Файл: Техническая физика.pdf

10 Решая эту систему уравнений, находим для радиусов стационарных орбит электрона в атоме водорода следующее выражение
2 2
0 2
4
,
1, 2,3
n
e
n
r
n
m e



(4) Вводя в качестве универсальной константы так называемый боровский радиус как радиус первой стационарной орбиты, n=1, электрона в атоме водорода)
2 10 0
2 0
4 0,529 10
м e





,
(5) формулу (4) можно записать в виде
2
,
1,2,3
n
r
an
n


(6) Для скорости электрона на ой стационарной орбите из (3) получаем значение
2 0
4
n
e
n



(7) Отсюда находим, в частности, что на первой стационарной орбите электрон движется со скоростью
6 2,2 10 мс, совершая один полный оборот за время Т с. Соответственно, полная энергия E
n
электрона, движущегося по ой стационарной орбите, складывается из его кинетической энергии
2 4
2 2
2 2
0 2
32
кин
e
n
e
n
m
m e
E
n

 


(8) и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром
2 4
2 2
2 2
0 0
4 16
e
n
n
e
m e
U
r
n

 
 
 
(9) Итак, с учетом (8) и (9), получаем важную формулу теории Бора - формулу квантования энергии электрона в атоме водорода
4 4
2 2
2 2
2 2
2 2
0 0
13,6
эВ 8
кин
e
e
n
n
n
m e
m e
E
E
U
n
h n
n
 



 
 
 
(10) Таким образом, полная энергия электрона в атоме является отрицательной, так как, по определению, отрицательна потенциальная электростатическая энергия взаимодействия электрона с ядром. С ростом номера орбиты полная энергия электрона в атоме возрастает. При этом номер орбиты n является квантовым числом в теории Бора. Если заряд ядра водородоподобных атомов (те. систем с положительно заряженным ядром

11 и одним электроном на оболочке H, He
+
, Li
++
и т.д.) равен Z, то полная энергия электрона в таких атомах имеет вид
4 2
2 2
2 0
8
e
n
m e Z
E
h n

 
(11) На рисунке 5 в соответствии с (10) представлен энергетический спектр электрона в атоме водорода. В области положительных энергий энергетический спектр свободного электрона является сплошным спектром, те. энергия электрона в этом случае не является квантованной величиной и его поведение описывается в рамках классической физики. В области отрицательных значений полной энергии энергетический спектр связанного с атомом электрона становится дискретным. Для наглядности на рисунке 5 каждому возможному значению энергии соответствует энергетический уровень. В стационарном состоянии электрон может находиться на одном из этих дискретных энергетических уровней. Рисунок 5. Энергетический спектр атома водорода

12 Переход электрона с одного уровня на другой (обусловленный изменением энергии электрона) изображен соответствующей стрелкой, начало и конец которой указывают энергетические уровни, между которыми происходит переход. Обычно атом находится в основном состоянии с наименьшим значением энергии, равным E
1
(те. при n=1). В этом состоянии атома электрон движется по первой стационарной орбите, имеющей минимальный радиус, равный боровскому радиусу a. Если атому (те. электрону) сообщить дополнительную энергию, то атом может перейти в возбужденное состояние (см. например, переход 1 на рисунке 5). Электрон при этом переходит на орбиту большего радиуса. К возбуждению атомов могут приводить различные процессы столкновение атомов при хаотическом тепловом движении, пропускание через газ потока высокоэнергетических частиц (электронов, альфа-частиц и др, отдающих энергию при соударении с атомами, и, наконец, поглощение атомами электромагнитного излучения в широкой области спектра. Если энергия, переданная электрону, будет достаточно велика, то он может преодолеть силу притяжения к ядру и оторваться от атома, те. происходит процесс, называемый ионизацией атома. Энергией ионизации называют наименьшую энергию, необходимую для удаления электрона из свободного атома в его низшем энергетическом состоянии на бесконечность Из рисунка 5 видно, что минимальная энергия, необходимая для ионизации атома водорода (переход 2), равна
1 1
13,6 эВ
ион
E
E
E
E





, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Как и любая физическая система, атом стремится занять состояние с наименьшей энергией, те. в возбужденном состоянии, характеризующимся большей энергией, он долго находиться не может. Поэтому через время

10
-
8 с возбужденный атом самопроизвольно (спонтанно) переходит в состояние с меньшей энергией, испуская при переходе фотон. Такой процесс продолжается до тех пор, пока атом не окажется в основном состоянии. Набор спектральных линий, соответствующих излучению атома, возникающему при всевозможных переходах с понижением энергетического уровня называют спектром излучения атома.

