Выпишем основную матрицу системы:
-1
|
-1
|
-1
|
64
|
-1
|
-1
|
-1
|
24
|
-1
|
-1
|
-1
|
204
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
|
|
|
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.В матрице
B 1-й и 2-й столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один. Для системы это означает перенос членов с x
1 в правую часть уравнений.
-1
|
-1
|
64
|
1
|
-1
|
-1
|
24
|
1
|
-1
|
-1
|
204
|
1
|
x2
|
x3
|
x4
|
|
|
|
|
Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0
|
0
|
-40
|
0
|
-1
|
-1
|
24
|
1
|
-1
|
-1
|
204
|
1
|
|
|
|
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0
|
0
|
-40
|
0
|
0
|
0
|
180
|
0
|
-1
|
-1
|
204
|
1
|
|
|
|
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0
|
0
|
-40
|
0
|
0
|
0
|
180
|
0
|
-1
|
-1
|
204
|
1
|
|
|
|
В матрице
B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x
2,x
3, значит, неизвестные x
2,x
3 – зависимые (базисные), а x
1,x
4 – свободные.Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:- x
2 - x
3 = x
1 - 204x
4Методом исключения неизвестных находим
нетривиальное решение:Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x
2,x
3 через свободные x
1,x
4, то есть нашли
общее решение:x
3 = - 180x
4x
2 = - x
1 + 204x
4Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.В нашем случае n=4, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 2-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2.Достаточно придать свободным неизвестным x
1,x
4 значения из строк определителя 2-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x
2,x
3.Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.