ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2023
Просмотров: 65
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Задание 3. «Расчёт на прочность балки при изгибе»Для балки на двух опорах построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать номер двутавра (таблица приложения), приняв допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Проверить прочность балки по касательным и главным напряжениям.Схемы для расчета приведены на рис. 1, б (вариант по последней цифре номера зачетки), числовые данные – в табл. 1 (вариант по предпоследней цифре номера зачетки).
Таблица 1. Численные данныеПример Для балки на двух опорах из условия прочности подобрать номер двутавра, проверить прочность по максимальным касательным и главным напряжениям.Исходные данные: Mo = 5 кHм; F = 15 кН; q = 10 кH/м; а = 1 м; b = 3 м; [σ] = 160 МПа.Решение. 1. До построения эпюр необходимо из уравнений равновесия определить реакции опор:ΣХ = 0; НВ = 0.ΣМВ = 0; Мо+ q(a + b)[a + (a+b)/2] + Fa – RА(a + b) = 0.RА = Мо /(a+b) + q[a + (a+ b)/2] + Fa/(a + b) = 5/(1+3) + 10[1 + + (1+3)/2] + 15×1/(1+ 3) = 35 кH.ΣМА = 0; Mo + qa2 /2 – qb2/2 – Fb + RВ(a + b) = 0.RВ = - Мо /(a+b) - q a2[(a+ b)2] + qb2/[2(a + b)] + Fb/(a+b) = - 5/(1+3) – - 10×12 /[2(1+3)] +10×32 /[2(1+3)] +15×3 /(1+3) = 20 кH.Проверка правильности определения реакций:ΣY = 0: RА + RВ - F - q(а + b) = 35 + 20 - 15 - 10(1+3) = 0. Реакции определены верно.Для построения эпюр балку разбиваем на три участка.Первый участок: 0 ≤ x1 ≤ а:Из уравнений равновесия левой отсеченной части получаем: Q1= - qx1 – уравнение наклонной прямой;М1 = - Mо – qx12/2 – уравнение параболы.В начале участка при x1 = 0: Q Q1 = 0; М1 = - Мо = -5 кНм. В конце участка при x1 = а:Q1 = - qа = - 10×1 = - 10 кН;М1 = - Мо – qа2/2 = - 5 – 10×12/2 = - 10 кНм .Второй участок: 0 ≤ x2 ≤ b:Рассматривая равновесие левой отсеченные части, получим:Q2 = - q(a + x2) + RА – уравнение наклонной прямой;M2 = - Mo – q (a + x2)2/2 +RАx2 – уравнение параболы.Определяем характерные ординаты:при x2 = 0: Q2 = - qa + RА = -10 + 35 = 25 кН;M2 = - Mo – qa2/2 = - 5 – 10×12/2 = - 10 кНм;при x2 = b; Q2 = - q(a+b) + RА = - 10(1 + 3) + 35 = -5 кН;M2 = - Mo – q (a + b)2/2 + RАb= - 5 – 10 (1+3)2/2 + 35×3 = 20 кHм.Для построения эпюры М требуется еще дополнительно определить координату сечения, в котором возникает Мэкстр и его величину, так как эпюра Q на этом участке плавно переходит через нуль.Методика определения Мэкстр.
Определяем координату сечения, в котором возникает Мэкстр, из условия, что поперечная сила в этом сечении равна нулю:Q2 = 0: - q (а + х2экстр) + RА = 0,х2экстр = RА /q – a = 35/10 – 1 = 2,5 м.Величину М2экcтр получаем, подставляя в уравнение М2 координату х2экстр: М2экcтр = - Mo – q (а + х2экстр)2/2 + RА х2экстр = = - 5 – 10 (1+ 2,5)2/2 + 35×2,5 = 21,25 кHм.Третий участок: 0 ≤ x3 ≤ a:На этом участке рациональнее рассматривать равновесие правой отсеченной части, так как на нее действует меньше нагрузок и уравнения будут проще:Q3 = - RВ – уравнение прямой, параллельной оси,М3 = RВх3 – уравнение наклонной прямой.Характерные ординаты: при х3 = 0; М3 = 0;при х3 = а: М3 = RВа = 20×1 = 20 кНм.Q3 = - 20 кН в любом сечении третьего участка, так как не зависит от текущей координаты х3.2. Проектировочный расчёт. Номер двутавра подбирается из условия прочности по нормальным напряжениям:По сортаменту выбираем двутавр № 18, для которого Wz = 143 см3; Iz = 1290 см4; h = 180 мм; в = 90 мм; d = 5,1 мм; t = 8,1 мм; Sz*max = 81,4 см3.3. Проверка прочности по максимальным касательным напряжениям. Опасным считается сечение, в котором действует максимальная по абсолютной величине поперечная сила. В данном случае |Q|max = 25 кНДля двутавра условие прочности запишется так:Допускаемые касательные напряжения принимаем равными:.Для параметров двутавра № 18 получим:< [τ] = 80 МПа;условие прочности выполняется.4. Проверка прочности по главным напряжениям. Опасным считается сечение, в котором и изгибающий момент Mz и поперечная сила Qy одновременно достигают по модулю достаточно больших величин. В нашем случае это сечение, где Mz = 20 кНм; Qy = - 20 кН. Опасной точкой в сечении является точка, в которой одновременно и нормальные, и касательные напряжения достигают достаточно больших величин. Построим эпюры σ и τ по высоте двутавра.
