точки
32. Какое движение твердого тела называется плоскопараллельным
33. Какие уравнения определяют плоскопараллельное движение тела
34. На какие два движения можно разложить плоскопараллельное движение тела
35. Что называется мгновенным центром скоростей плоской фигуры, движущейся в своей плоскости
36. Как можно графически найти положение мгновенного центра скоростей, если известны скорости двух точек плоской фигуры
37. Чему равна угловая скорость плоской фигуры в момент, когда мгновенный центр вращения этой фигуры бесконечно удален
38. Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки.
39. Даны две точки Аи В движущейся плоской фигуры, причем известно, что скорость точки А перпендикулярна АВ. Как направлена скорость точки В если эта скорость отлична от нуля
65 40. Каковы основные отличия естественной системы координат от декартовой
41. Назовите проекции скорости точки в естественных координатах.
42. Как определить радиус кривизны траекторий точки
43. Сколько независимых параметров определяют положение поступательно движущегося твѐрдого тела в пространстве
44. Что называют вектором угловой скорости
45. Напишите формулу Эйлера.
46. Запишите формулу для определения вектора ускорения точек при вращательном движении твѐрдого тела.
47. Какое движение твѐрдого тела называется поступательным
48. Сколькими параметрами определяется положение тела при вращении вокруг неподвижной оси
49. Напишите формулы ускорения во вращательном движении твердого тела.
50. Какое движение твѐрдого тела называется плоскопараллельным
51. Что такое мгновенный центр скоростей
52. Как найти мгновенный центр скоростей, если известны скорости двух точек
53. Как аналитически определить положение абсолютно твердого тела
54. Назовите углы Эйлера.
55. Что такое мгновенное движение
56. Сформулируйте теорему Эйлера.
57. Запишите уравнение сферического движения твѐрдого тела.
58. Дайте определение мгновенной оси вращения и мгновенной угловой скорости.
59. Как определить угловое ускорение тела при сферическом движении.
60. Сформулируйте теорему Ривальса.
61. Какие виды движения называются переносными относительным
62. Напишите формулу скорости в сложном движении точки.
63. Из каких частей складывается ускорение Кориолиса?
64. Каково геометрическое место точек плоской фигуры, движущейся не поступательно в своей плоскости, скорости которых в данный момент по модулю равны
66 Библиографический список
1. Бать МИ, Джанелидзе Г.Ю., Кельзон АС. Теоретическая механика в примерах и задачах. -СПб.: Политехника, 2009.Ч.1,Ч.2.
2. Бутенин Н.В., Лунц ЯЛ, Меркин ДР. Курс теоретической механики. -
СПб.:Лань, 2009.
3. Маркеев А.П. Теоретическая механика учебник для университетов. – М
ЧеРо, 1999.
4. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М Высшая школа, 2011.
5. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. - СПб.: Лань, 2010.Ч.1,Ч.2.
6. Мещерский ИВ. Сборник задач по теоретической механике. - СПб.: Лань, I998.
7. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / под ред. А.А.Яблонского.- СПб.: Лань, 2001.
67 Содержание ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................... 3 1. ТРИ СПОСОБА ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ............................................................... 4 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ...................................................... 6 3. ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ............................................................................................. 9 ЗАДАЧИ ....................................................................................................................................... 26 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ .............................................................. 26 ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. 36 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ............................................................. 44 ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ............................................................................................................ 46 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ........................................................................................................... 58 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ …………………………………………………………63 Библиографический список ........................................................................................................ 66
Учебное издание Виктор Евгеньевич Головко Маргарита Владимировна Максименко Иван Владимирович Клюшкин КИНЕМАТИКА Примеры решения задач по теоретической механике для самостоятельной работы студентов
Учебно-методическое пособие Редактор и корректор В.А.Басова Техн. редактор Л.Я.Титова Темплан 2015, поз. 23
__________________________________________________________ Подп. к печати 01.10.2015 Формат х. Бумага тип. №1. Печать офсетная. Объѐм 4,0 печ.л.; 4,0 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Изд. № 23. Цена “ С. Заказ
Ризограф Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров,
198095, ул. Ивана Черных, 4.
Учебно-методическое пособие Редактор и корректор В.А.Басова Техн. редактор Л.Я.Титова Темплан 2015, поз. 23
__________________________________________________________ Подп. к печати 01.10.2015 Формат х. Бумага тип. №1. Печать офсетная. Объѐм 4,0 печ.л.; 4,0 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Изд. № 23. Цена “ С. Заказ
Ризограф Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров,
198095, ул. Ивана Черных, 4.
1 2 3