Файл: Контрольная работа 2 Вариант 136 по Математике Студент Мацнев Алексей Дмитриевич.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 12
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Факультет заочного обучения
РЕГИСТРАЦИОННЫЙ №________
Контрольная работа № 2 Вариант 136
по Математике
Студент Мацнев Алексей Дмитриевич
ФЗО курс 1 номер зачетки 203136 гр. 01 «И»
Работа выслана «13 » января 2022 г.
Оценка_____________ Дата _________________20г.
Подпись преподавателя_________________
Задача 1
Найти частные производные U ;U функции
x y
3 5 3 5 3 3
U = 7sin(x + y ) + tg(x + y ) + 2arctg(x ∙ y )
Решение. Дифференцируем функцию по одной из переменных, считая другую константой
3 5 2 -2 3 5 2 6 6 -1 2 3
U = 21cos(x + y )∙x + 3cos (x + y )∙x + 6(1 + x ∙ y ) ∙x ∙ y
x
3 5 4 -2 3 5 4 6 6 -1 3 2
U = 35cos(x + y )∙y + 5cos (x + y )∙y + 6(1 + x ∙ y ) ∙x ∙ y
y
Задача 2
Найти grad U(A) и производную U (A) вточке A(0.9;0.6;0.4)
a
_
по направлению вектора a(0;1;0) функции
5 3 4 7 4 5 3 3 4
U = 5x + 6y + 5z + 5x ∙y ∙z + 6arcctg(x ∙y ∙z )
Решение.
Найдем частные производные U , U , U в точке A
x y z
4 6 4 5 6 6 8 -1 2 3 4
U = 25x + 35x ∙y ∙z - 18(1 + x ∙y ∙z ) ∙x ∙y ∙z
x
4 6 4 5 6 6 8 -1 2 3 4
U (A)= 25∙0.9 + 35∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 - 18(1 + 0.9 ∙0.6 ∙0.4 ) ∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 =
x
= 16.3466
2 7 3 5 6 6 8 -1 3 2 4
U = 18y + 20x ∙y ∙z - 18(1 + x ∙y ∙z ) ∙x ∙y ∙z
y
2 3 8 6 6 6 8 -1 3 2 4
U (A)= 18∙0.9 + 20∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 - 18(1 + 0.9 ∙0.6 ∙0.4 ) ∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 =
y
= 6.38023
3 7 4 4 6 6 8 -1 3 3 3
U = 20z + 25x ∙y ∙z - 24(1 + x ∙y ∙z ) ∙x ∙y ∙z
z
3 7 4 4 6 6 8 -1 3 3 3
U (A)= 20∙0.4 + 25∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 - 24(1 - 0.9 ∙0.6 ∙0.4 ) ∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 =
z
= 1.07781
Тогда
_ _ _
grad U(A) = 16.3466∙i + 6.38023∙j + 1.07781∙k
Найдем
_ _________ __
│a│ = √0 + 1 + 0 = √1
Тогда
_
grad U(A)∙a 16.3466∙0 + 6.38023∙1 + 1.07781∙0
U_(A) = ─────────── = ────────────────────────────────── =
a _ __
│a│ √1
= 6.38023
Задача 3
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции
2 2
Z = -9x - 6y + 9xy + 6x - 4y + 1
в точке
M(-6;-7;-247);
Решение. , ,
Найдем частные производные Z и Z в точке M
x y
,
Z = - 18x + 9y + 6
x
,
Z (M) = 51
x
,
Z = -12y + 9x - 4
y
,
Z (M) = 26
y
Составим уравнение касательной плоскости
51(x + 6) + 26(y + 7) - (z + 247) = 0
51x + 26y - z + 241 = 0
Составим канонические уравнения нормали
x + 6 y + 7 z + 247
───── = ───── = ──────
51 26 -1
Задача 4
Найти экстремум функции
2 2
Z = 7x + 6y + 3xy - 2x + 5
Решение.
Найдем координаты критических точек. Для этого
нужно найти частные производные Z , Z
x y
и приравнять их к нулю.
