Контрольная работа

по математике
Вариант 3

Задача 1. Решите уравнение:
Решение

Применим метод алгебраических дополнений.

Получим нули в столбце 1.

Из строки 2 вычтем почленно строку 1:

1	2	3	n
1	1	2	n
0	1	1	0

Затем из строки 3 вычтем строку 1, предварительно умножив строку 1 на 2.

2	3	6	2n
2	2	4	2n
0	1	2	0

Строку 4 перепишем, так как в ней есть 0.

В результате получим определитель, равный исходному:


=
Вычислив алгебраическое дополнение А₁₁:
=3

Ответ: х=3
Задача 2. Даны матрицы

Найдите: ВА, АХ, ХА, А^-1, А^T , rangА, D=n(А^T)^Т – АЕ.

Решение


=

---

Произведение ХА не определено, так число столбцов в Х неравно числу строк А.
Обратная матрица.

Если , то
Определитель матрицы =3.
Тогда =

Транспонирование матрицы:
=

Ранг А равен 2, так как

Применим свойства матриц: D=n(А^T)^Т – АЕ= nА – А=(n-1)А =

=(n-1) =2 =

Задача 3. Исследуйте систему линейных уравнений с помощью определителей, решите методами Крамера, матричным, Гаусса.


Решение

Найдем определитель системы:

-4-6-27= -370

Система имеет единственное решение.

1) Метод Крамера.

,

где Δ – определитель системы,

Δ_{хj -} вспомогательные определители, каждый из которых получается из определителя Δ заменой столбца j столбцом свободных членов в_i.
Найдем вспомогательные определители:

-37

-74


Найдем значения неизвестных:

---

2) Матричный метод: X= А^-1В.

Матрицы системы:



Найдем обратную матрицу:



Определитель системы: -37

Найдем алгебраические дополнения: А_ij=(-1)^i+jM_ij
А₁₁=(-1)¹⁺¹М₁₁=+М₁₁=

А₂₁=(-1)²⁺¹М₂₁=-М₂₁= -

Аналогично находим остальные дополнения.
Получим:


Найдем матрицу неизвестных:




3) Метод Гаусса


Приведем систему с помощью элементарных преобразований к равносильной системе ступенчатого вида.

Исключим неизвестную x₁

Первое уравнение поделим на 2, получим:

Из второго уравнения вычтем почленно новое первое уравнение, умноженное на 4:



(n-2)x₂-2nx₃=2n-4

Из третьего уравнения вычтем почленно новое первое уравнение, умноженное на 3:

---

В результате получим равносильную систему:


Исключим неизвестную x₂

Поменяем местами второе и третье уравнения:



Поделим второе уравнение на (-5/2):

Из третьего уравнения вычтем второе, умноженное на (n-2):




В результате получим равносильную систему:



Из второго уравнения при x₃=0 получим x₂=2.

Из первого уравнения:



Проверка:



Система решена правильно
Ответ: х₁=1, х₂=2, х₃=0.

Задача 4. Постройте векторы . Найдите:

а) площадь треугольника, построенного на ,

б) объем пирамиды, построенной на векторах .
Решение

Построим векторы.



а) площадь треугольника, построенного на ,
Используем геометрический векторного произведения:





Модуль вектора =15

Тогда 7,5.

б) Объем пирамиды
Используем геометрический смысл смешанного произведения:

---

.

Тогда =7,5

Задача 5. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(n-10,2), В(1,n-10), С(0,5)

Сделайте чертеж. Найдите:

1) длину и уравнение медианы АН;

2) длину и уравнение высоты AD.
Решение

Сделаем чертеж.


1) Длина и уравнение медианы АН
Сначала найдем координаты точки М как середины отрезка ВС:

M(0,5; -1)

Подставляя координаты точек А и М в уравнение:


Получим: .

Длина АМ:


2) Длина и уравнение высоты AD

Прямые АD и ВС перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты .

Уравнение ВС:





Тогда:

у-у_о=k(х-х_о) 



Задача 6. Даны координаты вершин пирамиды М₁М₂М₃М₄:

М₁(2,0,0), М₂(0,-4,2), М₃(0,n,0), М₄(0,0,4). Сделайте чертеж. Найдите:

1) уравнение и длину ребра М₁М₂;

2) угол между рёбрами М₁М₂ и М₁М₄;

3) уравнение грани М₁М₂М₃;

4) площадь грани М₁М₂М₃;

5) объём пирамиды.
Решение
Сделаем чертеж.


1) уравнение и длина ребра М₁М₂;
Уравнения ребра М₁М₂ найдем как уравнения прямой, проходящей через две точки.

Подставляя координаты точек в уравнения

---

Смотрите также файлы

• Факторы эволюции изоляция, изоляты и демы в популяциях человека.docx

• Бастауыш сынып оушыларыны каллиграфиялы машытарын жетілдіруде, сондайа жалпы кркем жазу жмысын жасартуда,сынып.docx

• Лабораторная работа по курсу общей физики "Изучение электростатического поля".docx

• Лауазымды міндеттер 4,5 класты станция бойынша кезекші.docx

• аза дебиеті.docx