Вычисления напряжений для построения эпюр производятся для семи характерных точек (рис. а). Точки 1, 7 лежат на верхней и нижней поверхности двутавра. Точки 2, 3, 5, 6 лежат на границе полки и стенки, ордината y у них одинакова. Точки 2, 6 принадлежат полке, а точка 3, 5 – стенке. Вычисления удобно вести в табличной форме (табл.)Нормальные напряжения для i-ой точки:Касательные напряжения для i-ой точки:Максимальный статический момент Sz* для точки 4 указан в сортаменте для двутавра, для точек 1 и 7 Sz* = 0. Для точек 2, 3, 5, 6:Опасная точка в сечении по главным напряжениям – точка 5. Для неё σ = 126,9 МПа, τ = 19,1 МПа, условие прочности по третьей теории прочности:< [σ] = 160 МПа.Условие прочности выполняется. Таким образом, для изготовления рассчитываемой балки рекомендуется двутавр № 18. Все условия прочности для заданной нагрузки выполняются. Примечание. Если одно из условий прочности не выполняется, необходимо продолжать подбор двутавра методом последовательных приближений. Выбираются последовательно большие двутавры, и в каждом приближении проверяется выполнение условий прочности.
| № варианта | Длины, м | Нагрузки, | Индекс нагрузки | ||||||
| а | в | с | F, кН | М, кНм | q, кН/м | F | М | q | |
| 1 | 1,0 | 1,5 | 1,3 | 20 | 30 | 10 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 1,1 | 1,4 | 1,2 | 30 | 20 | 20 | 3 | 2 | 3 |
| 3 | 1,2 | 1,3 | 1,1 | 40 | 30 | 20 | 4 | 3 | 2 |
| 4 | 1,3 | 1,2 | 1,4 | 10 | 30 | 20 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 1,4 | 1,1 | 1,5 | 30 | 10 | 20 | 1 | 3 | 1 |
| 6 | 1,5 | 1,0 | 1,4 | 20 | 30 | 10 | 2 | 4 | 3 |
| 7 | 1,4 | 1,1 | 1,3 | 10 | 20 | 30 | 3 | 1 | 2 |
| 8 | 1,3 | 1,2 | 1,2 | 30 | 20 | 10 | 4 | 2 | 1 |
| 9 | 1,2 | 1,3 | 1,1 | 20 | 10 | 30 | 4 | 3 | 3 |
| 0 | 1,1 | 1,4 | 1,0 | 10 | 30 | 20 | 1 | 4 | 3 |
Таблица 1. Численные данныеПример Для балки на двух опорах из условия прочности подобрать номер двутавра, проверить прочность по максимальным касательным и главным напряжениям.Исходные данные: Mo = 5 кHм; F = 15 кН; q = 10 кH/м; а = 1 м; b = 3 м; [σ] = 160 МПа.Решение. 1. До построения эпюр необходимо из уравнений равновесия определить реакции опор:ΣХ = 0; НВ = 0.ΣМВ = 0; Мо+ q(a + b)[a + (a+b)/2] + Fa – RА(a + b) = 0.RА = Мо /(a+b) + q[a + (a+ b)/2] + Fa/(a + b) = 5/(1+3) + 10[1 + + (1+3)/2] + 15×1/(1+ 3) = 35 кH.ΣМА = 0; Mo + qa2 /2 – qb2/2 – Fb + RВ(a + b) = 0.RВ = - Мо /(a+b) - q a2[(a+ b)2] + qb2/[2(a + b)] + Fb/(a+b) = - 5/(1+3) – - 10×12 /[2(1+3)] +10×32 /[2(1+3)] +15×3 /(1+3) = 20 кH.Проверка правильности определения реакций:ΣY = 0: RА + RВ - F - q(а + b) = 35 + 20 - 15 - 10(1+3) = 0. Реакции определены верно.Для построения эпюр балку разбиваем на три участка.Первый участок: 0 ≤ x1 ≤ а:Из уравнений равновесия левой отсеченной части получаем: Q1= - qx1 – уравнение наклонной прямой;М1 = - Mо – qx12/2 – уравнение параболы.В начале участка при x1 = 0: Q Q1 = 0; М1 = - Мо = -5 кНм. В конце участка при x1 = а:Q1 = - qа = - 10×1 = - 10 кН;М1 = - Мо – qа2/2 = - 5 – 10×12/2 = - 10 кНм .Второй участок: 0 ≤ x2 ≤ b:Рассматривая равновесие левой отсеченные части, получим:Q2 = - q(a + x2) + RА – уравнение наклонной прямой;M2 = - Mo – q (a + x2)2/2 +RАx2 – уравнение параболы.Определяем характерные ординаты:при x2 = 0: Q2 = - qa + RА = -10 + 35 = 25 кН;M2 = - Mo – qa2/2 = - 5 – 10×12/2 = - 10 кНм;при x2 = b; Q2 = - q(a+b) + RА = - 10(1 + 3) + 35 = -5 кН;M2 = - Mo – q (a + b)2/2 + RАb= - 5 – 10 (1+3)2/2 + 35×3 = 20 кHм.Для построения эпюры М требуется еще дополнительно определить координату сечения, в котором возникает Мэкстр и его величину, так как эпюра Q на этом участке плавно переходит через нуль.Методика определения Мэкстр.