13 4. Спектральные серии атома водорода Итак, если установлена структура энергетических уровней атома водорода, то согласно второму постулату Бора можно рассчитать и частоты спектральных линий спектра излучения этого атома, используя правило частот (формула 2) и выражение для энергии состояний (формула 10):
4 2
3 2
2 0
1 1
,
8
e
nk
m e
n
k
h
k
n













(12) Так как частота

и длина волны

связаны соотношением с (с - скорость света в вакууме, то для определения длин волн соответствующих переходов формула (12) преобразуется к виду
2 2
1 1
1
nk
R
k
n



 





(13) где R постоянная Ридберга, равная
4 7
1 2
3 0
1,097 10 8
e
m м c





(14) Из уравнений (12) и (13) следует, что при заданных значениях k и меняющихся значениях n (n

k, см.рисунок 5) спектральные линии образуют группы или серии. Как видно изв спектре излучения атома водорода можно выделить следующие спектральные серии (экспериментально наблюдавшиеся еще до появления теории Бора Серия Лаймана (ультрафиолетовая область спектра, соответствует переходам электрона на первый энергетический уровень со всех вышестоящих
2 2
1 1
1 1
1
n
R
n









, где n=2,3,4,…
(15) Серия Бальмера (видимая область спектра, соответствует переходам электрона на второй энергетический уровень со всех вышестоящих
2 2
2 1
1 1
2
n
R
n









, где n= 3,4,5,…
(16) Серия Пшена (инфракрасная область спектра, соответствует переходам электрона на третий энергетический уровень со всех вышестоящих
2 2
3 1
1 1
3
n
R
n









, где n= 4,5,6,…
(17)

14 Серия
Бреккета далекая инфракрасная область спектра, соответствует переходам электрона на четвертый энергетический уровень со всех вышестоящих
2 2
4 1
1 1
4
n
R
n









, где n=5,6,7,…
(18) Переходы для серий Лаймана и Бальмера приведены на рисунке 5. Помимо прочего, формула (13) позволяет оценить энергию ионизации атома водорода
1 2
2 1
1 1
1
ион
hc
E
h
hcR
hcR

















(19)
Формулы (15)
- (18), полученные теоретически в рамках полуклассической боровской модели для расчета длин волн (частот) спектральных линий атома водорода, совпадают с обобщенной формулой
Бальмера-Ридберга, ранее полученной эмпирически путем обобщения экспериментальных данных.
2 2
1 Отметим, наконец, что серия Лаймана может наблюдаться как в спектрах излучения, таки в спектрах поглощения из основного стационарного состояния атома водорода. Все остальные серии регистрируются только в спектрах излучения из-за короткого времени жизни возбужденных состояний.
5. Атом водорода в квантовой механике Квантовая механика – это раздел физики, описывающий свойства и законы движения квантовых объектов электронов, протонов, нейтронов и других элементарных частиц (корпускула также их соединений (атомных ядер, атомов, молекул и др. Она основывается на гипотезе Де Бройля о том, что не только свету присущи одновременно свойства волны и частицы (те. корпускулярно-волновой дуализм, но и электроны и любые другие элементарные частицы материи наряду с корпускулярными свойствам энергия Е и импульс р) обладают также и волновыми характеристиками длина волны

и частота

). По Де Бройлю, любой частице, обладающей импульсом р, сопоставляется волновой процесс с длиной волны

, определяемой по формуле

15
h
p


, а полная энергия частицы определяется частотой волн Де Бройля
E
h


(21) Интенсивность волн Де Бройля в данной точке пространства связана с числом микрочастиц, находящихся в этой точке. Поэтому волновые свойства таких частиц следует описывать на основании статистического подхода. Соответственно, для описания поведения квантовых систем вводится волновая функция (или так называемая пси-функция
( , , , )
x y z t

, которая в общем случае зависит от координат и времени. Эта функция

выбирается таким образом, чтобы квадрат ее модуля удовлетворял следующему соотношению
2
W
dW
p
dV

 
,
(22) где dW – вероятность нахождения частицы в элементе объема dV. Таким образом, физический смысл имеет не сама функция

