1. 
   Даны вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты – из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А.
   

Решение:



Рис. 1

Составим уравнение медианы АD. Координаты точки D определяем по формулам координат середины отрезка . D (5; 3). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Получаем .

Уравнение медианы AD: .

Составим уравнение высоты, проведенной из вершины В. Так как ВЕ  АС, следовательно . Угловой коэффициент прямой АС определяем по формуле . Следовательно, . Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ (x₀,y₀) в данном направлении .

Уравнение высоты из вершины В: , .

Для нахождения координат точки пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты, проведенной из вершины В нужно решить совместно из уравнения . Точка О (4; ).

Длина медианы определяется по формуле расстояния d между точками А (x₁,y₁)и D (x₂,y₂) на плоскости

---

.

А (1,-3), D (5,3) .

2. 
   Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и образующих с прямой .
   

Решение:



Рис. 2

Уравнения искомых прямых имеют вид , так как прямые проходят через начало координат. Задача имеет два решения (Рис. 2). Для решения используем формулу , причем, поскольку нас интересует острый угол, правую часть формулы возьмём по абсолютной величине. Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен k. Угловой коэффициент заданной прямой равен 3. Так как угол между этими прямыми равен , то .
Тогда , отсюда и .

Решая каждое из получившихся уравнений, находим, что угловой коэффициент одной из прямой , а другой . Уравнения искомых прямых .

3. 
   Даны вершины А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеции ABCD (AD  BC). Составить уравнение средней линии трапеции. Полученное уравнение привести к уравнению в «отрезках» и к нормальному.
   

Решение: Составим уравнение прямой ВС (уравнение прямой, проходящей через две точки).

От общего уравнения прямой ( ) перейдем к уравнению с угловым коэффициентом ( ).

---

Средняя линия трапеции параллельна ВС и проходит через середину отрезка АВ. Е – середина АВ, следовательно Е ( ).

Так как прямые параллельны, то . Используем уравнение прямой



Уравнение средней линии трапеции: .

Уравнение прямой в отрезках:



Рис. 3

, а – величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОХ, b - величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОY.

Перенося свободный член данного уравнения в правую часть равенства, получим . Деля обе части равенства на -5, будем иметь . Следовательно, (Рис. 4).



Рис. 4

Нормальное уравнение прямой (Рис. 5) , р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,  - угол, который образует этот перпендикуляр с положительным направлением оси ОХ.



Рис. 5

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель , причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена С в общем уравнении прямой.

Находим нормирующий множитель (знак минус берется потому, что С = 5  0). Таким образом, нормальное уравнение полученной прямой имеет вид

---

.

Направляющие косинусы . Длина перпендикуляра из начала координат к прямой .

4. 
   Найти расстояние между параллельными прямыми .
   

Решение: Искомое расстояние найдем как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой . Её ордината . Итак, на первой прямой выбрана точка А (1;3). Найдем теперь расстояние этой точки до второй прямой по формуле .

.

5. 
   Даны точки М₁ (-3; 7; -5) и М₂ (-8; 3; -4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярной вектору .
   

Решение: Найдем координаты нормального вектора . Имеем .

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М ( ). Перпендикулярно данному вектору : .

Искомое уравнение плоскости: .

6. 
   Через точку пересечения плоскостей провести плоскость, параллельную плоскости . Найти расстояние точки М₁ (1; -1; -1) до построенной плоскости.
   

Решение:

Плоскости пересекаются, следовательно

---

. Решив систему уравнений , получим точку М (3; 5; 7).

Так как искомая плоскость параллельна плоскости , то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор данной плоскости ( - условие параллельности двух плоскостей).

Используя теперь уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно данному вектору , получаем . Это и есть искомое уравнение.

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле . В данном случае .

7. 
   Плоскость  проходит через точки: . Плоскость  проходит через ось ОХ и точку . Найти угол между плоскостями  и .
   

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки имеет вид . В данном случае .

Раскрывая этот определитель, получим - уравнение плоскости . Если плоскость проходит через ось ОХ, А = 0, D = 0(общее уравнение плоскости ) т. е.

---

Смотрите также файлы

• Электротехнический университет лэти.doc

• Комплексные единицы словообразования Выполнили Нуртазина М. Нуршакул Н.pdf

• Практическая работа 7 Задание 1.docx

• Министерство здравоохранения республики казахстан.docx

• Согласие Пользователей, законных представителей несовершеннолетнего на обработку своих персональных данных и персональных данных своего ребенка в информационной Системе автоматизации процесса учета услуг питания.docx