Файл: Комплексный машинный эксперимент по исследованию технологических процессов, представленных детерминированной моделью.pdf

Машиностроение и машиноведение
89
УДК 519. 24
КОМПЛЕКСНЫЙ МАШИННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ,
ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ МОДЕЛЬЮ
С.В. Недошивин
Разработаны способы проведения машинных (модельных) статистических
экспериментальных исследований технологических процессов, описываемых детерми-
нированной системой исходных уравнений. Указанные исследования могут базиро-
ваться на теории активного планируемого факторного эксперимента и на теории
пассивного множественного регрессионного анализа.
Ключевые слова: детерминированная модель технологического процесса, ста-
тистический активный машинный эксперимент, машинный эксперимент на основе
множественного корреляционно-регрессионного анализа.
1. Правила и алгоритм проведения активных статистических
модельных экспериментов. Метод моделирования с использованием ста- тистических условных экспериментов может быть использован как для изучения стохастических систем, так и для повышения точности и досто- верности результатов решения теоретических задач, содержащих детерми- нированные системы исходных уравнений [1–3].
Основной идеей, которая используется для решения указанных сис- тем методом статистического моделирования, является замена этой детер- минированной модели некоторой эквивалентной стохастической системой, выходные характеристики которой приближенно совпадают с результатом решения детерминированной модели. Такое моделирование часто называ- ют статистическим машинным экспериментом (СМЭ). При этом, как и в натурных многофакторных экспериментальных исследованиях, пользуют- ся схемой так называемого «черного ящика».
При физической и математической постановке теоретической зада- чи с детерминированной моделью принимают комплекс допущений и уп- рощений, однозначно фиксирующих ряд параметров исследуемого процес- са, а также часто используют константы, которые в реальных процессах изменяются в некоторых небольших, обычно приблизительно известных пределах. При проведении натурных статистических экспериментальных исследований (в частности, планируемого многофакторного эксперимента) их классифицируют как контрольные факторы, которые во всех проводи- мых опытах стараются поддерживать на одном и том же уровне.
При планировании активных СМЭ представляется возможным учи- тывать изменения этих контрольных (по схеме «черного ящика») факторов и прочих констант детерминированной модели. В дальнейшем указанные контрольные факторы и константы будем называть «плавающими» кон-

Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Вып. 8. Ч. 1
90 трольными факторами. Технически данный учет целесообразно осуществ- лять за счет реализации дополнительных серий условно параллельных опытов, в которых комбинация варьируемых факторов остается неизмен- ной, а меняются только численные значения «плавающих» контрольных факторов [1]. Введение указанных условно параллельных опытов позволит получить построчные дисперсии, а следовательно, формально переводит выходные параметры в случайные величины и обеспечивает возможность проведения проверок всех статистических гипотез, присущих натурному планируемому многофакторному эксперименту.
Такой подход позволяет учитывать влияния указанных «плаваю- щих» контрольных и чисто случайных факторов на соответствующие вы- ходные параметры раздельно и поэтапно.
Вначале устанавливается влияние на выходные параметры тех кон- трольных факторов, которые при функционировании исследуемого объек- та могут менять свои значения в определенных небольших пределах. Для этого необходимо с помощью СМЭ получить уравнения регрессии в виде
%
%(x , )
i
k
y
y
v
=
, (1) где
%y – модельное
(
полученное с
помощью
СМЭ
) среднее выходного па
- раметра
;
i
x
– комплекс варьируемых факторов
;
k
v
– набор
«
плавающих
» контрольных факторов
При построении матрицы планирования для каждой ее строки
(
оп
- ределенной комбинации варьируемых факторов
) предусматривается необ
- ходимое
(
иногда большое при достаточном машинном ресурсе
) количество параллельных вычислительных опытов
Так
, в
частности
, приведенная в
качестве примера матрица планирования
(
табл
. 1) предусматривает прове
- дение полного
СМЭ
для трех факторов
, варьируемых на двух уровнях
В
качестве аппроксимирующего полинома принята линейная модель со все
- ми эффектами взаимодействий варьируемых факторов
Результирующие значения выходных параметров в
каждой строке усредняют по
5 параллельным опытам
, соответствующим лишь различным комбинациям
«
плавающих
» контрольных факторов
При проведении этих параллельных опытов предварительно путем генерирования случайных чисел
(
методом
Монте
–
Карло
) в
предполагае
- мых диапазонах изменения по определенным законам распределения по
- лучают комплекс частных значений
«
плавающих
» контрольных факторов
, которые предусмотрены в
детерминированной модели в
качестве постоян
- ных коэффициентов и
параметров
Количество сгенерированных распре
- делений должно соответствовать числу
«
плавающих
» контрольных факто
- ров
k
v
, а
распределение каждого указанного фактора должно состоять из количества частных значений
, равного принятому числу параллельных опытов
(
в табл
. 1 их
5).

