Файл: Контрольная работа 2 Вариант 136 по Математике Студент Мацнев Алексей Дмитриевич.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 47
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатикиФакультет заочного обученияРЕГИСТРАЦИОННЫЙ №________Контрольная работа № 2 Вариант 136 по Математике Студент Мацнев Алексей Дмитриевич ФЗО курс 1 номер зачетки 203136 гр. 01 «И» Работа выслана «13 » января 2022 г.Оценка_____________ Дата _________________20г.Подпись преподавателя_________________Задача 1Найти частные производные U ;U функции x y 3 5 3 5 3 3 U = 7sin(x + y ) + tg(x + y ) + 2arctg(x ∙ y )Решение. Дифференцируем функцию по одной из переменных, считая другую константой3 5 2 -2 3 5 2 6 6 -1 2 3 U = 21cos(x + y )∙x + 3cos (x + y )∙x + 6(1 + x ∙ y ) ∙x ∙ yx3 5 4 -2 3 5 4 6 6 -1 3 2U = 35cos(x + y )∙y + 5cos (x + y )∙y + 6(1 + x ∙ y ) ∙x ∙ yyЗадача 2Найти grad U(A) и производную U (A) вточке A(0.9;0.6;0.4) a_по направлению вектора a(0;1;0) функции 5 3 4 7 4 5 3 3 4 U = 5x + 6y + 5z + 5x ∙y ∙z + 6arcctg(x ∙y ∙z )Решение.Найдем частные производные U , U , U в точке Ax y z4 6 4 5 6 6 8 -1 2 3 4U = 25x + 35x ∙y ∙z - 18(1 + x ∙y ∙z ) ∙x ∙y ∙z x4 6 4 5 6 6 8 -1 2 3 4U (A)= 25∙0.9 + 35∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 - 18(1 + 0.9 ∙0.6 ∙0.4 ) ∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 = x = 16.34662 7 3 5 6 6 8 -1 3 2 4U = 18y + 20x ∙y ∙z - 18(1 + x ∙y ∙z ) ∙x ∙y ∙z y2 3 8 6 6 6 8 -1 3 2 4U (A)= 18∙0.9 + 20∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 - 18(1 + 0.9 ∙0.6 ∙0.4 ) ∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 = y = 6.380233 7 4 4 6 6 8 -1 3 3 3U = 20z + 25x ∙y ∙z - 24(1 + x ∙y ∙z ) ∙x ∙y ∙z z3 7 4 4 6 6 8 -1 3 3 3U (A)= 20∙0.4 + 25∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 - 24(1 - 0.9 ∙0.6 ∙0.4 ) ∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 = z = 1.07781Тогда _ _ _grad U(A) = 16.3466∙i + 6.38023∙j + 1.07781∙k Найдем _ _________ __│a│ = √0 + 1 + 0 = √1Тогда _ grad U(A)∙a 16.3466∙0 + 6.38023∙1 + 1.07781∙0 U_(A) = ─────────── = ────────────────────────────────── = a _ __│a│ √1 = 6.38023Задача 3Составить уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции2 2Z = -9x - 6y + 9xy + 6x - 4y + 1в точкеM(-6;-7;-247);Решение. , ,Найдем частные производные Z и Z в точке Mx y,Z = - 18x + 9y + 6x,Z (M) = 51x,Z = -12y + 9x - 4y,Z (M) = 26yСоставим уравнение касательной плоскости 51(x + 6) + 26(y + 7) - (z + 247) = 051x + 26y - z + 241 = 0Составим канонические уравнения нормалиx + 6 y + 7 z + 247───── = ───── = ──────51 26 -1 Задача 4Найти экстремум функции2 2Z = 7x + 6y + 3xy - 2x + 5Решение.Найдем координаты критических точек. Для этого
