Файл: Вычислит.матем_пособие.pdf

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 

Учебное пособие

2 

Содержание 

Введение 

1 

Решение систем линейных алгебраических уравнений 

1.1 

Точные методы решения систем линейных алгебраических 
уравнений 

1.1.1 

Метод Гаусса 

1.1.2 

Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. 
Теорема об LU разложении 

1.1.3 

Метод Гаусса с выбором главного элемента 

1.1.4 

Метод Холецкого (квадратных корней) 

1.2 

Итерационные методы решения систем линейных 
алгебраических уравнений 

1.2.1 

Метод Якоби (простых итераций) 

1.2.2 

Метод Зейделя 

1.2.3 

Матричная запись методов Якоби и Зейделя 

1.2.4 

Метод Ричардсона 

1.2.5 

Метод верхней релаксации (обобщенный метод Зейделя) 

1.2.6 

Сходимость итерационных методов 

2 

Плохо обусловленные системы линейных алгебраических 
уравнений 

2.1 

Метод регуляризации для решение плохо обусловленных 
систем  

2.2 

Метод вращения (Гивенса) 

3 

Решение нелинейных уравнений 

3.1 

Метод простых итераций 

3.1.1 

Условия сходимости метода 

3.1.2 

Оценка погрешности 

3.2 

Метод Ньютона 

4 

Решение проблемы собственных значений 

4.1 

Прямые методы 

4.1.1 

Метод Леверрье 

4.1.2 

Усовершенствованный метод Фадеева 

4.1.3 

Метод Данилевского 

4.1.4 

Метод итераций определения первого собственного числа 
матрицы 

5 

Задача приближения функций 

5.1 

Интерполяционный многочлен Лагранжа 

5.1.1 

Оценка погрешности интерполяционного многочлена 

5.2 

Интерполяционные полиномы Ньютона 

5.2.1 

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих 
узлов 

5.2.2 

Вторая интерполяционная формула Ньютона 

5.3 

Интерполирование сплайнами 

3 

5.3.1 

Построение кубического сплайна 

5.3.2 

Сходимость процесса интерполирования кубическими 
сплайнами 

5.4 

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов 

6 

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных 
дифференциальных уравнений и систем дифференциальных 
уравнений 

6.1 

Семейство одношаговых методов решения задачи Коши 

6.1.1 

Метод Эйлера 

6.1.2 

Методы Рунге-Кутта 

6.2 

Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для 
обыкновенных дифференциальных уравнений 

6.2.1 

Задача подбора числовых коэффициентов 

k

k

b

a ,

6.2.2 

Устойчивость и сходимость многошаговых разностных методов 

6.2.3 

Примеры m-шаговых разностных методов Адамса 

6.3 

Численное интегрирование жестких систем обыкновенных 
дифференциальных уравнений  

6.3.1 

Понятие жесткой системы обыкновенных дифференциальных 
уравнений 

6.3.2 

Некоторые сведения о других методахрешения жестких систем 

6.3.2.1  Методы Гира 
6.3.2.2  Метод Ракитского 
6.4 

Решение линейной краевой задачи 

6.5 

Решение двухточечной краевой задачи для линейного 
уравнения второго порядка  

6.6 

Методы решения двухточечной краевой задачи для линейного 
уравнения второго порядка сведением к задаче Коши 

6.6.1 

Метод конечных разностей 

6.6.2 

Метод прогонки 

7 

Решение дифференциального уравнения в частных 
производных  

7.1 

Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения 
параболического типа (уравнения теплопроводности) 

7.2 

Решение задачи Дирихле для уравнения  Лапласа методом 
сеток 

7.3 

Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического  
типа методом сеток 

4 

Введение 

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент 

 
1.  Схема  вычислительного  эксперимента.  Эффективное  решение 

крупных  естественнонаучных  и  народнохозяйственных  задач  сейчас 
невозможно 

без 

применения 

быстродействующих 

электронно-

вычислительных  машин  (ЭВМ).  В  настоящее  время  выработалась 
технология  исследования  сложных  проблем,  основанная  на  построение  и 
анализе  с  помощью  ЭВМ  математических  моделей  изучаемого  объекта. 
Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом. 

Пусть, например, требуется исследовать   какой-то   физический объект, 

явление, процесс. Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так, 
как показано на рисунке 1.  

Формулируются  основные  законы,  управляющие  данным  объектом 

исследования (I) 

 и строится соответствующая математическая модель   (II), 
представляющая  обычно  запись  этих  законов  в  форме  системы 

уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. д.). 

