Файл: Методические указания для проведения лабораторной работы Томск 2013 Дисциплина Планирование и организация эксперимента.doc

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.01.2024

Просмотров: 28

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Томский политехнический университет


Кафедра компьютерных измерительных систем и метрологии

________________________________________________


Планирование и организация эксперимента
Основы планирования дробного факторного

эксперимента

Методические указания для проведения


лабораторной работы

Томск 2013


Дисциплина: Планирование и организация эксперимента

Время выполнения: 4 часа

Разработали: Казаков В. Ю.

1. Цель работы: изучение основ планирования дробных факторных экспериментов.
2. Используемые технические средства: компьютерный класс, специализированный программный пакет статистических вычислений.
3. Программа работы.


    1. Ознакомиться с краткой сводкой общих теоретических положений планирования дробных факторных экспериментов (см. Приложение 1.)

    2. Выполнить свой вариант задания.

    3. В зависимости от результата анализа сделать выводы и оформить отчет о проделанной лабораторной работе.

Приложение 1.

Дробный факторный эксперимент
При большом числе факторов ПФЭ требует большого числа опытов. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) позволяет сократить число опытов, но при этом увеличиваются ошибки в определении коэффициентов, а также исключается возможность определения некоторых парных взаимодействий факторов. Ортогональность же матрицы сохраняется.

ДФЭ составляет часть ПФЭ, которая называется дробной репликой. В качестве дробно реплики используются такие части ПФЭ, как 1/2 реплики (полуреплика), 1/4 реплики, 1/8 реплики и т.д. Ус­ловное обозначение реплик и количество опытов приведены в таблице.


Число факторов

Дробная реплика

Обозначение

Количество опытов

ДФЭ

ПФЭ

3

4

4

5

5

½ реплика от 23

½ реплика от 24

¼ реплика от 24

½ реплика от 25

¼ реплика от 24


2 3 -1

2 4 -1

2 4 -2

2 5-1

2 5 -2

4

8

4

16

8

8

16

16

32

32



Применение ДФЭ эффективно в том случае, если предполагается, что отсутствует или мало влияние на выходной параметр эффектов взаимодейст­вии и соответственно коэффициенты регрессии при парных произведени­ях примерно равны нулю. Но в любом случае при большом числе факторов (более 4) ПФЭ становится недостаточно эффективным, так как число опытов с ростом числа факторов увеличивается по показательной функции. Правда, при этом снижаются ошибки в определении коэффициентов полинома, так как все опыты используются для оценки каждого из них.

Процесс образования реплик можно проследить на примере. Рассмотрим задачу оценки параметров регрессии



Здесь имеется 8 неизвестных коэффициентов, для которых ПФЭ типа 23 дает 8 уравнений. Если известно, что эффекты взаимодействия малы или незначимы, то число неизвестных сокращается до четырех: . Для определения данных параметров можно использовать план ПФЭ типа 22 =23–1. Пусть задана матрица ПФЭ типа 22 (см. таблицу 2).


Номер опыта

x0

x1

x2

x1 x2

(x3)

y

1

2

3

4

+

+

+

+

-

+

-

+

-

-

+

+

+

-

-

+

y1

y2

y3

y4


По этой матрице можно получить оценки параметров регрессии



Пусть имеется достаточная уверенность, что в выбранных интервалах варьирования x1 и x2 значение будет незначимым. Тогда столбец (x1 x2 ) можно использовать для фактора x3. Проведя такой эксперимент, сможем сделать оценку четырех коэффициентов, т.е. получить зависимость




При этом оценки полученных коэффициентов будут смешанными: смешан с и , т.к. столбец совпадает со столбцом ( ). т.е.



Рассмотренная матрица составляет полуреплику от 23, то есть 2 3 – 1.

Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия. При планировании нужно знать, какие эффекты оцениваются совместно, т.e. определить разрешающую способность дробных реплик. Для этого пользуются понятиями "определяющие контрасты (ОК) " и "генерирующие соотношения" (ГС). В рассмотренном случае ДФЭ типа 23–1 могут быть два разных ГС:

Определяющий контраст для нашего случая получается умножением левой и правой частей ГС на x3, т.е. .

Таким образом, произведения столбцов матриц, равные 1 или -1 называются определяющими контрастами, которые помогают найти смешанные эффекты, не изучая матрицу планирования. Для этого нужно последовательно помножить независимые переменные на ОК. Для приведенного примера:



Чтобы получить высокую разрешающую способность реплик, нужно стремиться к такому их плану, чтобы линейные эффекты были смешаны с взаимодействиями более высокого порядка, т.к. они чаще бывают равными нулю.

Пример. Условия эксперимента определены и заданы в таблице



Фактор xi

Уровни факторов

Интервал варьирования Δxi

-1

0

1

x1

x2

x3

x4

200

3

40

1

220

6

100

2

240

9

160

3

20

3

60

1



Для матрицы планирования выбираем полуреплику 24–1 от 24 , заданную генерирующим соотношением . Определяющий контраст . Умножая определяющий контраст последовательно на , определяем совместные оценки линейных эффектов и эффектов взаимодействия (смешения)



Матрица планирования и результаты экспериментов приведены в таблице

Номер опыта

x0

x1

x2

x3

x4








y

1

2

3

4

5

6

7

8

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

-

+

+

-

-

+

+

-

-

-

-

+

+

+

+

-

+

+

-

+

-

-

+

+

-

-

+

+

-

-

+

+

-

+

-

-

+

-

+

+

+

-

-

-

-

+

+

9

15

25

10

14

5

20

26

Вычислив оценки коэффициентов , получим уравнение регрессии:



Дальнейший анализ проводится также как и в случае ПФЭ.
Задание: варианты задания см.

Короткова Е.И. Практикум по планированию экспериментов. – Томск. Изд-во ТПУ. 2003