нужно найти частные производные Z , Zx y и приравнять их к нулю.Z = 14x + 3y - 2xZ = 12y + 3x y┌│ 14x + 3y - 2 = 0< │ 12y + 3x = 0└Откуда 8 2x = ─── , y = - ───53 538 2Точка M(───;- ───) является критической точкой53 53Вычислим ┌ ┐2K(M) = Z (M)∙Z (M) - │Z (M)│ = 159xx yy └ xy ┘Так как K(M)>0 , Z (M) = 14 > 0 ,тоxx257в точке M есть экстремум, причем минимум Z = ───min 53Вычислить интегралыЗадача 5.1┌│ x + 7 -2 │[2∙6 - 24sin( - 4x - 6) + 36sin (4x + 3)+┘2 -0.5 2 -1 +4(x -2) + 56(64 + x ) - 14ctg( - 7x - 2)]dxРешение. Используя таблицу интегралов элементарных функций и элементарные приемы интегрирования, имеем┌│ x + 7 -2 │[2∙6 - 24sin( - 4x - 6) + 36sin (4x + 3)+┘2 -0.5 2 -1 +4(x -2) + 56(64 + x ) - 14ctg( - 7x - 2)]dx =x + 7 = (2/ln6)∙6 + 6sin(- 4x - 6) - 9ctg(4x + 3)+2 0.5 + 4Ln│x +(x - 2) │ + 7arctg(x/8) + 2Ln│sin(- 7x - 2)│ + CЗадача 5.2┌│ 2x + 5│──────────── dx│ 2┘ x - 4x + 5Решение. Выделяя полный квадрат и используя таблицу интегралов элементарных функций, имеем┌│ 2x + 5│──────────── dx = │ 2┘ x - 4x + 5┌│(2x - 4) + 9= │─────────────── dx = │ 2┘ x - 4x + 5┌│ 2x - 4= │──────────── dx +│ 2┘ x - 4x + 5┌│ dx+ 9│──────────── = │ 2┘ x - 4x + 5┌ 2│ d(x - 4x + 5)= │─────────────── +│ 2┘ x + 4x + 5┌│ d(x - 2)+ 9│──────────── = │ 2┘(x - 2) + 12 = Ln(x - 4x + 5) - 9arctg (x - 2) + CЗадача 5.3┌ 2│ 6x + 20x - 116│──────────────────── dx│ 3 2┘ x - 2x - 29x + 30Решение. Применяя метод неопределенных коэффициентов, разлагаем подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей и находим┌ 2│ 6x + 20x - 116│──────────────────── dx =│ 3 2┘ x - 2x - 29x + 30┌ │┌ 3 -1 4 ┐= ││ ───── + ───── + ───── │ dx =│└ x - 1 x + 5 x - 6 ┘┘ ┌ ┌ ┌│ dx │ dx │ dx = 3 │───── - │───── + 4│───── dx =│x - 1 │x + 5 │x - 6┘ ┘ ┘ = 3Ln│x - 1│ - Ln│x + 5│ + 4Ln│x - 6│ + CЗадача 63┌│ - 3x - 6 │[-24( - 7x - 2)∙8 - 9( - 18x + 7)∙arcctg(2x - 8)]dx┘-7Решение. Интегрируя по частям, находим3┌│ - 3x - 6 │[-24( - 7x - 2)∙8 - 9( - 18x + 7)∙arcctg(2x - 8)]dx =┘-73 3 ┌ ┌ │ - 3x - 6 │ 2 = (8/Ln8) │( - 7x - 2)∙d(8 ) - 9│arcctg(2x - 8)d(-9x + 7x) =┘ ┘ -7 -7 3 ┌ -3x - 6│3 │ - 3 x - 6 = (8/Ln8)[( - 7x - 2)∙8 │ + (7)│( 8 ) ] dx -│-7 ┘ -7 3 ┌ 2 │3 │ 2 2 -1 -9[(-9x + 7x)∙arcctg(2x - 8)│ + 2│(-9x + 7x)∙[1 + (2x - 8) ] dx =