, а квадрат ее модуля
2

, который определяет плотность вероятности нахождения микрочастицы в точке с координатами (х,у,z) в момент времени t. В результате, на основании расчета квадрата модуля волновой функции можно перейти к вычислению средних значений физических величин, характеризующих рассматриваемую микрочастицу или любой микрообъект. В квантовой механике расчет волновых функций

(x,y,z,t) и величин проводится на основании решения уравнения Шрёдингера. Важным частным случаем общего уравнения Шрёдингера является уравнение Шрёдингера для стационарных состояний, описывающее движение микрочастиц со скоростями в силовом полене зависящем от времени. В этом случае исключена зависимость

от времени. Поэтому значения энергии этих состояний являются фиксированными (не изменяются со временем, а силовое поле, в котором движется частица, является стационарным, те. функция
( , , )
U x y не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае стационарное уравнение
Шрёдингера имеет вид
2 2
( , , )
(
)
( , , )
0
m
x y z
E U
x y z




 

,
(23)

16 где ∆ – оператор Лапласа, E, U – соответственно, полная и потенциальная энергии частицы, m – ее масса. С позиции современной физики, атом водорода является физической системой, которая заведомо не может быть описана классической теорией, не учитывающей волновых свойств движущегося в атоме электрона. В атоме водорода потенциальная энергия кулоновского взаимодействия электрона, движущегося по круговой орбите вокруг ядра в центрально-симметричном поле, описывается следующей формулой
2 0
4
e
U
r

 
,
(24) где r - расстояние отэлектрона до ядра. Решение уравнения Шредингера (23) в стационарном поле с потенциальной энергией (24) для атома водорода возможно только в сферической системе координат r,θ,φ. Атом водорода – простейшая реальная атомная система, для которой были получены точные решения уравнений квантовой механики. Мы не будем воспроизводить здесь все этапы решения уравнения (23) в сферической системе координат, поскольку оно слишком громоздко. Остановимся лишь на анализе важнейших окончательных результатов, которые следуют из его решения, пояснив их физический смысл. Решение уравнения (23) с учетом (24) проводится методом разделения переменных с учетом естественных требований, налагаемых на функцию
( , , )
r
 

: она должна быть однозначной, конечной, непрерывной и гладкой. В процессе решения обнаруживается, что этим требованиям можно удовлетворить при любых положительных значениях полной энергии Е, однако в области отрицательных значений энергии – только при дискретных собственных) значениях Е, а именно
4 2
2 2
0 8
e
n
m e
E
h n

 
, n = 1, 2, 3…
(25) Именно этот случай (Е) представляет особый интерес, поскольку он соответствует связанным состояниям электрона (те. электрону в атоме. При Е

0 движение электрона свободное, те. атом водорода ионизирован. Последовательное решение уравнения Шрёдингера в случае n
0
Е

приводит к формуле (25) для энергетических уровней без использования каких-либо дополнительных постулатов (в отличие от теории Бора. При этом полученная из квантовомеханических соображений формула совпадает с

17 формулой (11), выведенной в рамках боровской модели. Мы приходим к той же самой системе энергетических уровней атома водорода. Различие – в интерпретации состояния электрона. В теории Бора предполагается, что электрон движется по стационарным орбитам. В квантовой теории орбиты теряют смысл, их место занимают пси-функции
( , , )
r
 

. Каждому собственному значению энергии Е соответствуют собственные волновые функции
( , , )
r
 
  
, которые, как выяснилось, содержат три целочисленных параметра n, l, m. Таким образом,
( , , )
nlm
r
 

 
, где n называют главным квантовым числом (определяет собственные значения энергии связанного электрона l орбитальное квантовое число (определяет модуль момента импульса электрона L) и m– магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса электрона L
z
на направление внешнего поля. Все указанные квантовые числа меняются дискретно. Значения квантовых чисел определяют уникальное состояние электрона в атоме. Квантовомеханические расчеты показывают, что вероятность dW обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон как бы размазан по всему объему, образуя облако отрицательного заряда, густота и форма которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. В такой ситуации, как отмечалось выше, понятие орбиты электрона теряет всякий смысл.
6. Определение длин волн спектральных линий в серии Бальмера спектра излучения атома водорода Описание установки Для экспериментального определения длин волн в серии Бальмера в работе используется универсальный призменный монохроматор УМ, предназначенный для спектральных исследований излучения в видимой области спектра. Внешний вид монохроматора и полная оптическая схема экспериментальной установки приведены на рисунке 6.