Z = 14x + 3y - 2
x
Z = 12y + 3x
y
┌
│ 14x + 3y - 2 = 0
<
│ 12y + 3x = 0
└
Откуда
8 2
x = ─── , y = - ───
53 53
8 2
Точка M(───;- ───) является критической точкой
53 53
Вычислим ┌ ┐2
K(M) = Z (M)∙Z (M) - │Z (M)│ = 159
xx yy └ xy ┘
Так как K(M)>0 , Z (M) = 14 > 0 ,то
xx
257
в точке M есть экстремум, причем минимум Z = ───
min 53
Вычислить интегралы
Задача 5.1
┌
│ x + 7 -2
│[2∙6 - 24sin( - 4x - 6) + 36sin (4x + 3)+
┘
2 -0.5 2 -1
+4(x -2) + 56(64 + x ) - 14ctg( - 7x - 2)]dx
Решение. Используя таблицу интегралов элементарных функций и элементарные приемы интегрирования, имеем
┌
│ x + 7 -2
│[2∙6 - 24sin( - 4x - 6) + 36sin (4x + 3)+
┘
2 -0.5 2 -1
+4(x -2) + 56(64 + x ) - 14ctg( - 7x - 2)]dx =
x + 7
= (2/ln6)∙6 + 6sin(- 4x - 6) - 9ctg(4x + 3)+
2 0.5
+ 4Ln│x +(x - 2) │ + 7arctg(x/8) + 2Ln│sin(- 7x - 2)│ + C
Задача 5.2
┌
│ 2x + 5
│──────────── dx
│ 2
┘ x - 4x + 5
Решение. Выделяя полный квадрат и используя таблицу интегралов элементарных функций, имеем
┌
│ 2x + 5
│──────────── dx =
│ 2
┘ x - 4x + 5
┌
│(2x - 4) + 9
= │─────────────── dx =
│ 2
┘ x - 4x + 5
┌
│ 2x - 4
= │──────────── dx +
│ 2
┘ x - 4x + 5
┌
│ dx
+ 9│──────────── =
│ 2
┘ x - 4x + 5
┌ 2
│ d(x - 4x + 5)
= │─────────────── +
│ 2
┘ x + 4x + 5
┌
│ d(x - 2)
+ 9│──────────── =
│ 2
┘(x - 2) + 1
2
= Ln(x - 4x + 5) - 9arctg (x - 2) + C
Задача 5.3
┌ 2
│ 6x + 20x - 116
│──────────────────── dx
│ 3 2
┘ x - 2x - 29x + 30
Решение. Применяя метод неопределенных коэффициентов, разлагаем подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей и находим
┌ 2
│ 6x + 20x - 116
│──────────────────── dx =
│ 3 2
┘ x - 2x - 29x + 30
┌
│┌ 3 -1 4 ┐
= ││ ───── + ───── + ───── │ dx =
│└ x - 1 x + 5 x - 6 ┘
┘
┌ ┌ ┌
│ dx │ dx │ dx
= 3 │───── - │───── + 4│───── dx =
│x - 1 │x + 5 │x - 6
┘ ┘ ┘
= 3Ln│x - 1│ - Ln│x + 5│ + 4Ln│x - 6│ + C
Задача 6
3
┌
│ - 3x - 6
│[-24( - 7x - 2)∙8 - 9( - 18x + 7)∙arcctg(2x - 8)]dx
┘
-7
Решение. Интегрируя по частям, находим
3
┌
│ - 3x - 6
│[-24( - 7x - 2)∙8 - 9( - 18x + 7)∙arcctg(2x - 8)]dx =
┘
-7
3 3
┌ ┌
│ - 3x - 6 │ 2 = (8/Ln8) │( - 7x - 2)∙d(8 ) - 9│arcctg(2x - 8)d(-9x + 7x) =
┘ ┘
-7 -7
3
┌
-3x - 6│3 │ - 3 x - 6 = (8/Ln8)[( - 7x - 2)∙8 │ + (7)│( 8 ) ] dx -
│-7 ┘
-7
3
┌
2 │3 │ 2 2 -1
-9[(-9x + 7x)∙arcctg(2x - 8)│ + 2│(-9x + 7x)∙[1 + (2x - 8) ] dx =
│-7 ┘
-7
2 -15 15 -15 15
= (8/(3 Ln 8))[(3 Ln 8)∙((-23)∙8 - (47)∙8 ) - 7∙(8 - 8 ) ]-
-(9/4)[(-2664)∙arcctg(-2)-(-1960)∙arctg(-22) +
+ (18)∙(3 + 7) + (65)∙(Ln(5)- Ln(485))+(455)( arcctg(-2) - arcctg(-22) )]
Задача 7
Найти общее решение дифференциального уравнения
Дана функция
x
┌ 2
f(x) = │(-4cos t - 3cos(t)sin(t) - 2)dt
┘
0
Найти её значение производной f'(2П)
Решение. Согласно формуле
x
d ┌
── │g(t)dt = g(x) имеем
dx ┘
0
2
f'(2П) = -4cos (2П) - 3cos(2П)sin(2П) - 2 = -6
Задача 8
Найти общий интеграл дифференциального уравнения
2
y' = 4y + 36
Решение. 2
y' = 4y + 36
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные
dy 2
── = 4y + 36
dx
dy
─────── = dx
2
4y + 36
┌ dy ┌
│ ───────── = │ dx + C
┘ 2 ┘
4y + 36
Вычисляя интеграл в левой части, получаем.