│-7 ┘ -7 2 -15 15 -15 15= (8/(3 Ln 8))[(3 Ln 8)∙((-23)∙8 - (47)∙8 ) - 7∙(8 - 8 ) ]--(9/4)[(-2664)∙arcctg(-2)-(-1960)∙arctg(-22) ++ (18)∙(3 + 7) + (65)∙(Ln(5)- Ln(485))+(455)( arcctg(-2) - arcctg(-22) )]Задача 7Найти общее решение дифференциального уравненияДана функцияx┌ 2f(x) = │(-4cos t - 3cos(t)sin(t) - 2)dt┘0Найти её значение производной f'(2П) Решение. Согласно формуле xd ┌── │g(t)dt = g(x) имеемdx ┘02f'(2П) = -4cos (2П) - 3cos(2П)sin(2П) - 2 = -6Задача 8Найти общий интеграл дифференциального уравнения2y' = 4y + 36Решение. 2y' = 4y + 36Это уравнение с разделяющимися переменными.Разделим переменныеdy 2── = 4y + 36dx dy ─────── = dx24y + 36┌ dy ┌ │ ───────── = │ dx + C┘ 2 ┘4y + 36Вычисляя интеграл в левой части, получаем.(1/12)arctg(y/3) = x + CЗадача 9Найти изображение оригиналаf(t) = 3∙cos(-8t) - 8∙sin(5t)Решение. Используя свойство линейности преобразования Лапласа итаблицу изображений элементарных функций, получаем2 2 F(p) = 3p/(p + 64) - 40/(p + 25)Задача 10Найти оригинал f(t) изображения9p+6F(p)= ──────────────(8p+48)(7p+14)Решение.Разложим F(p) на элементарные дроби методомнеопределённых коэффициентов. Имеем9p+6 A B (7A+8B)p+14A+48B────────────── = ───── + ───── = ──────────────── , (8p+48)(7p+14) 8p+48 7p+14 (8p+48)(7p+14)Откуда ┌│ 7A+8B = 9<│ 14A+48B = 6└Решая эту систему, находим ┌│ A=12/7<│ B=-3/8└12/7 -3/8F(p) = ───── + ───── = 8p+48 7p+143/14 -3/56= ────── + ──────p + 6 p + 2Согласно теореме смещения1 ∙ ───── ───> exp(-6t)p + 6 ∙ 1 ∙ ───── ───> exp(-2t)p + 2 ∙ Отсюда f(t) = (3/14) exp(-6t) - (3/56) exp(-2t)Задача 11Найти общий интеграл дифференциального уравнения16x + 3yy' = ────────3x + 64yРешение.Это однородное дифференциальное уравнение первогопорядка. Запишем его в виде16 + 3y/xy' = ─────────3 + 64y/xДелаем замену y/x=z, где z(x) - новая неизвестная функция.Тогда y = zx, y' = z'x + z и уравнение принимает вид 16 + 3zz'x + z = ───────3 + 64z2dz 16 - 64z x── = ────────dx 3 + 64z
Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получаем ┌ 3 + 64z ┌ dx│ ──────── dz = │ ── + C│ 2 ┘ x┘ 16 - 64z Далее, вычисляя интегралы, получаем 3 │8z + 4│ 1 │ 2 │─── Ln│──────│ - ─ Ln│64z - 16│ = Ln│x│ + C64 │8z - 4│ 2 Возвращаясь к переменной y, получаем искомый общий интеграл 3 │8y + 4x│ 1 │ 2 2 │─── Ln│───────│ - ─ Ln│64y /x - 16│ = Ln│x│ + C64 │8y - 4x│ 2 Задача 12Исследовать сходимость числового рядаOO ___ \ 17n + 53> ────────────────────/___ 3 2n=1 n + 10n + 29n + 20Решение.Воспользуемся интегральным признаком Коши, для чегоисследуем сходимость несобственного интегралаOO ┌ │ 17x + 53J = │ ────────────────────dx =│ 3 2┘ x + 10x + 29x + 20hOO ┌ ┌ ┐│ │ 5 3 8 ││ │─── + ─── - ───│dx , │ │x+4 x+1 x+5│┘ └ ┘h где в качестве h выберем число большее чем max{-4;-1;-5;0}, например, 1:OO ┌ ┌ ┐│ │ 5 3 8 │J = │ │─── + ─── - ───│dx =│ │x+4 x+1 x+5│┘ └ ┘1 │OO = (5∙Ln|x+4| + 