Файл: Логарифмические уравнения.docx

log _a x = b, a > 0, a ¹ 1.

Это уравнение решается на основании определения логарифма:

если log_aх = b, то x= a^b.
Пример 1. Решить уравнение (Слайд 14)

Решение. Область допустимых значений находится из неравенства

ОДЗ: 3х + 1 > 0, , .

Воспользуемся определением логарифма:

,

,

х=8, принадлежит ОДЗ.

Ответ: 8

Пример 2. Решить уравнение

Решение:

Если по каким-либо причинам, мы не можем найти ОДЗ, в конце необходимо сделать проверку.

По свойству логарифмов верно равенство ,

из этого равенства по определению логарифма получаем

(x+1)(х+3)=8, ,

,

откуда , .

Проверка: , ,

,

, 3=3.

, ,

, левая часть уравнения не имеет смысла, поэтому не является корнем этого уравнения.

Ответ:

---

.

Решите простейшее уравнение (решает обучающийся).

-по определению логарифма решаем

ОДЗ:8х-4

8х-4

8х-4=

8х=4+4

8х=8

Х=1

Ответ: х=3

4.2 Рассмотрим второй метод решения логарифмических уравнений потенцирование. (Слайд 14)

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log _a f(x) = log _a g(x) к уравнению f(x) = g(x) это и называется потенцированием. При таком методе решения возможно получение посторонних корней. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение

log5(2x + 3) = log5(x + 1)

Решение. log5(2x + 3) = log5(x + 1) 2x + 3 = x + 1 x = – 2.

Сделаем проверку: log5(2·(– 2) + 3) = log5(– 2 + 1).

Получаем, что log5(–1) = log5(–1)

С одной стороны, имеем верное равенство, но под знаком логарифма получили число «– 1», какой вывод можем сделать?

Предполагаемый ответ: Под знаком логарифма получили отрицательное число. Но мы знаем, что под знаком логарифма могут стоять только положительные числа.

Преподаватель: Да, так как область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел, то x = – 2 не является корнем данного уравнения. И в ответе запишем, что корней нет.

Решить уравнение методом потенцирования

log_1/2(3x-1)=log_1/2(6x+8) .

Решение

log_1/2(3x-1)=log_1/2(6x+8).

 О.Д.З.           

Используя теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями, получаем:

    3х-1=6х+8,

   -3х=9,

x=-3, не принадлежит ОДЗ, т.е. посторонний корень.

Ответ: нет корней.

3. Рассмотрим третий метод решения логарифмических уравнений -введение новой переменной (Слайд 15)

---

Рассмотрим логарифмическое уравнение, которое введением новой переменной приводится к квадратному.

Уравнения вида

где a > 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа.

Пусть t = log_a f(x), tÎR. Уравнение примет вид Аt² + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая ОДЗ, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

 

Пример 6. Решить уравнение lg ² x – lg x – 6 = 0.

Решение. ОДЗ интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lg x, tÎR.

Уравнение примет вид t ² – t – 6 = 0. Его корни t₁ = –2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 ^–2 или х = 10 ³. Оба значения x удовлетворяют ОДЗ данного уравнения (х > 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.
Решить уравнение методом введения новой переменной (решает студент):



Решение. ОДЗ интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lоg₂ x, tÎR.

Уравнение примет вид t ² –5t + 6 = 0. Его корни t₁ = 2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lоg₂ x = 2 или lоg₂ x = 3,

х = 2² или х = 2 ³. Оба значения x удовлетворяют ОДЗ данного уравнения (х > 0).

Ответ. х = 4; х = 8.

5. 
   Закрепление изученного материала.
   

5.1. Пройдите по ссылке и выполните задание

Соотнесите уравнение и метод решения

log 3(2х - 1) = log 3 27

lg 2 х - 3 lg х - 4 = 0

log2(x+5)=3

log23x+5log3x-2=0

log2(x + 3) = log216

5.2. Решите устно уравнения: (Слайд 16)

1. х=27

2

---

х=27

3. х=8

4. х=2
5.3. Самостоятельная работа.

Вариант 1.	Вариант 2.
а) ; б) ; в) ; г) д)	а) ; б) ; в) ; г) ; д)

VI. Подведение итогов занятия Рефлексия.

Преподаватель: Давайте обобщим сведения, полученные сегодня на занятии. Какие уравнения мы сегодня решали и какие знания нам помогали их решать

VII.Домашнее задание:



1. Работа с конспектом,

2. Решить уравнения, карточки с разноуровневым дом задание. Кто желает может сделать все уровни

1 уровень log 3 x= 4 log 2 x= -6 logx 64 = 6 - log x64 = 3 2 log x8 + 3 = 0

2 уровень log 3 (2х - 1) = log 3 27 log 3 (4х+5)+log 3 (х +2) = log 3 (2х +3) log 2 х = - log 2 (6х - 1) 4 + log 3(3-х) = log 3 (135-27х) log (х - 2) + log 3 (х - 2) = 10

3 уровень 2log 23 х - 7 log 3 х + 3 = 0 lg 2 х - 3 lg х - 4 = 0 log 2 3 х - log 3 х - 3 = 2 lоg 2 3

Преподаватель. И в конце занятия давайте оценим ваши впечатления. Что узнали нового? Было ли интересно, познавательно? Какие возникли трудности в усвоении нового материала? Сложно ли было вам включиться в учебный процесс?

---

Для этого я предлагаю заполнить «лист самоанализа деятельности обучающегося».
Лист самоанализа деятельности обучающегося
Из предложенных утверждений отметь те, с которыми вы согласны.
Мне было интересно работать на занятии.

Данная тема понятна для меня.

В процессе работы у меня возникли затруднения.

Результатом работы я доволен.
Поделись впечатлениями о занятии: что понравилось или не понравилось________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

Рефлексия

1. 
   Дайте оценку своей деятельности на уроке: 
   

- Я работал отлично, в полную силу своих возможностей, Чувствовал себя уверенно.

- Я работал хорошо, но не в полную силу, испытывал чувство неуверенности, боязни, что отвечу неправильно.

- У меня не было желания работать. Сегодня не мой день.

2. 
   С каким настроением вы уходите с урока?
   

Приклейте на свою оценочную карту стикер соответствующего цвета (прием «Светофор»):

- красный- тревожно, тему не понял;

- желтый- спокоен, скорее понял, чем нет:

- зеленый- понял всю тему, уверен, что смогу решить самостоятельную работу.

---