Машиностроение и машиноведение
91
Таблица
1
Матрица
планирования для СМЭ, учитывающего действие
«плавающих» контрольных факторов на выходные параметры
№ 0
x
1
x
2
x
3
x
1 2
x x
1 3
x x
2 3
x x
1 2 3
x x x
1 j
y
2 j
y
3 j
y
4 j
y
5 j
y
%
j
y
2
j
S
1
+
-
-
-
+
+
+
-
11
y
21
y
31
y
41
y
51
y
%
1
y
2 1
S
2
+
+
-
-
-
-
+
+
12
y
22
y
32
y
42
y
52
y
%
2
y
2 2
S
3
+
-
+
-
-
+
-
+
13
y
23
y
33
y
43
y
53
y
%
3
y
2 3
S
4
+
+
+
-
+
-
-
-
14
y
24
y
34
y
44
y
54
y
%
4
y
2 4
S
5
+
-
-
+
+
-
-
+
15
y
25
y
35
y
45
y
55
y
%
5
y
2 5
S
6
+
+
-
+
-
+
-
-
16
y
26
y
36
y
46
y
56
y
%
6
y
2 6
S
7
+
-
+
+
-
-
+
-
17
y
27
y
37
y
47
y
57
y
%
7
y
2 7
S
8
+
+
+
+
+
+
+
+
18
y
28
y
38
y
48
y
58
y
%
8
y
2 8
S
Если предположить, что в планируемом СМЭ таких «плавающих» контрольных факторов установлено 3, то для нахождения результатов па- раллельных опытов в табл. 1 следует составить вспомогательную табл. 2.
Такая таблица составляется для каждой строки матрицы планирования, т. е. для каждой комбинации варьируемых факторов.
Таблица 2
Вспомогательная
таблица для установления комбинаций
частных
значений распределений 3 «плавающих»
контрольных
факторов в случае 5 параллельных опытов
в
каждой строке матрицы планирования
Любая j-ая комбинация варьируемых факторов
Изменяющиеся контрольные факторы для j-й комбинации варьируемых факторов
№ частного значения в
kj
v
распределении
1 j
v
2 j
v
3 j
v
Сгенерированные частные значения соответствующих контрольных факторов
1 1 1
j
v
2 1
j
v
3 1
j
v
2 1 2
j
v
2 2
j
v
3 2
j
v
3 1 3
j
v
3 2 j
v
3 3
j
v
4 1 4
j
v
2 4
j
v
3 4
j
v
5 1 5
j
v
2 5
j
v
3 5
j
v

Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Вып. 8. Ч. 1
92
Затем при непосредственно вычислительных действиях для каждой строки матрицы планирования (табл. 1), значения соответствующей ком- бинации варьируемых факторов и комбинации полученных частных зна- чений «плавающих» контрольных факторов (табл. 2) подставляют (вместо констант) в детерминированную модель и получают в параллельных опы- тах скорректированные значения выходных параметров с учетом действия
«плавающих» контрольных факторов. Потом по результатам параллельных опытов рассчитывают построчные средние значения выходных парамет- ров и построчные дисперсии. Последующий вывод уравнений регрессии
(1) и проверки соответствующих статистических гипотез производится по известной схеме обработки результатов натурных многофакторных плани- руемых (активных) экспериментов.
Для проверки адекватности полученных уточняющих модельных уравнений регрессии, учитывающих «плавающие» контрольные факторы, следует провести весьма ограниченное количество натурных эксперимен- тов в разных точках плана и обосновать полученные уравнения регрессии.
Важной характерной особенностью этой первой серии натурных проверочных экспериментов является то, что при ее подготовке необходи- мо, по возможности, соответствующими организационно-техническими мероприятиями максимально исключить влияние случайных факторов.
В этом случае сопоставление результатов функционирования чисто детерминированной системы исходных уравнений
%
%(x )
i
y
y
=
, модельных
%
%(x , )
i
k
y
y
v
=
и натурных
(
первой серии
) уравнений регрессии
(x ,
)
i
k
y
y
v
=
, где
y – натуральное среднее выходного параметра
, позволит оценить каче
- ство полученных модельных уравнений регрессии
, учитывающих влияние
«
плавающих
» контрольных факторов
Сравнительный анализ адекватности моделей
, который может быть произведен по средним значениям выходных параметров модельного и
на
- турного экспериментов или по дисперсиям отклонений частных значений модельных выходных параметров от среднего значения выходного пара
- метра натурного эксперимента
, малоэффективен
Наиболее обстоятельным представляется установление теоретического закона распределения одно
- мерных числовых массивов соответствующих выходных параметров и
бо
- лее детальное сопоставление количественных статистических характери
- стик этих распределений
Наиболее просто выполнить такой сравнитель
- ный анализ в
случае нормального закона распределения
Тогда количест
- венные статистические показатели можно сравнительно оценить по груп
- пам
, включающим показатели
: центра группирования
, рассеивания част
- ных значений относительно центра группирования и
формы распределе
- ния

Машиностроение и машиноведение
93
Повышение качества полученной статистической модели
%
%(x , )
i
k
y
y
v
=
может быть достигнуто последующим изменением интервалов изменения и
смещением границ используемых
«
плавающих
» контрольных факторов
, а
также обоснованным расширением их количества
Учет действия чисто случайных факторов на результаты
СМЭ
более проблематичен
, особенно если отсутствует обстоятельная априорная ин
- формация об исследуемом процессе
Очевидно
, что при отсутствии данных о
законе распределения и
границах интервала возможных значений сум
- марной случайной ошибки
, влияние случайных факторов целесообразно искать в
виде совокупной аддитивной добавки к
полученным скорректиро
- ванным
(
за счет учета
«
плавающих
» факторов
) средним значениям выход
- ного параметра в
каждом вычислительном опыте
В
этом случае потребу
- ется провести вторую ограниченную серию натурных экспериментов
, от
- личительной особенностью которых от первой серии является то
, что они должны проводиться в
условиях
, приближенно соответствующих произ
- водственной реализации исследуемого технологического процесса
В
общем виде уравнения регрессии второй серии натурных экспе
- риментов имеют вид
(x ,
,
)
i
k
m
y
y
v e
=
, (2) где
m
e
– набор случайных факторов
, оказывающих действие на выходной параметр
Имея статистически обоснованные уравнения регрессии
(
в одном и
том же диапазоне варьирования факторов
), полученные при проведении машинных экспериментов
(1) с
детерминированной моделью и
натурных экспериментов второй серии
(2), представляется возможным определить разницу между расчетными значениями выходных параметров при каждой комбинации варьируемых факторов
, которая будет обусловлена действием на объект только случайных факторов
( )
%
j
mj
j
j
y
e
y
y
∆
=
−
. (3)
Это позволит оценить уровень действия случайных факторов на исследуе
- мый технологический процесс
Указанные действия случайных факторов можно оценить точнее
, принимая вычисленные для каждой комбинации варьируемых факторов величины
j
y
∆
, как значения выходных параметров в
так называемом ус
- ловном планируемом многофакторном эксперименте
Так
, при количестве натурных параллельных опытов
3
n
=
матрица планирования такого ус
- ловного многофакторного эксперимента будет выглядеть следующим об
- разом
При этом указанные выходные параметры рассчитываются не
- сколько по
- другому и
обозначаются
j
y
∆

Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Вып. 8. Ч. 1
94
В каждой строке матрицы планирования (табл. 3) этого условного эксперимента в столбцы с результатами параллельных опытов заносятся вычисленные разности между результатами параллельных опытов в натур- ном эксперименте
nj
y
, где
n
– число параллельных опытов, и
%
j
y
– модель- ное (вычисленное с помощью СМЭ) среднее выходного параметра для каждой строки матрицы планирования табл. 1
( )
%
nj
mj
nj
j
y
e
y
y
∆
=
−
. (4)
Наличие результатов параллельных опытов, осредненных значений выходного параметра и построчных дисперсий позволяют, как и ранее, с помощью классического математического аппарата обработки результатов натурного планируемого многофакторного эксперимента получить тре- буемое уравнение регрессии
( )
m
i
e
y x
= ∆
. (5)
Результирующее модельное уравнение регрессии, описывающее ис- следуемый технологический процесс и полученное с помощью статистиче- ского машинного эксперимента с учетом возможных воздействий на эту систему, получим из уравнений (1) и (5) в следующем общем виде
%
%
( )
(x ,
)
m
i
k
i
y
y
e
y
v
y x
= +
=
+ ∆
. (6)
Таблица
3
Матрица
планирования условного многофакторного эксперимента,
учитывающего
действие случайных факторов на выходные
параметры
№ 0
x
1
x
2
x
3
x
1 2
x x
1 3
x x
2 3
x x
1 2 3
x x x
1
j
y
∆
2
j
y
∆
3
j
y
∆
j
y
∆
2
j
S
1
+
-
-
-
+
+
+
-
11
y
∆
21
y
∆
31
y
∆
1
y
∆
2 1
S
2
+
+
-
-
-
-
+
+
12
y
∆
22
y
∆
32
y
∆
2
y
∆
2 2
S
3
+
-
+
-
-
+
-
+
13
y
∆
23
y
∆
33
y
∆
3
y
∆
2 3
S
4
+
+
+
-
+
-
-
-
14
y
∆
24
y
∆
34
y
∆
4
y
∆
2 4
S
5
+
-
-
+
+
-
-
+
15
y
∆
25
y
∆
35
y
∆
5
y
∆
2 5
S
6
+
+
-
+
-
+
-
-
16
y
∆
26
y
∆
36
y
∆
6
y
∆
2 6
S
7
+
-
+
+
-
-
+
-
17
y
∆
27
y
∆
37
y
∆
7
y
∆
2 7
S
8
+
+
+
+
+
+
+
+
18
y
∆
28
y
∆
38
y
∆
8
y
∆
2 8
S

Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Вып. 8. Ч. 1
96
Данное уравнение, полученное решением уже в развернутом виде, может быть приведено к канонической форме, а может быть оставлено в виде указанной суммы, весьма полезной для дальнейшего изучения и со- вершенствования исходной исследуемой системы. Качество этого уравне- ния и достоверность рассчитываемых по нему результатов можно повы- сить, если обе серии натурных экспериментов проводить не в ограничен- ном количестве, а во всех точках модельного плана, представленного, в ча- стном случае, в табл. 1.
Сущность и последовательность действий при проведении данного анализа схематично представлена на рис.
2. Правила и алгоритм проведения статистических модельных
экспериментов
на
основе
множественного
корреляционно-
регрессионного анализа. В ряде случаев анализа исследуемых процессов с детерминированными моделями, более эффективный результат может дать статистический машинный эксперимент, в котором обработка мо- дельных результатов производится на основе математического аппарата классического множественного корреляционно-регрессионного анализа.
Следует отметить, что данный тип СМЭ с указанными моделями возможно и целесообразно использовать, когда исследуемая детерминиро- ванная модель позволяет за относительно непродолжительное время осу- ществить необходимое большое количество вычислительных циклов, при- сущих разработанной методике статистического моделирования. Ее пре- имущества по отношению к прочим алгоритмам статистического машин- ного эксперимента выявляются, если:
– известно, что варьируемые факторы имеют специфические законы распределения частных значений в выборках и эта особенность должна быть учтена при получении модельных результатов, т. е. при выводе и ста- тистическом обосновании (с помощью соответствующих критериев) иско- мых выборочных уравнений регрессии;
– требуется высокий уровень достоверности получаемых результа- тов, что обеспечивается большим количеством модельных опытов, прово- димых через малые шаги счета, на которые разбиваются интервалы варьи- рования каждого фактора;
– в исследуемой детерминированной модели (системе исходных функциональных уравнений, подлежащих совместному решению) нет кон- стант, которые также целесообразно варьировать, но в небольших диапа- зонах, превращая их в «плавающие контрольные факторы» [4], а саму де- терминированную модель
−
в стохастическую, что позволяет при обработ- ке результатов условных опытов использовать алгоритм планируемого многофакторного эксперимента.