ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 42
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Компланарные
векторы.
Правило параллелепипеда
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
c
Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
a
c
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
c
a
k
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
На рисунке изображен параллелепипед.
А
О
Е
D
C
Являются ли векторы ВВ1,
ОD и ОЕ компланарными?
В
B1
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.
А
О
Е
D
C
В
B1
Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор
ОС не лежит в плоскости ОАВ.
Являются ли векторы ОА,
ОВ и ОС компланарными?
B
C
A1
B1
C1
D1
Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными?
Векторы А1D1, A1C1 лежат в плоскости А1D1C1.
Вектор D1В не лежит в этой плоскости.
Векторы AD, А1С1 и D1B не компланарны.
A
D
A
B
C
A1
B1
C1
D1
D
Являются ли векторы AD и D1B компланарными?
Любые два вектора компланарны.
№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В
А
В1
С1
D1
D
С
А1
АА1, СС1, ВВ1
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В
А
В1
С1
D1
D
С
А1
АВ, АD, АА1
Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.
№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В
А
В1
С1
D1
D
С
А1
В1В, АС, DD1
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В
А
В1
С1
D1
D
С
А1
АD, CC1, А1B1
Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.
АD, CC1, А1B1
Векторы не компланарны
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
Если вектор можно разложить по векторам
и , т.е. представить в виде
где x и y – некоторые числа, то векторы , и
компланарны.
c
a
b
c = xa + yb
a
b
c
Признак компланарности
c = xa + yb
Докажем, что векторы компланарны.
b
О
В
В1
А1
А
С
ОВ1 = у ОВ
ОА1 = х ОА
Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.
Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ.
А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору .
c
c
a
Если вектор можно разложить по векторам
и , т.е. представить в виде
где x и y – некоторые числа, то векторы , и
компланарны.
c
a
b
c = xa + yb
a
b
c
Признак компланарности
Справедливо и обратное утверждение.
Если векторы , и компланарны, а векторы
и не коллинеарны, то вектор можно
разложить по векторам и
, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
c
a
b
c = xa + yb
a
b
c
a
b
Сложение векторов.
Правило треугольника.
a
a
b
b
a +
b
АВ + ВС =
АС
П
О
В
Т
О
Р
И
М
Сложение векторов. Правило параллелограмма.
a
a
b
b
a +
b
b
a +
АВ + АD =
АС
А
В
D
C
П
О
В
Т
О
Р
И
М
Сложение векторов.
Правило многоугольника.
= АO
АВ + ВС + СD + DO
a
c
n
m
c
m
n
a+c+m+n
a
П
О
В
Т
О
Р
И
М
A
В
С
В1
D
Е
Правило параллелепипеда.
a
b
c
О
OE + ED
= (OA + AE) + ED
= OA + OB + OC =
= a + b + c
OA + OB + OC = OD
из OED
из OAE
OD =
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа , и называются коэффициентами разложения.
p = xa + yb + zc
c
x
z
p
y
b
a
x
z
y
p = xa + yb + zc
Докажем, что любой вектор можно представить в виде
p
b
c
a
p
C
B
P1
A
P
P2
a
b
c
p
O
По правилу многоугольника
ОР = ОР2 + Р2Р1 + Р1Р
ОР2 = x OA
Р2Р1= у OВ
Р1Р = z OC
ОР = x OA + y OB + z OC
p = xa + yb + zc
Если предположить, например, что , то из этого равенства можно найти
Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора
p = x1a + y1b + z1c
p = xa + yb + zc
–
o = (x – x1)a + (y – y1)b + (z – z1)c
Это равенство выполняется только тогда, когда
o
o
o
Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и
Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом.
D
В
A
С
B1
C1
D1
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
АВ + АD + АА1
A1
= AC1
В
A
С
C1
D1
D
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
DА + DC + DD1
A1
= DB1
B1
В
A
С
C1
D1
D
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1
= DB1
B1
A1B1 + C1B1 + BB1
DC
+ DD1
+ DA
В
A
С
C1
D1
D
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1
= A1C
B1
A1A + A1D1 + AB
+ A1B1
A1A + A1D1
В
A
С
C1
D1
D
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1
= BD1
B1
B1A1 + BB1 + BC
BA +
BB1 + BC
В
A
С
C1
D1
D
№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.
A1
B1
ВD1 = BA + BC + BB1
По правилу параллелепипеда
В
A
С
C1
D1
D
№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.
A1
B1
В1D1 = B1A1+ А1D1
По правилу треугольника из А1В1D1:
из А1В1B
= (В1B + BA1)+ А1D1
=
= (A1A – A1B)+ А1D1
=
=
= A1A – A1B+ А1D1
Правило параллелепипеда
a Пусть даны некоторые некомпланарные векторы
c a , b, c
b
Правило параллелепипеда
С Отложим от некоторой
точки О пространства векторы ОА=a , ОВ=b, ОС=c и построим паралле-
c лепипед так, чтобы В отрезки ОА,ОВ,ОС были его рёбрами.