18 1 – источник света 2 – защитное стекло (для ртутной лампы 3 – конденсор
4 – входная щель 5 – объектив коллиматора 6 коллиматор 7 – сложная спектральная призма склеенная из трех призм (Р, Р, Р 8 – столик с поворотным механизмом 9 – объектив зрительной трубы 10 выходная щель 11 – окуляр зрительной трубы 12 – зрительная труба 13 – отсчетный барабан с указателем угла поворота 14 – указатель зрительной трубы (в виде треугольника 15 – указатель угла поворота на барабане. Рисунок 6. Внешний вид призменного монохроматора УМа) и оптическая схема экспериментальной установки (б) Излучение от исследуемого источника света 1 (ртутная или водородная лампас помощью конденсорной линзы 3 концентрируется на входной щели 4. Если источником света служит ртутная лампа, тона пути излучения ставится защитное стекло 2, поглощающее мощную ультрафиолетовую часть излучения. Как правило, конденсорную линзу 3 устанавливают так, чтобы на входной щели прибора получить уменьшенное изображение источника света. Входная щель имеет форму вертикального узкого прямоугольника высотой 14 мм, ее ширина меняется в пределах от 0 до 4 мм, ив зависимости от светосилы источника варьируется микрометрическим винтом сценой деления 0.01 мм. Объектив 5 коллиматора 6, удаленный от входной щели на расстояние, равное фокусному, формирует строго параллельный световой пучок, падающий на призму 7. Призма 7, называемая призмой Аббе, является призмой постоянного отклонения и имеет сложное строение. Она состоит из трех склеенных стеклянных призм Р, Р, Р. Призмы Р и Р идентичны между собой, имеют

19 преломляющий угол 30˚ и изготовлены из специального стекла (флинта), обладающего высокой дисперсией. Промежуточная призма Р полностью отражает своей гипотенузной гранью проходящие лучи и поворачивает их на
90˚. Из-за высокой дисперсии материала призм Р и Р излучение с разными длинами волн выходит из призмы 7 под разными углами. Призма Аббе 7 жестко установлена на горизонтальном столике 8, который может вращаться вокруг вертикальной оси при помощи микрометрического винта. Поворот столика позволяет плавно перестраивать длину волны того излучения, которое попадает в виде параллельного пучка на объектив 9 вдоль оси зрительной трубы 12. Излучение с другими длинами волн будет отклоняться влево и вправо от оси зрительной трубы, формируя изображение спектра излучения. Изображение спектра фокусируется объективом на выходной щели 10. Часть спектра излучения, прошедшая через щель, рассматривается наблюдателем через окуляр 11. В центре поля зрения окуляра есть треугольный указатель 14, с которым необходимо совместить изучаемую линию спектра. Совмещение линии производится путем вращения отсчетного барабана
13, поворачивающего призму 7 на столике 8. На барабане нанесены градусные деления, обозначенные цифрами через каждые 50 градусов, цена каждого деления 2

. Отсчет угла поворота производится согласно указателю на барабане 15. Оптические детали монтируют на массивном литом основании, закрытом сверху металлическим кожухом, так что монохроматор является единым жестко связанным прибором. Порядок проведения измерений и обработки результатов Сложность определения длин волн излучения с помощью монохроматора заключается в том, что прибор не позволяет измерить их непосредственно. Монохроматор дает лишь возможность измерить угол поворота призмы

, соответствующий спектральной линии, наблюдаемой в центре окуляра. Однако, связь длины волны

наблюдаемой спектральной линии с

неизвестна. Установление зависимости

(

) называется градуировкой монохроматора. Для выполнения градуировки необходимо использовать эталонный источник света с большим количеством спектральных линий,

20 длины волн которых известны. Одним из наиболее удобных в использовании эталонных источников является лампа ДРШ (Дуговая Ртутная Шаровая, в колбе которой заключены пары ртути под очень высоким давлением. Такая лампа имеет линейчатый спектр излучения, покрывающий весь видимый диапазон. Внимание Существует реальная опасность взрыва лампы ДРШ в случае повторного включения в неостывшем виде, те. сразу после выключения. Повторное включение ртутной лампы можно производить только через 10-15 минут после ее выключения Таким образом, данная лабораторная работа состоит из двух этапов
1. Градуировка монохроматора по длинам волн
2. Определение длин волн спектральных линий в спектре излучения атома водорода с помощью монохроматора. Градуировка монохроматора Для проведения спектральных исследований монохроматор должен быть предварительно проградуирован по длинам волн, те. нужно установить зависимость длины волны излучения от угла поворота призмы,

