Задание 10.53

На вход радиотехнического устройства, состоящего из последовательно соединенных дифференцирующих устройств и сумматора (рис. 1), воздействует стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией .



Рис. 1 – Последовательное соединение дифференцирующих устройств и сумматора

Определить корреляционную функцию процесса на выходе сумматора.

Решение

Рассмотрим систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением с постоянными или зависящими от времени коэффициентами:



. (1)

Здесь ‑ процесс на входе системы, характеризуемый математическим ожиданием и корреляционной функцией:

.

Вводя оператор и операторы и , определяемые равенствами:

и , (2)

дифференциальное уравнение (1) можно привести к следующему операторному соотношению:

. (3)

Из (3) формально следует равенство, определяющее сигнал на выходе системы в явном виде:

. (4)

Оператор

(5)

называется линейным однородным оператором системы. Динамическая система с оператором (5) линейна, так как при решении дифференциального уравнения (1) применим принцип суперпозиции. Линейным неоднородным оператором

---

называется сумма линейного однородного оператора и некоторой заданной функции :

. (6)

Путем вычитания из (6) функции любой неоднородный оператор может быть приведен к однородному. Из (4) можно получить следующие соотношения, определяющие математические ожидания и корреляционные функции процессов на выходе линейных систем через их операторы и статистические характеристики входных процессов:

, (7)

. (8)

Как видно из рис. 2, случайный процесс на выходе сумматора связан с воздействием следующим образом:

. (9)



Рис. 2 – Последовательное соединение дифференцирующих устройств и сумматора

Применяя формулу (8), имеем:

.

Задание 12.53

На рис. 1 приведена упрощенная схема двухканального коррелятора. На один из его входов поступает колебание

,

а на другой

,

Здесь ‑ гармонические колебания частоты с различными амплитудами и начальными фазами:

, ;

‑ квазигармонические флуктуации:

---

,

.



Рис. 1 – Двухканальный коррелятор с фильтром нижних частот

Квадратурные составляющие и являются независимыми стационарными случайными процессами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями для , и для , . Коэффициент определяет степень коррелированности флуктуации и :

.

Определить математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе фильтра нижних частот, а далее вычислить плотность распределения вероятностей процесса на выходе фильтра нижних частот для частного случая воздействия на коррелятор идентичных колебаний , т. е. при , , и .

Решить эту задачу для случая отсутствия шума на втором входе коррелятора.

---

Решение

Запишем сигнал на выходе умножителя:









. (1)

Здесь последнее слагаемое считалось следующим образом:





.

ФНЧ (полагаем, что это математический фильтр, т. е. идеальный), не пропустит на выход слагаемые, содержащие .

Тогда сигнал на выходе коррелятора имеет вид:

. (2)

В выражении (2) нас интересует только первое слагаемое, поскольку остальные два в силу того, что гармонические колебания и квазигармонические флуктуации независимы, а значит мат. ожидание остальных слагаемых равно нулю. Запишем:

.

Найдем дисперсию процесса на выходе ФНЧ. Учитывая, что , запишем:









.

Плотность распределения вероятностей процесса на выходе фильтра нижних частот для нормального закона и частного случая воздействия на коррелятор идентичных колебаний , т. е. при ,

---

, и получим:

, (3)

где , .

---

Смотрите также файлы

• Учебник для общеобразоват учреждений. М. Дрофа.docx

• Задача 1 Задача 2 Задача 3.docx

• Волгоградский государственный технический университет.docx

• Программа дисциплины "Специальные вопросы материаловедения низкоразмерных систем".doc

• Лекция Тема. Геодезические сети.doc