Файл: Математическое введение. Векторная алгебра.pdf

26 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Работа силы реакции опоры
A
N
= N ⋅ S ⋅ cosα = mg ⋅ S ⋅ cosα = 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos90° =
= 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos90° = 0 Дж (между векторами нормальной реакции опоры
G
N
и перемещения угол α = Ответ работа, совершаемая силами тяги
G
F
, трения
F
G
тр
, нормальной реакции опоры
G
N
и тяжести
mg
G
,
A
F
= 5⋅10 6
Дж, тр
F
A
= −10 6 Дж,
A
N
= 0 Дж,
A
mg
= 0 Дж соответственно.
Задача Человек тянет сани, прикладывая силу F = 10 Н под углом α = 30° к горизонту. Под действием этой силы сани перемещаются горизонтально со скоростью v = 5 мс. Найти мощность P, развиваемую силой.
Дано: F = 10 Нм с.
Найти: Р.
Мощность P =
G
F
⋅
G
v
= F ⋅ v ⋅ cosα =
= 10 ⋅ 5 ⋅ cos30° = 10 ⋅ 5 ⋅
3 2
= 42 Вт.
Ответ: развиваемая силой мощность P = 42 Вт.
Задача Рамка площадью S = 1 м расположена в однородном магнитном поле с индукцией В = 10
–3
Тл так, что между векторами нормали
G
n
и индукции
G
B
угол α = 60°. Определить поток Ф вектора
G
B
через рамку.
Дано: S = 1 мВ Тл.
Найти: Ф.
По определению магнитного потока Ф = В ⋅ S ⋅ cosα = 10
–3
⋅ 1 ⋅ cos60° = 0,5 ⋅ 10
–3
Вб.
Ответ: магнитный поток Ф = 0,5 ⋅ 10
–3
Вб.

1. Векторная алгебра
27
1.9. ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ СОМНОЖИТЕЛЕЙ
Если известны координаты двух векторов
G
a
1
= {a
x1
, a
y1
, a
z1
} и
G
a
2
= {a
x2
, a
y2
, a
z2
}, то скалярное произведение этих векторов ⋅
G
a
2
= a
x1
⋅ a
x2
+ a
y1
⋅ a
y2
+ a
z1
⋅ a
z2
. (Примеры решения задач
Задача Найти длины векторов
G
a
1
= {3, 2, 1} и
G
a
2
= {2, –3, 0} и их скалярное произведение.
Дано:
G
a
1
= {3, 2, 1};
G
a
2
= {2, –3, 0}. Найти |
G
a
1
|, |
G
a
2
|,
G
a
1
⋅ Искомые длины
| =
G
a
1 2
=
3 2
1 2
2 2
+ +
=
14
,
|
G
a
2
| =
G
a
2 2
=
2 3
0 2
2 2
+ −
( )
+
=
13
,
G
a
1
⋅
G
a
2
= 3 ⋅ 2 +2 ⋅ (–3) + 1 ⋅ 0 = Значит, векторы
G
a
1 и
G
a
2
перпендикулярны.
Ответ: |
G
a
1
| =
14
, |
G
a
2
| =
13
, скалярное произведение
G
a
1
⋅
G
a
2
= Задача Найти угол α между векторами
G
a
1
= {–2, 1, 2} и
G
a
2
= {–2, –2, Дано
G
a
1
= {–2, 1, 2};
G
a
2
= {–2, –2, 1}. Найти (
G
a
1
,^
G
a
2
) = Длины векторов
| =
−
( )
+ +
2 1
2 2
2 2
= 3,
|
G
a
2
| =
−
( )
+ −
( )
+
2 2
1 2
2 2
= Скалярное произведение = (–2) ⋅ (–2) +1 ⋅ (–2) + 2 ⋅ 1 = Так как
G
a
1
⋅
G
a
2
= |
G
a
1
| ⋅ |
G
a
2
| ⋅ cos(
G
a
1
,^
G
a
2
), тот. е. α = arccos
4 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
≈ Ответ угол между векторами α ≈ 63°37′.