3∙Ln|x+1| - 8∙Ln|x+5| )│ =│15 3 │OO│x+4│ ∙│x+1│ │= Ln ───────────── │ =8 ││x+5│ │186= Ln 1 + Ln ─────── = 5 35 ∙2209 952= Ln ───────3125Несобственный интеграл J сходится, значит, по интегральному признаку Коши сходится данный числовой ряд. Задача 13Найти интервал сходимости степенного рядаOO 2___ ┌ 2 ┐n\ │2n + 6n + 1│ n> │────────────│ ∙(x - 9)/___│ 2 │n=1 │2n - 5n + 3│└ ┘Решение.OO 2___ ┌ 2 ┐n\ │2n + 6n + 1│ n> │────────────│ ∙( x - 9)/___│ 2 │n=1 │2n - 5n + 3│└ ┘Найдем R - радиус сходимости данного степенного ряда┌ 2 ┐n│2n + 6n + 1│ R = lim │────────────│ = n─>OO│ 2 ││2n - 5n + 3│└ ┘┌ ┐n│ 11n - 2 │ = lim │1 + ────────────│ = n─>OO│ 2 ││ 2n - 5n + 3│└ ┘┌ 2 ┐│ 11n - 2n │ = lim exp │─────────────│ = exp(11/2)n─>OO │ 2 ││ 2n - 5n + 3│└ ┘Степенной ряд сходится абсолютно в интервале(9 - 1/exp(-11/2); 9 + 1/exp(-11/2))Задача 14Найти решение задачи Коши┌│ (8x + 2) y' = 8y + 10<│ y(0)=14└Решение.Проинтегрируем уравнение с разделяющимися переменными┌ dy ┌ dx│ ─────── = │ ────── + C ; ┘ 8y + 10 ┘ 8x + 2(1/8)Ln│8y + 10│ = (1/8)Ln│8x + 2│ + C 8y + 10 = C1(8x + 2)y(0)=14112 + 10 = 2∙C1 ; C1=61
8y(x) + 10 = 61(8x + 2) ;8y(x) + 10 = 488x + 1228y(x) = 488x + 112y(x) = 61x + 14Задача 15Найти общее решение дифференциального уравненияy'' + 10y' + 16y = 1792x + 128Решение.Найдём y0(x)-общее решение соответствующего однородного уравненияy'' + 10y' + 16y = 0Для этого составим характеристическое уравнение2r + 10r + 16 = 0,корни которогоr1=-8 , r2=-2Отсюда-8x -2xy0(x)=C1 e + C2 e Частное решение y1(x) исходного неоднородного уравнениябудем искать в видеy1(x)= Ax + BПодставляя y1(x) в исходное уравнение, получаем10A + 16(Ax + B) = 16Ax + 10A + 16B = 1792x + 128┌│ 16A = 1792<│ 10A + 16B = 128└┌│ A = 112<│ B = -62└Запишем ответ в виде-8x -2xy(x)=C1 e + C2 e + 112x - 62Задача 16Найти решение дифференциального уравненияy'' + 8y' - 9y =99 exp(2x)Решение.Найдём y0(x)-общее решение соответствующего однородного уравненияy'' + 8y' - 9y = 0Для этого составим характеристическое уравнение2r + 8r - 9 = 0,корни которогоr1=-9 , r2=1Отсюда-9x xy0(x)=C1 e + C2 e Частное решение y1(x) исходного неоднородного уравнениябудем искать в видеy1(x)=A exp(2x)Тогда(y1(x))'=A 2exp(2x)(y1(x))''=A 4exp(2x)Подставляя y1(x) в исходное уравнение, после сокращенияна exp(2x) получаем4A + 16A - 9A = 99A=9Запишем ответ в виде-9x x 2xy(x)= C1 e + C2 e + 9 eЗадача 17Найти коэффициент a разложения функции33 2 f(x)= 5x + 7x + 8x+ 3по степеням (x-3)Решение.Коэффициент a разложения функции f(x) по степеням (x-a)n(n)имеет вид f (a)───────n!В нашем случае 30a = ──── = 53 3!
