Задание 5
Составить дифференциальные уравнения движения линейной колебательной системы с несколькими степенями свободы. Найти собственные частоты колебаний. Катки и колеса считать сплошными однородными цилиндрами, катящимися без скольжения по соприкасающимся с ними телам.

Дано:

;

;

;

;






Решение:

Данная механическая система имеет две степени свободы, поэтому в качестве обобщенных координат выберем перемещение тела 1 и перемещение тела 3, то есть , . Найдем статические деформации упругих элементов (пружин).

Пусть − величины деформаций (например, деформаций растяжения) пружин 1 и 2 в равновесном положении системы. Запишем выражения для величин упругих сил, действующих на тела:

,
Найдем кинетическую энергию системы.

,

где – кинетическая энергия тележки 1, движущейся поступательно; – кинетическая энергия тележки

---

2, движущейся поступательно; – кинетическая энергия катка 3, движущегося плоскопараллельно.







– момент инерции катка 3
Выразим скорости центров масс тележек и угловые скорости колес через обобщенные скорости.




Подставляя все в выражение для кинетической энергии, получаем:

(1)

Обозначим: , – векторы-столбцы обобщенных координат и обобщенных скоростей.
Представляем кинетическую энергию в матричной форме:

,

где – транспонированный вектор .

Составляем матрицу инерционных коэффициентов:


Найдем потенциальную энергию системы.

При движении тел работу совершают силы упругости. Потенциальную энергию системы в положении равновесия полагаем равной нулю. Потенциальная энергия есть работа, совершаемая силой поля при возвращении объекта в пространстве обобщенных координат на поверхность нулевого уровня энергии. Поэтому:



В выражении потенциальной энергии каждой пружины фигурирует разность квадратов деформаций в момент времени t и в положении равновесия.

Тщательно выписываем деформации

---

, например: . С увеличением координаты x₁ пружина 1 растяивается, т.е. приобретает деформацию противоположного смысла, нежели ₁, которая, согласно договору, есть деформация сжатия. Имеем далее: .
Получаем следующее выражение для потенциальной энергии:


Упрощаем это выражение, раскрывая скобки и приводя подобные члены.


Получили потенциальную энергию как квадратичную форму обобщенных координат. Представляем ее в матричном виде:

,

где матрица упругих коэффициентов имеет вид:

.
В матричной форме дифференциальные уравнения движения записываются в виде:


В развернутой форме получаем:



или


Составляем частотное уравнение:



или


Решаем это уравнение как квадратное относительно ²:



и после извлечения корней получаем




Ответ:

---

Смотрите также файлы

• Вопросы к экзамену для iii курса (бакалавриата) очная форма обучения 20222023 учебный год Понятие международного права в контексте теорий его возникновения.docx

• Охарактеризуйте смену парадигм в экономической теории и ответьте на вопрос как менялся предмет этой науки на протяжении ее формирования..docx

• Назначение программы ms visio.pptx

• Тематическое планирование учебного предмета Астрономия.docx

• Практическая работа к разделу 4 Семья традиции Тема Моя семья традиции и ценности Цель уточнить представления о членах семьи, семейных традициях и ценностях.docx