Файл: Интегрирование способом подстановки.docx

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.01.2024

Просмотров: 17

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Интегрирование способом подстановки

Если заданный интеграл простейшим преобразованием трудно привести (или нельзя привести) к табличному интегралу, то для его отыскания применяют особые приемы. Один из них – интегрирование способом подстановки. Еще этот метод называют способом замены переменной.

Прежде чем перейти к рассмотрению способа подстановки, вспомним понятие дифференциала функции.

О пределение. Если функция y(x) в точке   имеет производную   , то произведение   является дифференциалом функции у(х) в точке   и обозначается dy(   . Таким образом dy(  dx.

dy= 

 Интегрирование способом подстановки заключается в том, что выражение заменяется новой переменной.

Например в интеграле   необходимо произвести замену переменной. Обозначим   . Найдем дифференциал обеих частей равенства: d( 

Дифференциал данного в интеграле переменного значения необходимо выразить через дифференциал введенной нами переменной.

Имеем:   (таким образом вторую часть подынтегрального выражения выразили через dt).

Замену подставляем в интеграл
, и под знаком интеграла получаем выражение, зависящее только от введенной новой переменной t. Если замена проведена правильно, то полученный интеграл должен быть табличным. Таким образом, получаем:   - ответ выражен через вспомогательную переменную t.

Чтобы получить окончательный ответ, сделаем обратную замену   :

 = 

Подстановка должна выбираться так: если одна часть подынтегрального выражения обозначается за t, то другая должна соответствовать dt с каким-нибудь коэффициентом. В нашем примере 

 dt

  






Подстановки приводящие к

 

 

Пример 1:   .Произведем замену переменной: 2+x=t, dx=dt.



Пример 2.   . Произведем замену: 

 .




Пример 3.   . Произведем замену: 

 Тогда интеграл примет вид: 

Пример 4.   Произведем замену: 



Пример 5.   . Произведем замену:   

 = -3 

Пример 6.   Произведем замену: sinx=t; cosxdx=dt



Пример 7.   . Произведем замену: lnx=t; 

 +C.

Задание №11.



ЗАДАНИЕ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТА

1.



1) 

2.



1)   4)- 

3.



1) 

4.



1) 

5.



1) 

6.



1) 

7.



1) 

8.



1)