О А
b
a
Правило параллелепипеда
D
С Диагональ OD этого
параллелепипеда изобра- жает сумму векторов
a , b , и c
c
О А
b
a
Правило параллелепипеда
D
С OD=a + b +c .
Действительно,
OD=OE + ED=(OA +AE)+ + ED= OA+ 0B + OC =
- = a +b +c
О А
Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму векторов:
а) АВ+ВD+DC
Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму векторов:
а) АВ+ВD+DC
A
D
B
C
Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму векторов:
а) АВ+ВD+DC
A Решение.
AB+BD= AD, AD+DC=AC
D Ответ: АС
B
C
Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму векторов:
б) АD+CВ+DC
Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму векторов:
б) АD+CВ+DC
A
D
B
C
Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму векторов:
б) АD+CВ+DC
A Решение.
AD+DC= AC, AC+CB=AB
D Ответ: АB
B
C
Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму векторов:
в) АB+CD+BC+DA
Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму векторов:
в) АB+CD+BC+DA
A
D
B
C
Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму векторов:
в) АB+CD+BC+DA
A Решение.
AB+BC= AC, AC+CD=AD, AD+DA=0
D Ответ: 0
B
C
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
а) AB+AD+A А1
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
а) AB+AD+A А1
B1 С1
А1 D1
B С
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
а) AB+AD+A А1
B1 С1
А1 D1 Решение
AB+AD = АС
АС + A А1 = АС1
B С Ответ : АС1
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
б) DA+DC+D D1
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
б) DA+DC+D D1
B1 С1
А1 D1
B С
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
б) DA+DC+D D1
B1 С1
А1 D1 Решение
DA+DC = DB
DB + DD1 = DB1
B С Ответ : DB1
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
в) А1B1+С1B1 +ВВ1
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
в) А1B1+С1B1 +ВВ1
B1 С1
А1 D1
B С
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
в) А1B1+С1B1 +ВВ1
B1 С1
А1 D1 Решение
А1B1+С1B1= D1 А1+ А1B1 = D1В1
D1В1 + ВВ1 = DВ + ВВ1 = DB1
B С Ответ : DB1
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
г) A1 A+A1D1 +AВ
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
г) А1А+A1D1 +AВ
B1 С1
А1 D1
B С
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
г) А1А+A1D1 +AВ
B1 С1
А1 D1 Решение
А1A+A1D1= A1D1+ D1D = A1D
A1D + AВ = A1D + DC = A1C
B С Ответ : A1C
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
в) B1A1+BB1 +ВC
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
д) B1А 1 +BB1 +BC
B1 С1
А1 D1
B С
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
д) B1А 1 +BB1 +BC
B1 С1
А1 D1 Решение
B1A 1 +BB1= BA1
BA1 + ВC = BA1 + A1D 1 = BD1
B С Ответ : BD1
А D
Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов :
в) B1A1+BB1 +ВC
Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму векторов :
а) АB +B1C1 +DD1+CD
B1 С1
А1 D1
B С
А D
Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму векторов :
а) АB +B1C1 +DD1+CD
B1 С1
А1 D1 Решение
AB+B1C1 = AB+BC = AC
AC + CD + DD1 = AD1
B С Ответ : AD1
А D
Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму векторов :
б) B1C1 + АB + DD1+CB1+ BC + AA1
B1 С1
А1 D1
B С
А D
Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму векторов :
б) B1C1 + АB + DD1+CB1+ BC + AA1
B1 С1
А1 D1 Решение
AB+B1C1 = AB+BC = AC
AC + CB1 = AB1
BC + AA1 = BA1 ; AB1 + BA1 = AC1
B С Ответ : AС1
А D
Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму векторов :
в) BА + АC + CB+DC + DA
B1 С1
А1 D1
B С
А D
Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму векторов :
в) BА + АC + CB+DC + DA
B1 С1
А1 D1 Решение
DC+DA+BA+AC + CB = DB
B С Ответ : DB
А D
Решение задач
№ 384 Точки А1, B1, С1 – середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС, точка О- произвольная точка пространства. Докажите , что
ОА1+ОВ1+ОС1=ОА+ОВ+ОС
Решение задач
№ 384 Точки А1, B1, С1 – середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС, точка О- произвольная точка пространства. Докажите , что ОА1 +ОВ1+ОС1=ОА+ОВ+ОС
В
С1 А1
А В1 С
Решение задач
№ 384 Точки А1, B1, С1 – середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС, точка О- произвольная точка пространства. Докажите , что ОА1 +ОВ1+ОС1=ОА+ОВ+ОС
В Доказательство ОС+СА1 =ОА1 ; ОА1 +А1В=ОВ;
СА1+А1В=1/2СВ, значит ОС - ОА1=ОА1-ОВ
отсюда следует, что ОС+ОВ=2ОА1
Аналогично, ОС+ОА=2ОВ1 и ОВ+ОА=2ОС1
С1 А1 Складывая почленно три полученные равенства, получим равенство, которое необходимо доказать.
А В1 С