нужно найти частные производные Z , Zx y и приравнять их к нулю.Z = 14x + 3y - 2xZ = 12y + 3x y┌│ 14x + 3y - 2 = 0< │ 12y + 3x = 0└Откуда 8 2x = ─── , y = - ───53 538 2Точка M(───;- ───) является критической точкой53 53Вычислим ┌ ┐2K(M) = Z (M)∙Z (M) - │Z (M)│ = 159xx yy └ xy ┘Так как K(M)>0 , Z (M) = 14 > 0 ,тоxx257в точке M есть экстремум, причем минимум Z = ───min 53Вычислить интегралыЗадача 5.1┌│ x + 7 -2 │[2∙6 - 24sin( - 4x - 6) + 36sin (4x + 3)+┘2 -0.5 2 -1 +4(x -2) + 56(64 + x ) - 14ctg( - 7x - 2)]dxРешение. Используя таблицу интегралов элементарных функций и элементарные приемы интегрирования, имеем┌│ x + 7 -2 │[2∙6 - 24sin( - 4x - 6) + 36sin (4x + 3)+┘2 -0.5 2 -1 +4(x -2) + 56(64 + x ) - 14ctg( - 7x - 2)]dx =x + 7 = (2/ln6)∙6 + 6sin(- 4x - 6) - 9ctg(4x + 3)+2 0.5 + 4Ln│x +(x - 2) │ + 7arctg(x/8) + 2Ln│sin(- 7x - 2)│ + CЗадача 5.2┌│ 2x + 5│──────────── dx│ 2┘ x - 4x + 5Решение. Выделяя полный квадрат и используя таблицу интегралов элементарных функций, имеем┌│ 2x + 5│──────────── dx = │ 2┘ x - 4x + 5┌│(2x - 4) + 9= │─────────────── dx = │ 2┘ x - 4x + 5┌│ 2x - 4= │──────────── dx +│ 2┘ x - 4x + 5┌│ dx+ 9│──────────── = │ 2┘ x - 4x + 5┌ 2│ d(x - 4x + 5)= │─────────────── +│ 2┘ x + 4x + 5┌│ d(x - 2)+ 9│──────────── = │ 2┘(x - 2) + 12 = Ln(x - 4x + 5) - 9arctg (x - 2) + CЗадача 5.3┌ 2│ 6x + 20x - 116│──────────────────── dx│ 3 2┘ x - 2x - 29x + 30Решение. Применяя метод неопределенных коэффициентов, разлагаем подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей и находим┌ 2│ 6x + 20x - 116│──────────────────── dx =│ 3 2┘ x - 2x - 29x + 30┌ │┌ 3 -1 4 ┐= ││ ───── + ───── + ───── │ dx =│└ x - 1 x + 5 x - 6 ┘┘ ┌ ┌ ┌│ dx │ dx │ dx = 3 │───── - │───── + 4│───── dx =│x - 1 │x + 5 │x - 6┘ ┘ ┘ = 3Ln│x - 1│ - Ln│x + 5│ + 4Ln│x - 6│ + CЗадача 63┌│ - 3x - 6 │[-24( - 7x - 2)∙8 - 9( - 18x + 7)∙arcctg(2x - 8)]dx┘-7Решение. Интегрируя по частям, находим3┌│ - 3x - 6 │[-24( - 7x - 2)∙8 - 9( - 18x + 7)∙arcctg(2x - 8)]dx =┘-73 3 ┌ ┌ │ - 3x - 6 │ 2 = (8/Ln8) │( - 7x - 2)∙d(8 ) - 9│arcctg(2x - 8)d(-9x + 7x) =┘ ┘ -7 -7 3 ┌ -3x - 6│3 │ - 3 x - 6 = (8/Ln8)[( - 7x - 2)∙8 │ + (7)│( 8 ) ] dx -│-7 ┘ -7 3 ┌ 2 │3 │ 2 2 -1 -9[(-9x + 7x)∙arcctg(2x - 8)│ + 2│(-9x + 7x)∙[1 + (2x - 8) ] dx =
