Лекция 10

Уравнения параболического типа
Ключевые слова: уравнения параболического типа, уравнение теплопроводности, уравнение диффузии, интеграл Фурье, одномерное уравнение, двумерное уравнение.
Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных полей в проводящих средах, движение вязкой жидкости. К уравнениям параболического типа относятся уравнения теплопроводности, уравнения диффузии. Они могут быть одномерными, двумерными или трехмерными, однородными или неоднородными.

Одномерная задача о распределении температуры в стержне приводится к исследованию уравнения теплопроводности, которое в общем виде может быть представлено в виде:



где - коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств материала, - удельная теплоемкость и плотность вещества, - функция плотности тепловых источников.

Если стержень однородный, это уравнение примет вид:



где - коэффициент температуропроводности, .

Если объемные источники тепла отсутствуют, то получим



Для нахождения единственного решения уравнения теплопроводности или диффузии необходимо задать начальные и граничные условия. Так как в уравнении теплопроводности содержится только первая производная по времени, начальное условие будет одно - оно будет определять значение искомой функции в начальный момент времени.

Существует множество граничных условий. Основными видами являются граничные условия краевых задач первого, второго и третьего типа.

---

Первая краевая задача поставлена, если на конце стержня поддерживается температура, изменяющаяся по определенному закону:



где - заданная функция времени.

Вторая краевая задача поставлена, если на конце стержня задан тепловой поток . Например:



Тогда граничное условие примет вид:



В случае теплоизолированного конца тепловой поток через него отсутствует и

Третья краевая задача поставлена, если на конце стержня происходит теплообмен с окружающей средой. Граничное условие в этом случае имеет вид:



где - температура окружающей среды, - коэффициент теплообмена.

Также существуют и другие граничные условия. Например, если процесс теплопроводности изучается на ограниченном участке, находящемся достаточно далеко от концов стержня, что их влияние практически не будет сказываться, то стержень можно считать бесконечным и задать только начальное условие



где - заданная функция времени.

В случае, когда изучаемый участок стержня находится вблизи от одного его конца и далеко от другого конца, то можно ставить задачу для полубесконечного стержня, формулируя начальное и одно граничное условие.

Можно рассмотреть еще один предельный случай, когда процесс теплопроводности изучается в течение длительного времени. В этом случае влияние начальных условий будет с течением времени ослабевать и распределение температуры будет определяться только граничными условиями.

Рассмотрим простейший процесс такого типа – охлаждение бесконечного стержня. В начальный момент времени температура неравномерно нагретого длинного стержня задана функцией

---

. Требуется найти распределение температур для любого . Стержень очень длинный, поэтому температурные условия на его концах можно не учитывать. При отсутствии тепловых источников температура различных точек стержня определяется уравнением

.

Для решения задачи воспользуемся методом разделения переменных. Представив решение в виде , получим

.

Решение этих уравнений имеет вид:

.

В результате получаем следующее семейство частных решений уравнения

.

Так как с течением времени температура стержня не может возрастать, показатель экспоненты в должен быть отрицательным. Следовательно, и - вещественное число. Причем . Чтобы получить решение, удовлетворяющее начальному условию, надо взять суперпозицию частных решений, соответствующих различным значениям . Но так как в рассматриваемом случае изменяется непрерывно, сумму нужно заменить интегралом:

,

Неизвестные функции должны быть такими, чтобы выполнялось условие :



Это интеграл Фурье. Используя теорию интегралов Фурье, найдем

.

---

Смотрите также файлы

• Президент (Главный управляющий) Вицепрезидент по производству.docx

• Учебная программа по учебному предмету Русский язык и литература для 59 классов уровня основного среднего образования (с нерусским языком обучения) по обновленному содержанию.docx

• Медвежонок.docx

• Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Астраханский государственный технический университет.docx

• Инструкция по голосованию в рамках Формирования комфортной городской среды.pptx