28 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Векторным произведением вектора
G
a
(множимое) на непараллель- ный с ним вектор
G
b
(множитель) называется третий вектор
G
c
(произведение, который определяется следующим образом) модуль |
G
c
| численно равен площади параллелограмма (АОВL на рис. 1.18), построенного на векторах
G
a
и
G
b
,
|
G
c
| = |
G
a
| ⋅|
G
b
| ⋅ sin(
G
a
1
,^
G
a
2
); (1.20)
2) линия, вдоль которой направлен вектор
G
c
, перпендикулярна плоскости упомянутого параллелограмма) направление вектора
G
c
выбирается так, чтобы векторы
G
a
,
G
b
и
G
c
составляли правую систему, те. вектор
G
c
направлен в такую сторону, из которой переход вращением от первого вектора — сомножителя
G
a
ко второму вектору-сомножителю
G
b
через наименьший угол виден против хода часовой стрелки.
Обозначения:
G
c
=
G
a
×
G
b
или
G
c
= [
G
a
,
G
b
].
1.11. ВЫРАЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ СОМНОЖИТЕЛЕЙ
Если известны координаты двух векторов
G
a
= {a
x
, a
y
, a
z
} и
G
b
= {b
x
,
b
y
, b
z
}, то векторное произведение этих векторов,
G
b
] = (a
y
b
z
– a
z
b
y
)
G
i
+ (a
z
b
x
– a
x
b
z
)
G
j
+ (a
x
b
y
– a
y
b
x
)
G
k
. (1.21)
1.12. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В физике многие величины определяются как векторное произведение других величин. Так, моментом силы
G
F
относительно неподвижной точки Она- зывается вектор
G
M
, равный векторному произведению радиус-век- тора
G
r
, проведенного из точки О в точку приложения силы, и вектора силы Рис. 1.18

1. Векторная алгебра
29
G
G G
M
r F
= [ , ]
(На рисунке 1.19 векторы и
G
F
лежат в горизонтальной плоскости, а вектор момента силы
G
M
перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов и направлен вверх. Моментом импульса
G
p
относительно неподвижной точки Она- зывается вектор
G
L
, равный векторному произведению радиус-векто- ра
G
r
, проведенного из точки О к материальной точке, обладающей импульсом
G
p
G
G G
L
r p
= [ , ]
(На рисунке показано, что тело движется по окружности против часовой стрелки. Так как импульс
G
p
=
mv
G
, где m — масса тела,
G
v
— его скорость, он, как и вектор
G
v
, направлен пока- сательной к траектории. По правилу векторного произведения двух векторов и
G
p
результирующий вектор
G
L
лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости перемножаемых векторов, и направленна нас, так как векторы
G
r
,
G
p
,
G
L
составляют правую систему. Изучая электромагнетизм, вы познакомитесь с силой Лоренца
[ , Л v B
=
G
G
G
, действующей на заряд q, движущийся со скоростью
G
v
в магнитном поле На рис. 1.21 положительно заряженная частица с зарядом q движется вправо. Магнитное поле направлено на нас. Сила Лоренца Л лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости перемножаемых векторов
G
v
и
G
B
, и направлена вниз. Мо-
Рис. Рис. Рис. 1.21

30 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
дуль силы Лоренца Л = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sinα, где α — угол между векторами и
G
B
4. Сила Ампера
G
F
A
= I [
G
l
,
G
B
] действует на проводник длиной l стоком, помещенный в поле с магнитной индукцией
G
B
. Модуль силы Ампера F
A
=
I
l
B
sinα, где α − угол между направлением тока и вектором На рис. 1.22 ток I течет слева направо, магнитное полена- правлено вверх. Вектор А перпендикулярен плоскости рисунка (в ней лежат перемножаемые векторы и
G
B
) и направленна нас из плоскости рисунка.
Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение векторного произведения двух векторов. В каком случае модуль векторного произведения двух векторов положителен Равен нулю. Изменится ли направление и модуль векторного произведения двух векторов, если поменять местами перемножаемые векторы. Возможна ли ситуация, когда модули векторного и скалярного произведений одних и тех же векторов равны Если ваш ответ утвердительный, приведите пример.
Рис. 1.22

