Файл: Лекция 4 Связь между потенциалом и вектором напряженности электростатического поля.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 22
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Лекция № 4
Связь между
потенциалом и
вектором
напряженности
электростатического
поля
Содержание лекции:
Циркуляция вектора
напряженности
электростатического поля
Связь между потенциалом и
вектором напряженности
электростатического поля
Ротор вектора
электростатического поля
Уравнения Лапласа и Пуассона
2
Циркуляция вектора
напряженности
электростатического поля
Электростатическое поле образованное системой неподвижных зарядов – поле центральных сил т.е., консервативное.
Элементарная работа сил поля по перемещению пробного заряда из т.1 в т.2 будет равна
l
d
E
q
dA
А вся работа равна:
2 1
l
d
E
q
A
Такой интеграл по замкнутому контуру называют
циркуляцией вектора
.
E
Утверждение, что циркуляция вектора в электростатическом поле равна нулю
E
0
l
d
E
называют теоремой о
циркуляции вектора
E
Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что
,
1 2
2 1
Edl
Edl
тогда
0 1
2 2
1
l
d
E
q
l
d
E
q
l
d
E
q
Поле, обладающее такими свойствами, называется
потенциальным
Вывод:
линии электростатического
поля не могут быть замкнутыми.
Линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность).
Связь между потенциалом и
напряженностью
Потенциал
это скалярная энергетическая характеристика электростатического поля.
Напряженность
векторная силовая характеристика электростатического поля.
)
(
2 1
12
q
A
2 1
2 1
12
l
d
E
q
l
d
F
A
2 1
2 1
l
d
E
и т.о.,
Если перемещение параллельно оси х, то
l
d
dx
i
l
d
dx
E
dx
i
E
l
d
E
d
x
dx
d
E
x
k
z
j
y
i
x
E
Величина, стоящая в
скобках есть
градиент
потенциала
-
E
grad
E
gradφ
это вектор показывающий направление
наискорейшего возрастания потенциала
Знак минус говорит о том, что вектор E направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.
-
E
grad
E
Связь вектора напряженности и потенциала:
Компоненты вектора gradφ определяют скорость пространственного изменения потенциала: х-компонента
/
x показывает, как быстро φ изменяется в направлении х,
/
y
в направлении у,
/
z – в направлении оси z.
Линии напряженности направлены в сторону убывания потенциала и всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Геометрическое место точек постоянного потенциала называется поверхностью равного потенциала или
эквипотенциальной
поверхностью
)
,
,
(
const
z
y
x
Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности
Через равные приращения потенциала Δφ чертят эквипотенциальные поверхности, а затем для полноты картины проводят силовые линии, перпендикулярные эквипотенциальным поверхностям. Там, где расстояние между эквипотенциальными поверхностями мало, напряженность поля велика и наоборот.
k
z
j
y
i
x
- оператор набла или оператор Гамильтона
k
z
j
y
i
x
grad
z
a
y
a
x
a
a
a
a
a
z
y
x
z
z
y
y
x
x
a
div
a
z
y
x
a
a
a
z
y
x
k
j
i
]
a
,
[
a
rot
a
,
0
,
grad
rot
0
a
a
rot
div
Ротор вектора
Ротором называется вектор, проекция которого на направление n определяется формулой:
S
l
d
A
A
rot
S
Δ
lim
0
Δ
Ротор характеризует интенсивность
«завихрения» вектора.
Теорема
Стокса
(связь между контурным и поверхностным интегралами
)
:
S
L
S
d
A
l
d
A
rot
Для электрического поля
S
L
S
d
E
l
d
E
rot
,
0
l
d
E
Так как
0
rot
E
следовательно
- дифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля.
Таким образом кулоновское
электростатическое поле – безвихревое.
Уравнения Лапласа и Пуассона
0
d i v E
Распишем дивергенцию вектора напряженности электрического поля:
Теорема Гаусса в дифференциальной форме g ra d
E
i
j
k
x
y
z
2 2
2 2
2 2
d iv d iv g ra d
E
x
y
z
2 2
2 2
2 2
0
,
,
x y z
x
y
z
Откуда или
0
Δφ ( φ) – оператор Лапласа (лапласиан)
0 2
ε
ρ
- уравнение Пуассона
2
В области пространства, где заряды отсутствуют
=0 0
2
- уравнение Лапласа
Теорема единственности
Определение потенциала сводится к нахождению такой функции
, которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям
Лапласа или
Пуассона, а на поверхности проводников принимает заданные значения
1
,
2
и т.д.
Это утверждение называют
теоремой
единственности.
С физической точки зрения это утверждение очевидно: если решение не одно, то будет не один потенциальный рельеф. Это не возможно.