(1/12)arctg(y/3) = x + C
Задача 9
Найти изображение оригинала
f(t) = 3∙cos(-8t) - 8∙sin(5t)
Решение.
Используя свойство линейности преобразования Лапласа и
таблицу изображений элементарных функций, получаем
2 2
F(p) = 3p/(p + 64) - 40/(p + 25)
Задача 10
Найти оригинал f(t) изображения
9p+6
F(p)= ──────────────
(8p+48)(7p+14)
Решение.
Разложим F(p) на элементарные дроби методом
неопределённых коэффициентов. Имеем
9p+6 A B (7A+8B)p+14A+48B
────────────── = ───── + ───── = ──────────────── ,
(8p+48)(7p+14) 8p+48 7p+14 (8p+48)(7p+14)
Откуда
┌
│ 7A+8B = 9
<
│ 14A+48B = 6
└
Решая эту систему, находим
┌
│ A=12/7
<
│ B=-3/8
└
12/7 -3/8
F(p) = ───── + ───── =
8p+48 7p+14
3/14 -3/56
= ────── + ──────
p + 6 p + 2
Согласно теореме смещения
1 ∙
───── ───> exp(-6t)
p + 6 ∙
1 ∙
───── ───> exp(-2t)
p + 2 ∙
Отсюда f(t) = (3/14) exp(-6t) - (3/56) exp(-2t)
Задача 11
Найти общий интеграл дифференциального уравнения
16x + 3y
y' = ────────
3x + 64y
Решение.
Это однородное дифференциальное уравнение первого
порядка. Запишем его в виде
16 + 3y/x
y' = ─────────
3 + 64y/x
Делаем замену y/x=z, где z(x) - новая неизвестная функция.
Тогда y = zx, y' = z'x + z
и уравнение принимает вид
16 + 3z
z'x + z = ───────
3 + 64z
2
dz 16 - 64z
x── = ────────
dx 3 + 64z
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируя его, получаем
┌ 3 + 64z ┌ dx
│ ──────── dz = │ ── + C
│ 2 ┘ x
┘ 16 - 64z
Далее, вычисляя интегралы, получаем
3 │8z + 4│ 1 │ 2 │
─── Ln│──────│ - ─ Ln│64z - 16│ = Ln│x│ + C
64 │8z - 4│ 2
Возвращаясь к переменной y, получаем искомый общий интеграл
3 │8y + 4x│ 1 │ 2 2 │
─── Ln│───────│ - ─ Ln│64y /x - 16│ = Ln│x│ + C
64 │8y - 4x│ 2
Задача 12
Исследовать сходимость числового ряда
OO
___
\ 17n + 53
> ────────────────────
/___ 3 2
n=1 n + 10n + 29n + 20
Решение.
Воспользуемся интегральным признаком Коши, для чего
исследуем сходимость несобственного интеграла
OO
┌
│ 17x + 53
J = │ ────────────────────dx =
│ 3 2
┘ x + 10x + 29x + 20
h
OO
┌ ┌ ┐
│ │ 5 3 8 │
│ │─── + ─── - ───│dx ,
│ │x+4 x+1 x+5│
┘ └ ┘
h
где в качестве h выберем число большее чем max{-4;-1;-5;0},
например, 1:
OO
┌ ┌ ┐
│ │ 5 3 8 │
J = │ │─── + ─── - ───│dx =
│ │x+4 x+1 x+5│
┘ └ ┘
1
│OO
= (5∙Ln|x+4| + 3∙Ln|x+1| - 8∙Ln|x+5| )│ =
│1
5 3 │OO
│x+4│ ∙│x+1│ │
= Ln ───────────── │ =
8 │
│x+5│ │1
8
6
= Ln 1 + Ln ─────── =
5 3
5 ∙2
209 952
= Ln ───────
3125
Несобственный интеграл J сходится, значит, по интегральному
признаку Коши сходится данный числовой ряд.
