ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Выпишем основную матрицу системы:
-1
-1
-1
64
-1
-1
-1
24
-1
-1
-1
204
x1
x2
x3
x4
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.В матрице B 1-й и 2-й столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.
-1
-1
64
1
-1
-1
24
1
-1
-1
204
1
x2
x3
x4
Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0
0
-40
0
-1
-1
24
1
-1
-1
204
1
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0
0
-40
0
0
0
180
0
-1
-1
204
1
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0
0
-40
0
0
0
180
0
-1
-1
204
1
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
0
0
180
0
-1
-1
204
1
Найдем ранг матрицы.
0
0
180
0
-1
-1
204
1
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2,x3, значит, неизвестные x2,x3 – зависимые (базисные), а x1,x4 – свободные.Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
0
0
0
-180
-1
-1
1
-204
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:- x2 - x3 = x1 - 204x4Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x2,x3 через свободные x1,x4, то есть нашли общее решение:x3 = - 180x4x2 = - x1 + 204x4Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.В нашем случае n=4, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 2-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2.Достаточно придать свободным неизвестным x1,x4 значения из строк определителя 2-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x2,x3.Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.
