Файл: Исследование устойчивости методом функций ляпунова цель расчетнографической работы.pdf

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2.
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Цель расчетно-графической работы:
Исследование устойчивости нелинейных систем на основе использования теорем Ляпунова об устойчивости.
Метод функций Ляпунова
Метод функций Ляпунова состоит в непосредственном исследовании устойчивости положения равновесия системы при помощи подходящим образом подобранной функции
— функции Ляпунова, причем делается это без предварительного нахождения решений системы.
Ограничимся рассмотрением автономных систем
(1) для которых
, есть точка покоя.

Функция
, определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она в области
(2) где — достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в ноль лишь при
. Так, в случае функции и будут определенно-положительными, причем здесь величина может быть взята сколько угодно большой.
Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (2) может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в ноль и при
. Например, функция будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию можно записать так:

откуда видно, что она обращается в ноль и при
, а именно при и любых и таких, что
Пусть есть дифференцируемая функция своих аргументов и пусть являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции по времени будем иметь:
(3)
Величина
, определяемая формулой (3), называется полной производной функции по времени, составленной в силу системы уравнений (1).
Теорема (1) Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (1) существует знакоопределенная функция
(функция Ляпунова), полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с ,

или тождественно равная нулю, то точка покоя
, системы (1) устойчива.
Теорема (2) Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (I) существует знакоопределенная функция
, полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть также функция знакоопределенная, знака противоположного с , то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.
Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
(1)
Решение. Выберем в качестве функции функцию
. Эта функция определенно-положительная.
Производная функции в силу системы (1) равна

Из теоремы 1 следует, что точка покоя системы (1) устойчива. Однако асимптотической устойчивости нет: траектории системы (1) — окружности и они не стремятся к точке при
Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
(2)
Решение. Выберем в качестве функции Ляпунова функцию вида
, далее найдем

Таким образом, есть определенно-отрицательная функция. В силу теоремы 2 точка покоя системы (2) устойчива асимптотически.
Общего метода построения функции Ляпунова нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде и т.д.
Пример
3. С
помощью
функции
Ляпунова
исследовать
на
устойчивость
тривиальное
решение системы

Решение. Будем искать функцию Ляпунова в виде
, где
— произвольные параметры. Имеем
Полагая
, получим, что
Таким образом, при всяком и функция будет определенно-положительной, а ее производная
, составленная в силу данной системы, является определенно-отрицательной. Из теоремы 2 Ляпунова следует, что тривиальное решение данной системы устойчиво асимптотически.
Если бы в указанной выше форме функцию не удалось найти, то ее следовало бы поискать в форме или и т.д.

Теорема (3) Ляпунова о неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция такая, что
. Если ее полная производная
, составленная в силу системы (1), есть определенно- положительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция принимает положи тельные значения, то точка покоя
, неустойчива.
Рисунок 1
Теорема (4) Четаева о не устойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки покоя
, функция
, удовлетворяющая в некоторой замкнутой окрестности точки покоя условиям:

1) в сколь угодно малой окрестности точки покоя существует область
, в которой
, причем в тех граничных точках
, которые являются внутренними для (рис. 1);
2) точка покоя является граничной точкой области
;
3) в области производная
, составленная в силу системы (1), определенно-положительная.
Тогда точка покоя
, системы (1) неустойчива.
Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

Решение. Возьмем функцию
. Тогда есть функция определенно-положительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых
(например, вдоль прямой
), то выполнены все условия теоремы 3 и точка покоя неустойчива (седло).
Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Четаева:
1) при
;

2)
— определенно-положительная в области
Следовательно, точка покоя неустойчива.
Пример 6. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

Порядок выполнения работы:
На основе приведенных в теоретической части теорем Ляпунова и примеров решения, выполнить следующие задания.
Задание 1. С помощью функций Ляпунова исследовать устойчивость тривиального решения системы.

Задание 2. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы (0, 0) для следующих систем:
Отчет должен содержать
1. Титульный лист.
2. Выполненные задания согласно своего варианта (ваш порядковый номер в списке своей группы).
Контрольные вопросы
1 Теорема (1) Ляпунова об устойчивости.
2 Теорема (2) Ляпунова об асимптотической устойчивости
3 Теорема (3) Ляпунова о неустойчивости.
4 Какие функции называются: знакоопределенными; знакопостоянными и знакопеременными?