Файл: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образованияпетербургскийгосударственный университет путей сообщения.pdf

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I
Кафедра «Автоматика и телемеханика на железных дорогах»
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ
Методические указания
к лабораторной работе №7 по дисциплине
«Математическое моделирование систем и процессов»
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2021

Цель работы – моделирование простейших электрических схем с операционными усилителями в программе-симуляторе Ngspice. Освоение метода расчета усилителя с заданной частотной характеристикой.
Моделирование полученного усилителя в программе Ngspice.
1.
Общие сведения
1.1 Передаточные функции RLC – звеньев.
Для расчета электрических параметров линейных электрических цепей можно использовать математический аппарат теории автоматического управления.
Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рис. 6а.
Рис. 1.
Найдем дифференциальное уравнение, описывающее такую электрическую цепь, используя свойства компонентов R, L и С. В результате получим:
LC
d
2
U
вых
(t )
dt
2
+RC
dU
вых
(t)
dt
+U
вых
(t )=U
вх
(1)
Применив преобразование Лапласа, предполагая нулевые начальные условия, найдем передаточную функцию:
W
(s)=
U
вых
( s)
U
вх
(s)
=
1
LC s
2
+RCs+1
(2)
В формуле (2) s – переменная Лапласа, U
вых
(s), U
вх
(s) – изображения выходного и входного сигналов. Для нулевых начальных условий передаточная функция W(s) совпадает с операторной передаточной функцией, когда вместо переменной Лапласа используется оператор дифференцирования s=d/dt. В
общем случае, для нахождения передаточных функций электрических схем с компонентами R, L, C, удобно использовать их сопротивления, представленные в операторном виде:
2
R
L
C
Uвх(t)
Uвых(t)
W(s)
Uвх(t)
Uвых(
t)
a
б

Z
R
=R , Z
C
=
1
sC
, Z
L
=Ls ,
(3)
где s=d/dt – оператор дифференцирования.
Для электрической цепи, показанной на рис. 1а, выходное напряжение
U
вых
(t)в любой момент времени может быть найдено по известному входному сигналу U
вх
(t), поэтому такую цепь можно представить двухполюсником,
свойства которого полностью определяются передаточной функцией W(s) (рис.
1б).
Недостатком пассивных RLC-четырехполюсников, подобных тому, что показан на рис. 1а, является их взаимное влияние при подключении нескольких таких звеньев. Для того чтобы снять этот недостаток, используют активные четырехполюсники на операционных усилителях.
Идеальный операционный усилитель (ОУ) имеет следующие характеристики:
1) входное сопротивление равно бесконечности, а входные токи равны нулю;
2) выходное сопротивление (при разомкнутой обратной связи) равно нулю;
3) коэффициент усиления по напряжению равен бесконечности;
4) выходное напряжение равно нулю, когда напряжение на обоих входах одинаково;
5) выходное напряжение может изменяться мгновенно.
На рис. 2а показан пример активного четырехполюсника с операционным усилителем, включенным по схеме с одним инвертирующим входом.
Рис. 2.
Передаточная функция такого четырехполюсника:
W
(s)=
U
вых
( s)
U
вх
(s)
=
−Z
ОС
(
s
)
Z
вх
(s)
(4)
3
W(s)
Uвх(t)
Uвых(t
)
Zвх
Zос
Uвх(t)
Uвых(t)
C2
R1
R2
Uвх(t)
Uвых(t)
в
C1
б
a

Поскольку выходное напряжение U
вых
(t) зависит только от входного U
вх
(t),
электрическую цепь на рис. 2а можно представить двухполюсником, c передаточной функцией W(s) как показано на рис. 2б.
Используя различные схемы RC-двухполюсников для реализации Z
вх
(s) и
Z
ос
(s), можно создавать устройства с заданными передаточными функциями.
Пример построения активного RC-четырехполюсника показан на рис. 2в, его передаточная функция равна:
{
W
( s)=
−Z
ОС
Z
вх
=K
s
(
1
+T
1
s
)(
1
+T
2
s
)
Z
ОС
=
R
2
(
1
+R
2
C
2
s
)
Z
вх
=
(
1
+R
1
C
1
s
)
C
1
s
(5)
где K=-R
2
C
1
; T
1
=R
1
C
1
; T
2
=R
2
C
2
Пассивные RC-четырехполюсники (без операционных усилителей, таких как на примере рис. 1а) можно соединять в последовательные цепи, но при этом, для исключения взаимного влияния, между ними следует вставлять активные четырехполюсники с операционными усилителями.
1.2 Частотные характеристики звеньев.
Если на вход линейного звена (рис. 1б, рис. 2б) подать гармонический сигнал x(t)=A sin(
t), то после окончания переходного процесса на его выходе будет наблюдаться сигнал той же частоты ω, но, в общем случае, с другой амплитудой и фазой y(t)=A
вых
(
) sin(t+).
Частотная передаточная функция W(jω) определяет изменение амплитуды и фазы реакции системы относительно гармонического воздействия в установившемся режиме.
Из свойств преобразования Лапласа вытекает, что частотную передаточную функцию можно получить из передаточной функции системы
W(s) положив s=jω. Частотная передаточная функция W(jω) является комплексной функцией, которую можно представить в виде:
W
( jω)= A ( ω) e
jφ
(
ω
)
.
(6)
Из данного представления можно выделить следующие частотные характеристики:

A(ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

φ(ω) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ),

W(jω) - амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ).
1.3 Логарифмические частотные характеристики
4

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) позволяют упростить графические построения частотных характеристик за счет замены реальной характеристики асимптотической.
Зависимость L(ω)=20lgA(ω) от lg(ω) называется логарифмической
амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).
Зависимость φ(ω) от lg(ω) называется логарифмической фазовой
частотной характеристикой (ЛФЧХ).
Используемые единицы измерения: для ЛАЧХ L(ω) – децибелы (1 дБ =
0,1 Б), для ЛФЧХ φ(ω) – градусы, для десятичного логарифма частоты,
откладываемой по оси абсцисс lgω – декады (дек). Декадой называется отрезок частот, равный изменению частоты в 10 раз.
1.4 Расчет усилителя по заданной ЛАЧХ
В данной работе предлагается рассчитать параметры усилителя по заданной ЛАЧХ, проверить полученные значения с использованием моделирования в программе-симуляторе Ngspice и сравнить резельтаты моделирования с заданными характеристиками.
Для синтеза линейных усилителей с заданными параметрами удобно использовать ЛАЧХ.
Пускай нам требуется построить усилитель с ЛАЧХ, представленной на рис. 3.
-1 0
1 2
3 4
5 6
7
-20 0
20 40 60
lg, дек
L,
д
Б
Рис. 3.
В качестве входных условий используются:
1) полоса частот от ω
1
до ω
2
;
2) коэффициент усиления в заданной полосе частот L
1
(дБ);
3) угол наклона ЛАЧХ в полосе от 0 до ω
1
+20дБ/дек;
4) угол наклона ЛАЧХ в полосе от ω
2
до ∞ -20дБ/дек.
5
lgω2
L1

Представленной ЛАЧХ соответствует звено с передаточной функцией:
W
(s)=K
s
(
1
+T
1
s
)(
1
+T
2
s
)
,
(7)
где L(lg
=0)=20lgK; T
1
=1/ω
1
; T
2
=1/ω
2
Выражение (7) совпадает с (5), это значит, что можно усилитель с заданной ЛАЧХ (рис. 3) построить по электрической схеме, представленной на рис. 2в. Из формул (5) и (7) вытекают следующие равенства:
{
R
1
C
1
=T
1
=
1
ω
1
R
2
C
2
=T
2
=
1
ω
2
R
2
C
1
=K=10
(
L
(lgω=0)
20
)
=10
(
L
(lg ω
1
)
20
−lg ω
1
)
(8)
Рассмотрим конкретный пример.
Пускай требуется построить усилитель с заданной ЛАЧХ как показано на рис. 3, со следующими параметрами:
1) полоса частот от ω
1
=100 Гцдо ω
2
=10000 Гц;
2) коэффициент усиления в заданной полосе частот L
1
=40 дБ;
3) угол наклона ЛАЧХ в полосе от 0 до ω
1
+20дБ/дек;
4) угол наклона ЛАЧХ в полосе от ω
2
до ∞ -20дБ/дек.
По формулам (8) получим:
{
R
1
C
1
=T
1
=
1
ω
1
=
1 100
=10
−2
R
2
C
2
=T
2
=
1
ω
2
=
1 10000
=10
−4
R
2
C
1
=K=10
(
L
(lg ω
1
)
20
−lgω
1
)
=10
(
40 20−
2
)
=1
(9)
Положим С
1
=10мкФ, тогда из (9) получим R
2
=100кОм, С
2
=1нФ,
R
1
=1кОм.
6