Объект

исследования

Математическая

модель

Численные

методы(дискретная

модель

вычислитьельного

алгоритма)

  Проведение

вычислений

   и анализ

результатов

Программирование

на ЭВМ

I

II

III

IV

V

Рисунок 1 - Этапы построения и анализа с помощью ЭВМ 

математической модели объекта 

 
При  выборе  физической  и,  следовательно,  математической  модели  мы 

пренебрегаем  факторами,  не  оказывающими  существенного  влияния  на  ход 
изучаемого  процесса.  Типичные  математические  модели,  соответствующие 
физическим  явлениям,  формулируются  в  виде  уравнений  математической 
физики.  Большинство  реальных  процессов  описывается  нелинейными 
уравнениями  и  лишь  в  первом  приближении  (при  малых  значениях 
параметров,  малых  отклонениях  от  равновесия  и  др.)  эти  уравнения  можно 
заменить линейными. 

После  того  как  задача  сформулирована  в  математической  форме, 

необходимо  найти  ее  решение.  Но  что  значит  решить  математическую 
задачу?  Только  в  исключительных  случаях  удается  найти  решение  в  явном 

5 

виде, например в виде ряда. Иногда утверждение «задача решена» означает, 
что  доказано  существование  и  единственность  решения.  Ясно,  что  этого 
недостаточно  для  практических  приложений.  Необходимо  еще  изучить 
качественное  поведение  решения  и  найти  те  или  иные  количественные 
характеристики. 

Именно  на  этом  этапе  требуется  привлечение  ЭВМ  и,  как  следствие, 

развитие численных методов (см. III на рис. 1).  

Под  численным  методом  здесь  понимается  такая  интерпретация 

математической  модели  («дискретная  модель»),  которая  доступна  для 
реализации на ЭВМ.  

Например, 

если 

математическая 

модель 

представляет 

собой 

дифференциальное  уравнение,  то  численным  методом  может  быть 
аппроксимирующее  его  разностное  уравнение  совместно  с  алгоритмом, 
позволяющим  отыскать  решение  этого  разностного  уравнения.  Результатом 
реализации  численного  метода  на  ЭВМ  является  число  или  таблица  чисел. 
Отметим,  что  в  настоящее  время  помимо  собственно  численных  методов 
имеются  также  методы,  которые  позволяют  проводить  на  ЭВМ 
аналитические  выкладки.  Однако  аналитические  методы  для  ЭВМ  не 
получили пока достаточно широкого распространения. 

Чтобы реализовать численный метод, необходимо составить программу 

для ЭВМ (см. IV на рис. 1) или воспользоваться готовой программой. После 
отладки  программы  наступает  этап  проведения  вычислений  и  анализа 
результатов  (V).  Полученные  результаты  изучаются  с  точки  зрения  их 
соответствия  исследуемому  явлению  и,  при  необходимости,  вносятся 
исправления в численный метод и уточняется математическая модель. 

Такова  в  общих  чертах  схема  вычислительного  эксперимента.  Его 

основу составляет триада: модель — метод (алгоритм) — программа. Опыт 
решения  крупных  задач  показывает,  что  метод  математического 
моделирования  и  вычислительный  эксперимент  соединяют  в  себе 
преимущества  традиционных  теоретических  и  экспериментальных  методов 
исследования.  Можно  указать  такие  крупные  области  применения 
вычислительного  эксперимента,  как  энергетика,  аэрокосмическая  техника, 
обработка 

данных 

натурного 

эксперимента, 

совершенствование 

технологических процессов. 

2.  Вычислительный  алгоритм.  Предметом  данной  книги  является 

изложение  вопросов,  отражающих  этапы  III,  IV,  V  вычислительного 
эксперимента.  Таким  образом,  здесь  не  обсуждаются  исходные  задачи  и  их 
математическая постановка.  

Необходимо подчеркнуть, что процесс исследования исходного объекта 

методом  математического  моделирования  и  вычислительного  эксперимента 
неизбежно  носит  приближенный  характер,  потому  что  на  каждом  этапе 
вносятся те или иные погрешности. Так, построение математической модели 
связано  с  упрощением  исходного  явления,  недостаточно  точным  заданием 
коэффициентов  уравнения  и  других  входных  данных.  По  отношению  к 
численному  методу,  реализующему  данную  математическую  модель,