Файл: Контрольная работа по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика иразделам теории вероятностей Группа авт241.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСТИЕТКафедра вычислительной техникиКонтрольная работапо дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»и разделам теории вероятностейГруппа: АВТ-241Студент: Базаров Б.Н.Преподаватель: Пинигина Д. Л.Вариант: 2Дата сдачи: 12.04.2023Новосибирск 2023Задача №1.Условие:Бросают 2 кубика. Представить через элементарные событие,состоящее в выпадении суммы очков больше 6. Найти вероятность этогособытия.Решение:1)Если на первом кубике 1, то на втором может выпасть число 6 и их сумма >6.2)Если на первом кубике 2, то на втором может выпасть любое число (5-6) и их сумма >6.3)Если на первом кубике 3, то на втором может выпасть любое число (4-6) и их сумма >6.4)Если на первом кубике 4, то на втором может выпасть (3-6) и их сумма >6.5)Если на первом кубике 5, то на втором может выпасть (2-6) и их сумма >6.6)Если на первом кубике 6, то на втором может выпасть (1-6) и их сумма >6.Значит событие А = 1*1+1*2+1*3+1*4+1*5+1*6=21Тогда вероятность выпадения события Р(А) = = 0,583Ответ: 0.583Задача №2.Условие:Вероятность отсутствия одного депутата горсовета на заседанииравна 0,1. Найти вероятность того, что из 12 депутатов будет 2отсутствовать. Определить наивероятнейшее число отсутствующих среди 12и найти его вероятность.Решение:Событие А = отсутствие 1 депутатаВероятность Р(А) = 0.1Формула Бернулли: n = 12k = 2 – число сочетаний без повторений
p = 0.1q = 0.9 = 0,230128Наивероятнейшее число отсутствующих лежит в промежутке ????????−????≤????≤????????+????12*0.1-0.9≤k≤12*0.1+0.9 => 0.3≤k≤2.1 => k=2 Значит наивероятнейшее число отсутствующих это 2 депутата, а вероятность этого события уже найдена и равна 0.230128Ответ: Р(А) = 0.230128, k = 2, P(отсутствие 2-х депутатов) = Р(А) = 0.230128Задача №3.Условие:Вся продукция цеха проверяется тремя контролерами, причемконтролер проверяет 35% изделий, второй – 30%, третий – 35%.Вероятность того, что первый контролер пропустит брак, равна 0,01, второй– 0,02, третий – 0,03. Взятое наудачу изделие, маркированное какстандартное, оказалось бракованным. Найти вероятность того, что этоизделие проверялось вторым контролером.Решение:Количество проверяемой продукции контроллерами:Первым – 35%Вторым – 30%Третьим – 35%Вероятность пропуска брака на контролере:На первом – 0.01На втором – 0.02На третьем – 0.03Необходимо найти вероятность того, что второй контролер пропустил данное бракованное изделиеКоличество изделий, проходящее через первый контролер – 0.35 от общего, а количество пропущенных бракованных изделий через первый контроллер – 0.35*0.01 = 0.0035 от общего количества.Точно также для второго контролера количество пропущенных бракованных изделий – 0.30*0.02 = 0.006 от общего количества.И для третьего количество пропущенных бракованных изделий – 0.35*0.03 = 0.0105 от общего количества.Общее количество пропущенной бракованной продукции: 0,0035+0,006+0,0105=0,02Тогда вероятность что ошибку выдаст второй контролер:Р = =0.3Ответ: 0.3Задача №4.Условие:Найти вероятность выигрыша в лотерее «5 из 15».Решение:Для выигрыша в лотерее игроку необходимо угадать 5 из 15 чиселТогда вероятность выигрыша:Р= , где m = 1, т. е. есть только 1 вариант выигрыша, а n = P = = Ответ:
Задача №5.Условие:Случайная величина распределена равномерно (a=-4; b=6). Найтиf(x), F(x), Мо, MX, DX. Построить графики f(x), F(x).Дано:a = -4b = 6Решение:Модой являются все числа отрезка [-4;6].Так как распределение равномерное, то плотность постоянна на отрезке:A функция распределения:Подставим данные из условия:Mo= =2,89График плотности:График функции распределения:Ответ: Mo= =2,89Задача №6.Условие:Случайная величина распределена по биномиальному закону (n=4 ;p= 0,1). Построить полигон, F(x), найти MX, DX, M(1-3X), D(1-3X).Дано:n = 4p = 0.1Решение:X распределена по биноминальному закону с параметрами n = 4, p = 0.2Распределение происходит по закону Бернулли:
Полигон:F(x):при ????≤0: ????(????)=0при 0<????≤1: ????(????)= 0,6561при 1<????≤2: ????(????)= 0,6561+0,2916=0,9477при 2<????≤3: ????(????)= 0,9477+0,0486=0,9963при 3<????<4: ????(????)=0,9963+0,0036=0.9999при x>4: F(x)=1 (так как это максимальное значение случайной величины)Ответ:M(x)=0,4; D(x)=0,36; M(1-3X)=-0,2; D(1-3X)=3,24.Задача №7.Условие:Задана СВ Х с распределением . Найти D(2-3X).Решение:Т.к. случайная величина имеет плотность распределения , то имеет нормальное распределение c параметрами , где по нормальному закону распределения (закон Гаусса) :Следует, что M(x) = a = 3, D(x) = = 1;Тогда дисперсия D(X) равна параметру D(X)=D(X)=D(2-3X) = = 9Ответ:D(2-3X) = 9
p = 0.1q = 0.9 = 0,230128Наивероятнейшее число отсутствующих лежит в промежутке ????????−????≤????≤????????+????12*0.1-0.9≤k≤12*0.1+0.9 => 0.3≤k≤2.1 => k=2 Значит наивероятнейшее число отсутствующих это 2 депутата, а вероятность этого события уже найдена и равна 0.230128Ответ: Р(А) = 0.230128, k = 2, P(отсутствие 2-х депутатов) = Р(А) = 0.230128Задача №3.Условие:Вся продукция цеха проверяется тремя контролерами, причемконтролер проверяет 35% изделий, второй – 30%, третий – 35%.Вероятность того, что первый контролер пропустит брак, равна 0,01, второй– 0,02, третий – 0,03. Взятое наудачу изделие, маркированное какстандартное, оказалось бракованным. Найти вероятность того, что этоизделие проверялось вторым контролером.Решение:Количество проверяемой продукции контроллерами:Первым – 35%Вторым – 30%Третьим – 35%Вероятность пропуска брака на контролере:На первом – 0.01На втором – 0.02На третьем – 0.03Необходимо найти вероятность того, что второй контролер пропустил данное бракованное изделиеКоличество изделий, проходящее через первый контролер – 0.35 от общего, а количество пропущенных бракованных изделий через первый контроллер – 0.35*0.01 = 0.0035 от общего количества.Точно также для второго контролера количество пропущенных бракованных изделий – 0.30*0.02 = 0.006 от общего количества.И для третьего количество пропущенных бракованных изделий – 0.35*0.03 = 0.0105 от общего количества.Общее количество пропущенной бракованной продукции: 0,0035+0,006+0,0105=0,02Тогда вероятность что ошибку выдаст второй контролер:Р = =0.3Ответ: 0.3Задача №4.Условие:Найти вероятность выигрыша в лотерее «5 из 15».Решение:Для выигрыша в лотерее игроку необходимо угадать 5 из 15 чиселТогда вероятность выигрыша:Р= , где m = 1, т. е. есть только 1 вариант выигрыша, а n = P = = Ответ:
Задача №5.Условие:Случайная величина распределена равномерно (a=-4; b=6). Найтиf(x), F(x), Мо, MX, DX. Построить графики f(x), F(x).Дано:a = -4b = 6Решение:Модой являются все числа отрезка [-4;6].Так как распределение равномерное, то плотность постоянна на отрезке:A функция распределения:Подставим данные из условия:Mo= =2,89График плотности:График функции распределения:Ответ: Mo= =2,89Задача №6.Условие:Случайная величина распределена по биномиальному закону (n=4 ;p= 0,1). Построить полигон, F(x), найти MX, DX, M(1-3X), D(1-3X).Дано:n = 4p = 0.1Решение:X распределена по биноминальному закону с параметрами n = 4, p = 0.2Распределение происходит по закону Бернулли:
 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
 | 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Полигон:F(x):при ????≤0: ????(????)=0при 0<????≤1: ????(????)= 0,6561при 1<????≤2: ????(????)= 0,6561+0,2916=0,9477при 2<????≤3: ????(????)= 0,9477+0,0486=0,9963при 3<????<4: ????(????)=0,9963+0,0036=0.9999при x>4: F(x)=1 (так как это максимальное значение случайной величины)Ответ:M(x)=0,4; D(x)=0,36; M(1-3X)=-0,2; D(1-3X)=3,24.Задача №7.Условие:Задана СВ Х с распределением . Найти D(2-3X).Решение:Т.к. случайная величина имеет плотность распределения , то имеет нормальное распределение c параметрами , где по нормальному закону распределения (закон Гаусса) :Следует, что M(x) = a = 3, D(x) = = 1;Тогда дисперсия D(X) равна параметру D(X)=D(X)=D(2-3X) = = 9Ответ:D(2-3X) = 9