2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной
31
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Цель этого раздела — исследование поведения функции y = y (x) в окрестности точки x.
2.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Функция y = y (x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение функции Δy можно представить в виде = А ⋅ Δx + о (Δx), (где Ане зависит от Δx, но при этом зависит от x, а о (Δx) − бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δy, те о x
x
Δ →
Δ
⎛
⎞ Главная, линейная по Δx, часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x и обозначается = А ⋅ Δx. (Найдем А, учитывая, что Ане должно зависеть от Δx; при этом пусть приращение Δx стремится к нулю А
=
Δ
Δ
Δ
Δ
y
x
o x
x
−
( )
; (2.3)
lim
Δx
A A
→
=
0
; (2.4)
А
= lim
( )
lim
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
x
x
y
x
o x
x
y
x
→
→
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
0 0
. (Производной функции y = y (x) в точке x называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при стремлении последнего к нулю lim
Δ
Δ
Δ
x
y
x
→0
(при условии, что он существует).
Принято обозначать = ′
( )
=
=
+
(
)
−
( )
→
→
y
y x
y
x
y x
x
y x
x
x
x
lim lim
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
0 0
. (2.6)

32 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование производной
′
( )
y x
. При этом =
′
y
⋅ dx. (Поэтому процесс нахождения производной также называют дифференцированием. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Как видно из рис. 2.1, тангенс угла наклона секущей АВ
tg
ϕ =
=
=
+
−
BC
AC
y
x
y x
x
y x
x
Δ
Δ
Δ
Δ
(
)
( )
. (При Δx → 0 секущая АВ стремится к положению касательной А тогда tgϕ = y ′(x), где
ϕ — угол наклона касательной к графику функции в точке Значение
′
( )
y x
0
позволяет записать уравнение касательной к кривой y = y (x) в точке x
0
:
y – y
0
=
′
( )
y x
0
⋅ (x – x
0
), (а также уравнение нормали – y
0
= –
1 0
′
( )
y x
⋅ (x – x
0
), при
′
( )
y x
0
≠ 0 При
′
( )
y x
> 0 в точке x функция является возрастающей, а при
′
( )
y x
<0 — убывающей. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Как было получено, приращение функции = dy + о (Δx). (При Δx → 0, Δy ≅ Таким образом, линейное приращение функции можно оценивать по дифференциалу Рис. 2.1

2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной Вернемся к рис. 2.1: Δy = ВС; о (Δx) = В dy = DС.
Как видно, дифференциал функции графически изображается приращением ординаты касательной. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Понятие производной введено Г. Лейбницем (Германия) и И. Ньютоном (Великобритания) в конце XVII века практически одновременно. Лейбниц решал геометрическую задачу о проведении касательной к плоской кривой. Ньютон же рассматривал движение точки и ввел понятие скорости в данный момент времени. Так как значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимой переменной, можно использовать понятие производной при определении скорости различных процессов.
Замечания
1. Для независимой переменной x по определению dx = Δx.
2. Наряду с обозначением y ′ используют запись y ′=
dy
dx
3. В физике для производной повремени приняты следующие обозначения = x (t);
x
dx
dt
=
2.5. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Для нахождения производных пользуются таблицей производных элементарных функций.
Таблица производных элементарных функций
Функция
Производная
Функция
Производная
С постоянная МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Функция
Производная
Функция
Производная
1
x
n
−
+
n
x
n 1
(5)
tg x
1 2
cos x
(15)
x
1 2
⋅ x
(6)
ctg x
−
1 2
sin x
(16)
x
n
1 1
n
x
n
n
⋅
−
(7)
arcsin x
1 1
2
− е хе ха ха ха Существуют следующие основные правила дифференцирования (здесь С — постоянная, аи функции от x, имеющие производные (Приведем примеры нахождения производных.
Пример 1. Найти производную от функции
y
x
x
x
=
−
+
−
5 2
3 4
3 Основываясь на формуле (2.13), имеем =
( )
′ −
( )
′ +
( )
′ −
( )
′
y
x
x
x
5 2
3 4
3 Далее, применяя формулы (2.12) и (2.14), получаем =
( )
′ −
( )
′ +
( )
′
y
x
x
x
5 2
3 Продолжение табл