Определяем координату сечения, в котором возникает Мэкстр, из условия, что поперечная сила в этом сечении равна нулю:Q2 = 0: - q (а + х2экстр) + RА = 0,х2экстр = RА /q – a = 35/10 – 1 = 2,5 м.Величину М2экcтр получаем, подставляя в уравнение М2 координату х2экстр: М2экcтр = - Mo – q (а + х2экстр)2/2 + RА х2экстр = = - 5 – 10 (1+ 2,5)2/2 + 35×2,5 = 21,25 кHм.Третий участок: 0 ≤ x3 ≤ a:На этом участке рациональнее рассматривать равновесие правой отсеченной части, так как на нее действует меньше нагрузок и уравнения будут проще:Q3 = - RВ – уравнение прямой, параллельной оси,М3 = RВх3 – уравнение наклонной прямой.Характерные ординаты: при х3 = 0; М3 = 0;при х3 = а: М3 = RВа = 20×1 = 20 кНм.Q3 = - 20 кН в любом сечении третьего участка, так как не зависит от текущей координаты х3.2. Проектировочный расчёт. Номер двутавра подбирается из условия прочности по нормальным напряжениям:По сортаменту выбираем двутавр № 18, для которого Wz = 143 см3; Iz = 1290 см4; h = 180 мм; в = 90 мм; d = 5,1 мм; t = 8,1 мм; Sz*max = 81,4 см3.3. Проверка прочности по максимальным касательным напряжениям. Опасным считается сечение, в котором действует максимальная по абсолютной величине поперечная сила. В данном случае |Q|max = 25 кНДля двутавра условие прочности запишется так:Допускаемые касательные напряжения принимаем равными:.Для параметров двутавра № 18 получим:< [τ] = 80 МПа;условие прочности выполняется.4. Проверка прочности по главным напряжениям. Опасным считается сечение, в котором и изгибающий момент Mz и поперечная сила Qy одновременно достигают по модулю достаточно больших величин. В нашем случае это сечение, где Mz = 20 кНм; Qy = - 20 кН. Опасной точкой в сечении является точка, в которой одновременно и нормальные, и касательные напряжения достигают достаточно больших величин. Построим эпюры σ и τ по высоте двутавра.
Вычисления напряжений для построения эпюр производятся для семи характерных точек (рис. а). Точки 1, 7 лежат на верхней и нижней поверхности двутавра. Точки 2, 3, 5, 6 лежат на границе полки и стенки, ордината y у них одинакова. Точки 2, 6 принадлежат полке, а точка 3, 5 – стенке. Вычисления удобно вести в табличной форме (табл.)Нормальные напряжения для i-ой точки:Касательные напряжения для i-ой точки:Максимальный статический момент Sz* для точки 4 указан в сортаменте для двутавра, для точек 1 и 7 Sz* = 0. Для точек 2, 3, 5, 6:Опасная точка в сечении по главным напряжениям – точка 5. Для неё σ = 126,9 МПа, τ = 19,1 МПа, условие прочности по третьей теории прочности:< [σ] = 160 МПа.Условие прочности выполняется. Таким образом, для изготовления рассчитываемой балки рекомендуется двутавр № 18. Все условия прочности для заданной нагрузки выполняются. Примечание. Если одно из условий прочности не выполняется, необходимо продолжать подбор двутавра методом последовательных приближений. Выбираются последовательно большие двутавры, и в каждом приближении проверяется выполнение условий прочности.