│-7 ┘ -7 2 -15 15 -15 15= (8/(3 Ln 8))[(3 Ln 8)∙((-23)∙8 - (47)∙8 ) - 7∙(8 - 8 ) ]--(9/4)[(-2664)∙arcctg(-2)-(-1960)∙arctg(-22) ++ (18)∙(3 + 7) + (65)∙(Ln(5)- Ln(485))+(455)( arcctg(-2) - arcctg(-22) )]Задача 7Найти общее решение дифференциального уравненияДана функцияx┌ 2f(x) = │(-4cos t - 3cos(t)sin(t) - 2)dt┘0Найти её значение производной f'(2П) Решение. Согласно формуле xd ┌── │g(t)dt = g(x) имеемdx ┘02f'(2П) = -4cos (2П) - 3cos(2П)sin(2П) - 2 = -6Задача 8Найти общий интеграл дифференциального уравнения2y' = 4y + 36Решение. 2y' = 4y + 36Это уравнение с разделяющимися переменными.Разделим переменныеdy 2── = 4y + 36dx dy ─────── = dx24y + 36┌ dy ┌ │ ───────── = │ dx + C┘ 2 ┘4y + 36Вычисляя интеграл в левой части, получаем.(1/12)arctg(y/3) = x + CЗадача 9Найти изображение оригиналаf(t) = 3∙cos(-8t) - 8∙sin(5t)Решение. Используя свойство линейности преобразования Лапласа итаблицу изображений элементарных функций, получаем2 2 F(p) = 3p/(p + 64) - 40/(p + 25)Задача 10Найти оригинал f(t) изображения9p+6F(p)= ──────────────(8p+48)(7p+14)Решение.Разложим F(p) на элементарные дроби методомнеопределённых коэффициентов. Имеем9p+6 A B (7A+8B)p+14A+48B────────────── = ───── + ───── = ──────────────── , (8p+48)(7p+14) 8p+48 7p+14 (8p+48)(7p+14)Откуда ┌│ 7A+8B = 9<│ 14A+48B = 6└Решая эту систему, находим ┌│ A=12/7<│ B=-3/8└12/7 -3/8F(p) = ───── + ───── = 8p+48 7p+143/14 -3/56= ────── + ──────p + 6 p + 2Согласно теореме смещения1 ∙ ───── ───> exp(-6t)p + 6 ∙ 1 ∙ ───── ───> exp(-2t)p + 2 ∙ Отсюда f(t) = (3/14) exp(-6t) - (3/56) exp(-2t)Задача 11Найти общий интеграл дифференциального уравнения16x + 3yy' = ────────3x + 64yРешение.Это однородное дифференциальное уравнение первогопорядка. Запишем его в виде16 + 3y/xy' = ─────────3 + 64y/xДелаем замену y/x=z, где z(x) - новая неизвестная функция.Тогда y = zx, y' = z'x + z и уравнение принимает вид 16 + 3zz'x + z = ───────3 + 64z2dz 16 - 64z x── = ────────dx 3 + 64z
Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получаем ┌ 3 + 64z ┌ dx│ ──────── dz = │ ── + C│ 2 ┘ x┘ 16 - 64z Далее, вычисляя интегралы, получаем 3 │8z + 4│ 1 │ 2 │─── Ln│──────│ - ─ Ln│64z - 16│ = Ln│x│ + C64 │8z - 4│ 2 Возвращаясь к переменной y, получаем искомый общий интеграл 3 │8y + 4x│ 1 │ 2 2 │─── Ln│───────│ - ─ Ln│64y /x - 16│ = Ln│x│ + C64 │8y - 4x│ 2 Задача 12Исследовать сходимость числового рядаOO ___ \ 17n + 53> ────────────────────/___ 3 2n=1 n + 10n + 29n + 20Решение.Воспользуемся интегральным признаком Коши, для чегоисследуем сходимость несобственного интегралаOO ┌ │ 17x + 53J = │ ────────────────────dx =│ 3 2┘ x + 10x + 29x + 20hOO ┌ ┌ ┐│ │ 5 3 8 ││ │─── + ─── - ───│dx , │ │x+4 x+1 x+5│┘ └ ┘h где в качестве h выберем число большее чем max{-4;-1;-5;0}, например, 1:OO ┌ ┌ ┐│ │ 5 3 8 │J = │ │─── + ─── - ───│dx =│ │x+4 x+1 x+5│┘ └ ┘1 │OO = (5∙Ln|x+4| + 3∙Ln|x+1| - 8∙Ln|x+5| )│ =│15 3 │OO│x+4│ ∙│x+1│ │= Ln ───────────── │ =8 ││x+5│ │186= Ln 1 + Ln ─────── = 5 35 ∙2209 952= Ln ───────3125Несобственный интеграл J сходится, значит, по интегральному признаку Коши сходится данный числовой ряд. Задача 13Найти интервал сходимости степенного рядаOO 2___ ┌ 2 ┐n\ │2n + 6n + 1│ n> │────────────│ ∙(x - 9)/___│ 2 │n=1 │2n - 5n + 3│└ ┘Решение.OO 2___ ┌ 2 ┐n\ │2n + 6n + 1│ n> │────────────│ ∙( x - 9)/___│ 2 │n=1 │2n - 5n + 3│└ ┘Найдем R - радиус сходимости данного степенного ряда┌ 2 ┐n│2n + 6n + 1│ R = lim │────────────│ = n─>OO│ 2 ││2n - 5n + 3│└ ┘┌ ┐n│ 11n - 2 │ = lim │1 + ────────────│ = n─>OO│ 2 ││ 2n - 5n + 3│└ ┘┌ 2 ┐│ 11n - 2n │ = lim exp │─────────────│ = exp(11/2)n─>OO │ 2 ││ 2n - 5n + 3│└ ┘Степенной ряд сходится абсолютно в интервале(9 - 1/exp(-11/2); 9 + 1/exp(-11/2))Задача 14Найти решение задачи Коши┌│ (8x + 2) y' = 8y + 10<│ y(0)=14└Решение.Проинтегрируем уравнение с разделяющимися переменными┌ dy ┌ dx│ ─────── = │ ────── + C ; ┘ 8y + 10 ┘ 8x + 2(1/8)Ln│8y + 10│ = (1/8)Ln│8x + 2│ + C 8y + 10 = C1(8x + 2)y(0)=14112 + 10 = 2∙C1 ; C1=61
8y(x) + 10 = 61(8x + 2) ;8y(x) + 10 = 488x + 1228y(x) = 488x + 112y(x) = 61x + 14Задача 15Найти общее решение дифференциального уравненияy'' + 10y' + 16y = 1792x + 128Решение.Найдём y0(x)-общее решение соответствующего однородного уравненияy'' + 10y' + 16y = 0Для этого составим характеристическое уравнение2r + 10r + 16 = 0,корни которогоr1=-8 , r2=-2Отсюда-8x -2xy0(x)=C1 e + C2 e Частное решение y1(x) исходного неоднородного уравнениябудем искать в видеy1(x)= Ax + BПодставляя y1(x) в исходное уравнение, получаем10A + 16(Ax + B) = 16Ax + 10A + 16B = 1792x + 128┌│ 16A = 1792<│ 10A + 16B = 128└┌│ A = 112<│ B = -62└Запишем ответ в виде-8x -2xy(x)=C1 e + C2 e + 112x - 62Задача 16Найти решение дифференциального уравненияy'' + 8y' - 9y =99 exp(2x)Решение.Найдём y0(x)-общее решение соответствующего однородного уравненияy'' + 8y' - 9y = 0Для этого составим характеристическое уравнение2r + 8r - 9 = 0,корни которогоr1=-9 , r2=1Отсюда-9x xy0(x)=C1 e + C2 e Частное решение y1(x) исходного неоднородного уравнениябудем искать в видеy1(x)=A exp(2x)Тогда(y1(x))'=A 2exp(2x)(y1(x))''=A 4exp(2x)Подставляя y1(x) в исходное уравнение, после сокращенияна exp(2x) получаем4A + 16A - 9A = 99A=9Запишем ответ в виде-9x x 2xy(x)= C1 e + C2 e + 9 eЗадача 17Найти коэффициент a разложения функции33 2 f(x)= 5x + 7x + 8x+ 3по степеням (x-3)Решение.Коэффициент a разложения функции f(x) по степеням (x-a)n(n)имеет вид f (a)───────n!В нашем случае 30a = ──── = 53 3!