Файл: Физика Курбатов Илья Андреевич.pptx

Физика

Курбатов Илья Андреевич

kurbatovia@tyuiu.ru

Красный текст не нужно писать, внимательно прочитайте.В ходе лекций мы будем некоторые формулы как постулировать, так и выводить самостоятельно. Организуйте в конце тетради справку, куда вы будете добавлять итоговые формулы и описание к ним.Оформите всё так, чтобы формулы сразу бросались в глаза, а по описанию было понятно, когда и как она применяется. Чаще всего это проще сделать с помощью рисунка.Формулы, которые нужно запомнить и перенести в справку, я отмечаю рамкой.Почти вся физика требует хороших знаний в математике, как минимум нужно разбираться в производных, дифференциалах и интегралах. Поэтому я попытаюсь освежить информацию о производных и быть может это позволит вам взглянуть на них под другим углом.Математическое отступлениеПусть у нас есть некоторая функция (f - function) это значит, что некоторому числу ставится в соответствие число : . Т.е. для каждого числа есть какое то число определяемое зависимостью ). Можем нарисовать эту зависимость: ПриращениеВ непрерывном ряду чисел , рассмотрим некоторую точку (допустим момент включения секундомера). Ей соответствует число . Также мы хотим рассмотреть другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от начальной точки: .Этой точке также соответствует какое-то число: – это разность между конечным положением и начальным:и называется приращением (аргумента, координаты и т.д.).  Есть противоположное понятие приращению – убыль.Убыль определяется как разность её начального и конечного значения. Т.е. Обычно под всегда имеют ввиду приращение. Вернемся к функции:Можно увидеть, что если есть приращение чисел (аргумента) , то есть и приращение функции: ПримерСторона квадрата равна . Как изменится его площадь, если сторону увеличили на 1 .Попробуйте сначала решить самостоятельно РешениеНам нужно найти приращение площади, при приращении стороны квадрата (не забываем перевести всё к единой системе).

---

Площадь и сторона связаны функцией . Приращение функции (площади):ПодставляемОтвет: площадь увеличится на  А теперь давайте поделим приращения:Это отношение показывает насколько быстро меняется площадь квадрата при увеличении его стороны.Если бы мы сразу знали это число, то можно было бы не считать разность квадратов, а получить приращение площади: Если кто-то помнит со школы понятие производной, он возможно уже понял, как приблизительно получить это число. Площадь и сторона связаны функцией Найдем производную этой функции:Подставим Есть некоторая погрешность, но эта погрешность уменьшается с уменьшением приращения аргумента .Можете проверить и подставить в задачу .Теперь мы переходим к дифференциалам, как бесконечно малому приращению  Допустим мы хотим оценить скорость изменения функции при изменении аргумента . Но из рисунка видно, что на каждом участке функция меняется с разной скоростью: по мере приближения к точке скорость изменения функции будет изменяться. ДифференциалПусть мы хотим оценить скорость изменения функции не на участке, а в некоторой точке (допустим в т. A). Для этого мы уменьшаем так, чтобы т. максимально приблизилась к т. . При , отрезок AB будет к функции .Когда будет почти ноль, мы уже не сможем отличить прямую AB от функции и это значительно упрощает расчеты, т.к. с прямой работать легче, чем с кривой. Точка, находящаяся на расстоянии от точки A, называется окрестностью точки A.Бесконечно малое приращение аргумента называется дифференциалом и обозначается как Также можем обозначить дифференциал функции:Т.е. приращение функции при бесконечно малом приращении аргумента . Ошибки в выражении нет, изменение функции может быть большим, даже если изменение аргумента было очень маленьким (например, почти вертикальная функция). В математике производную задают следующим образом:

---

Ранее мы рассмотрели вариант попроще и ввели физический смысл производной:Производная это скорость изменения величины или процесса. ПроизводнаяРассматривая на графике понятие дифференциала, можно увидеть, что по мере приближения точки B к A, линия AB превращается в прямую, касательную к точке.Если рассмотреть «поближе», то окрестность точки A, можно представить как прямоугольный треугольник:Тогда геометрический смысл производной:Производная определяется как тангенс угла наклона , образованного касательной в рассматриваемой точке с горизонтальной прямой: Вернемся к математическому выражению:и выведем пару табличных выражений:Найти производную: Найдем производную:Подставляем Сокращаем: Ещё пример:Формула разности синусов:Второй множитель это первый замечательный предел:Ответ: Рассмотрим вектор . Пусть этот вектор является переменным и его конец «движется» по траектории S. Приращение и дифференциал вектораРассмотрим положение этого вектора, через некоторое время – это будет вектор :Т.е. вектор прошёл путь по кривой MN. Приращение вектора - это вектор который начинается в конце вектора и заканчивается в конце вектора :Приращение также называют перемещением вектора. Что изменится, если мы рассмотрим бесконечно малое перемещение вектора . Отрезок MN станет малым и будет почти совпадать с перемещением :Также начальный и исходный вектор будут почти равны:Угол будет стримиться к нулю, а значит выполняется первый замечательный предел:Все эти выводы пригодятся нам в дальнейшем. 

---