ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 17
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Интегрирование способом подстановки
Если заданный интеграл простейшим преобразованием трудно привести (или нельзя привести) к табличному интегралу, то для его отыскания применяют особые приемы. Один из них – интегрирование способом подстановки. Еще этот метод называют способом замены переменной.
Прежде чем перейти к рассмотрению способа подстановки, вспомним понятие дифференциала функции.
О пределение. Если функция y(x) в точке имеет производную , то произведение является дифференциалом функции у(х) в точке и обозначается dy( . Таким образом dy( dx.
dy= |
Интегрирование способом подстановки заключается в том, что выражение заменяется новой переменной.
Например в интеграле необходимо произвести замену переменной. Обозначим . Найдем дифференциал обеих частей равенства: d(
Дифференциал данного в интеграле переменного значения необходимо выразить через дифференциал введенной нами переменной.
Имеем: (таким образом вторую часть подынтегрального выражения выразили через dt).
Замену подставляем в интеграл
, и под знаком интеграла получаем выражение, зависящее только от введенной новой переменной t. Если замена проведена правильно, то полученный интеграл должен быть табличным. Таким образом, получаем: - ответ выражен через вспомогательную переменную t.
Чтобы получить окончательный ответ, сделаем обратную замену :
=
Подстановка должна выбираться так: если одна часть подынтегрального выражения обозначается за t, то другая должна соответствовать dt с каким-нибудь коэффициентом. В нашем примере
t dt
|
|
Подстановки приводящие к
Пример 1: .Произведем замену переменной: 2+x=t, dx=dt.
Пример 2. . Произведем замену:
.
Пример 3. . Произведем замену:
Тогда интеграл примет вид:
Пример 4. Произведем замену:
Пример 5. . Произведем замену:
= -3
Пример 6. Произведем замену: sinx=t; cosxdx=dt
Пример 7. . Произведем замену: lnx=t;
+C.
Задание №11.
№ | ЗАДАНИЕ | ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. | | 1) |
2. | | 1) 4)- |
3. | | 1) |
4. | | 1) |
5. | | 1) |
6. | | 1) |
7. | | 1) |
8. | | 1) |