2. Моделирование усилителя в программе-симуляторе Ngspice
Для реализации идеального ОУ можно воспользоваться встроенной в
Ngspice функцией: limit (in_offset, out_lower_limit, out_upper_limit, gain,
limit_range, fraction). Которая реализует элемент с одним входом и одним выходом. Выходное значение ограничено пределами нижним (out_lower_limit) и верхним (out_upper_limit). Входное значение может быть смещено относительно нуля переменной in_offset. Значение на выходе в gain раз больше значения на входе. Переменная fraction включает (false) или отключает (true)
сглаживание при достижении пределов на выходе. Переменная limit_range определяет диапазон в котором происходит процедура сглаживания.
Идеальный операционный усилитель реализуется отдельной подсхемой,
представленной листингом на рис. 5:
.subckt opamp plus minus out a1 %vd (plus minus) outint lim
.model lim limit (
+out_lower_limit = -1000
+ out_upper_lim it = 1000
+ fraction=true
+ limit_range=0.0
+ gain=1e12)
rin plus minus 1e12
rout outint out 0.0
rgr out 0 1e12
.ends opamp
$ начало описания подсхемы ОУ opamp с 2
входами (plus minus) и одним выходом (out)
$ создаем новую функцию lim с одним дифференциальным входом (между plus и minus) по напряжению и выходом outint
$ определяем новую функцию lim используя функцию limit с параметрами:
$ нижний предел на выходе -1000
$ верхний предел на выходе 1000
$ сглаживание отключено
$ диапазон сглаживания 0
$ усиление ОУ 1e12
$ входное сопротивление ОУ 1e12
$ выходное сопротивление ОУ 0
$ сопротивление между выходом и землей 1e12
$ конец описания подсхемы ОУ
Рис. 5.
На рис. 7 приведен текст программы, описывающий схему на рис. 6 с параметрами: С
1
=10мкФ, R
2
=100кОм, С
2
=1нФ, R
1
=1кОм.
График полученной ЛАЧХ представлен на рис. 8.
7

Рис. 6.
Рис. 7.
8
C2
R1
R2
C1
Vin
X1
1
0
2
3
4
R1 1 2 1k
C1 2 3 10u
R2 3 4 100k
C2 3 4 1n
Vin 1 0 dc 0 ac 1
X1 0 3 4 opamp
.subckt opamp plus minus out a1 %vd (plus minus) outint lim
.model lim limit (out_lower_limit=-1000 out_upper_limit=1000
+ fraction = true limit_range=0 gain=1e12)
rin plus minus 1e12
rout outint out 0.0
rgr out 0 1e12
.ends opamp
.options noacct
.ac dec 10 0.1 1e6
.control run plot vdb(4) xlog
.endc
.end

Рис. 8.
5.
Варианты заданий
Таблица 1. Исходные данные для самостоятельной работы.
№
вариант
а

1
,
[Гц]

2
,
[Гц]
L
1
,
[дБ
]
№
вариант
а

1
,
[Гц
]

2
,
[Гц
]
L
1
,
[дБ
]
1
100 1000 10
16
600 6000 60
2
200 2000 20
17
700 7000 10
3
300 3000 30
18
800 8000 20
4
400 4000 40
19
900 9000 30
5
500 5000 50
20
1000 10000 40
6
600 6000 60
21
100 1500 10
7
700 7000 10
22
200 2500 20
8
800 8000 20
23
300 3500 30
9
900 9000 30
24
400 4500 40
10
100 0
1000 0
40
25
500 5500 50
11
100 1000 10
26
600 6500 60
12
200 2000 20
27
700 7500 10
13
300 3000 30
28
800 8500 20
14
400 4000 40
29
900 9500 30
15
500 5000 50
30
1000 5000 40 9

6.
Порядок выполнения работы
1. Рассчитать параметры электрической схемы на рисунках 2в, 6. Параметры элементов берутся согласно варианту из таблицы 1.
2. Написать программу описывающую схему на рисунках 2в, 6 с рассчитанными параметрами.
3. Вывести на экран график логарифмической АЧХ для усилителя с рассчитанными параметрами.
4. Проанализировать результаты работы, сравнив их с заданными характеристиками.
7. Содержание отчета
В отчете о проделанной работе необходимо представить:
1.
Схему, нарисованную в специализированном редакторе электрических схем: TinyCAD для Windows или QUCSдля Linux(в данном курсе изучается TinyCAD);
2.
Текст программы Ngspice;
3.
График, полученный в программе;
4.
Расчеты параметров электрической схемы.
8. Контрольные вопросы
1. Что такое передаточная функция двухполюсника.
2. Как представить сопротивления электрических компонентов R, L, C.
3. Каковы характеристики идеального операционного усилителя.
4. Чему равна передаточная функция четырехполюсника с операционным усилителем, включенным по схеме с одним инвертирующим входом
5. Частотные характеристики электрического звена АЧХ, ФЧХ, АФЧХ.
6. Как строятся логарифмические частотные характеристики.
7. Для чего используются единицы изменения децибел и декада.
8. Как в Ngspice реализовать идеальный операционный усилитель.
9. Режимы моделирования Ngspice.
10. Какой режим моделирования Ngspice использовался в данной лабораторной работе?
11. Что обозначается команда “.ac dec 10 0.1 1e6” и зачем ее использовать?
Библиографический список
1.
NgspiceUserManual, version 26 (Руководство пользователя Ngspice версии 26) – URL:
http://ngspice.sourceforge.net/docs/ngspice-manual.pdf
Дата обращения: 30.10.2014.
2.
Лекции к электронному курсу «Математическое моделирование систем и процессов»
3.
Лоу Аверилл М., Кельтон Дэвид В. «Имитационное моделирование», СПб: Питер – 2004, 847с.
4.
Прицкер А. Введение в имитационное моделирование и язык СЛАМ
2.М.: Мир, 1987.
10