Задача 13
Найти интервал сходимости степенного ряда
OO 2
___ ┌ 2 ┐n
\ │2n + 6n + 1│ n
> │────────────│ ∙(x - 9)
/___│ 2 │
n=1 │2n - 5n + 3│
└ ┘
Решение.
OO 2
___ ┌ 2 ┐n
\ │2n + 6n + 1│ n
> │────────────│ ∙( x - 9)
/___│ 2 │
n=1 │2n - 5n + 3│
└ ┘
Найдем R - радиус сходимости данного степенного ряда
┌ 2 ┐n
│2n + 6n + 1│
R = lim │────────────│ =
n─>OO│ 2 │
│2n - 5n + 3│
└ ┘
┌ ┐n
│ 11n - 2 │
= lim │1 + ────────────│ =
n─>OO│ 2 │
│ 2n - 5n + 3│
└ ┘
┌ 2 ┐
│ 11n - 2n │
= lim exp │─────────────│ = exp(11/2)
n─>OO │ 2 │
│ 2n - 5n + 3│
└ ┘
Степенной ряд сходится абсолютно в интервале(9 - 1/exp(-11/2); 9 + 1/exp(-11/2))
Задача 14
Найти решение задачи Коши
┌
│ (8x + 2) y' = 8y + 10
<
│ y(0)=14
└
Решение.
Проинтегрируем уравнение с разделяющимися переменными
┌ dy ┌ dx
│ ─────── = │ ────── + C ;
┘ 8y + 10 ┘ 8x + 2
(1/8)Ln│8y + 10│ = (1/8)Ln│8x + 2│ + C
8y + 10 = C1(8x + 2)
y(0)=14
112 + 10 = 2∙C1 ; C1=61
8y(x) + 10 = 61(8x + 2) ;
8y(x) + 10 = 488x + 122
8y(x) = 488x + 112
y(x) = 61x + 14
Задача 15
Найти общее решение дифференциального уравнения
y'' + 10y' + 16y = 1792x + 128
Решение.
Найдём y0(x)-общее решение соответствующего однородного уравнения
y'' + 10y' + 16y = 0
Для этого составим характеристическое уравнение
2
r + 10r + 16 = 0,
корни которого
r1=-8 , r2=-2
Отсюда
-8x -2x
y0(x)=C1 e + C2 e
Частное решение y1(x) исходного неоднородного уравнения
будем искать в виде
y1(x)= Ax + B
Подставляя y1(x) в исходное уравнение, получаем
10A + 16(Ax + B) = 16Ax + 10A + 16B = 1792x + 128
┌
│ 16A = 1792
<
│ 10A + 16B = 128
└
┌
│ A = 112
<
│ B = -62
└
Запишем ответ в виде
-8x -2x
y(x)=C1 e + C2 e + 112x - 62
Задача 16
Найти решение дифференциального уравнения
y'' + 8y' - 9y =99 exp(2x)
Решение.
Найдём y0(x)-общее решение соответствующего однородного уравнения
y'' + 8y' - 9y = 0
Для этого составим характеристическое уравнение
2
r + 8r - 9 = 0,
корни которого
r1=-9 , r2=1
Отсюда
-9x x
y0(x)=C1 e + C2 e
Частное решение y1(x) исходного неоднородного уравнения
будем искать в виде
y1(x)=A exp(2x)
Тогда
(y1(x))'=A 2exp(2x)
(y1(x))''=A 4exp(2x)
Подставляя y1(x) в исходное уравнение, после сокращения
на exp(2x) получаем
4A + 16A - 9A = 99
A=9
Запишем ответ в виде
-9x x 2x
y(x)= C1 e + C2 e + 9 e
Задача 17
Найти коэффициент a разложения функции
3
3 2
f(x)= 5x + 7x + 8x+ 3
по степеням (x-3)
Решение.
Коэффициент a разложения функции f(x) по степеням (x-a)
n
(n)
имеет вид f (a)
───────
n!
В нашем случае
30
a = ──── = 5
3 3!