(

). Градуировку проводят с помощью эталонной ртутной лампы. Излучение паров ртути имеет линейчатый спектр, длины волн которого полагаются заранее известными и приводятся в таблице 1. Таблица 1. Данные для градуировки монохроматора
№ п/п Цвет Интенсивность
λ, нм Отсчет по барабану,

φ
1
φ
2
φ
ср
1 Фиолетовая Высокая
404,6 2 Фиолетовая Средняя
408,0 3 Синяя Высокая
435,8 4
Зелено-голубая Средняя
491,1 5 Зеленая Высокая
546,1 6 Желтый Дублет Высокая
576,4 7 Высокая
579,0 8 Пять линий в оранжево- красной области Низкая
607,0 9
614,0 10 623,4 11 671,1 12 690,7

21 1. Установить на рельсе монохроматора ртутную лампу. Установка производится инженером или преподавателем
2. Включить тумблер Сеть на блоке питания ртутной лампы.
3. Включить тумблер Лампа ДРШ». Должна зажечься ртутная лампа, поджиг лампы сопровождается характерным звуком.
4. Если лампа не загорелась, нажать кнопку Пуск.
5. Установить указатель на барабане в начало шкалы отсчета.
6. Поворачивая барабан, совместить первую (высокоинтенсивную) фиолетовую линию спектра с измерительным треугольным указателем, который виден внизу зрительного поля.
7. Произвести отсчет угла поворота призмы по барабану и занести его в таблицу 1 как угол

1 напомним, что одно деление шкалы соответствует 2

).
8. Аналогичные измерения произвести для всех линий спектра ртути.
9. Действия, указанные в пп. 6-8, провести для всех линий спектра, двигаясь в обратном порядке, те. из красной области спектра в фиолетовую. Занести в таблицу 1 отсчеты углов поворота по барабану как

2 10. Выключить тумблер Лампа ДРШ» на блоке питания ртутной лампы.
11. Выключить тумблер Сеть на блоке питания ртутной лампы.
12. Вычислить средние значения отсчетов барабана


1 2
/ 2
ср

 


13. Построить на миллиметровой бумаге формата А в альбомной ориентации градуировочный график для монохроматора УМ. По горизонтальной оси откладывать средние значения отсчетов по барабану φ
ср
, по вертикальной оси – соответствующие значения длин волн

. Следует выбрать следующий масштаб для

– 20 нм на 1 см, для φ
ср
– 100

на 1 см. Градуировочный график должен представлять собой плавную кривую, соединяющую экспериментальные точки. Определение длин волн в серии Бальмера с помощью призменного монохроматора
1. Установить на рельсе монохроматора водородную лампу. Установка производится инженером или преподавателем
2. Включить тумблер на блоке питания водородной лампы. Включение производится инженером или преподавателем

22 3. Поворачивая барабан, совместить синюю линию спектра излучения атома водорода с измерительным треугольным указателем.
4. Произвести отсчет угла поворота по барабану и занести его в таблицу 2 как угол

1 5. Аналогичные измерения произвести для голубой и красной линий спектра, указанных в таблице 2.
6. Действия, указанные в пп. 4 и 5, провести для всех указанных линий спектра, двигаясь в обратном порядке, те. из красной области спектра в фиолетовую. Занести в таблицу 2 отсчеты углов поворота по барабану как Таблица 2. Параметры спектральных линий серии Бальмера
№ п/п Цвет Интенсивность Отсчет по барабану, эксп, нм теор, нм n

,
%
φ
1
φ
2
φ
ср
1 Синяя Низкая
2 Голубая Средняя
3 Красная Высокая
7. Выключить блок питания водородной лампы. Производится инженером или преподавателем
8. Вычислить средние значения отсчетов барабана


1 2
/ 2
ср

 


9. По ранее построенному вами градуировочному графику определить длины волн в спектре атома водорода.
10. Измеренные значения длин волн занести в таблицу 2 как эксп. Зарисовать схему энергетических уровней атома водорода и указать, каким квантовым переходам соответствуют экспериментально наблюдаемые линии в серии Бальмера. Запишите в таблицу 2 значения n уровней с которых происходит переход.
12. Рассчитать по формуле (16) теоретические значения длин волн спектральных линий в серии Бальмера и занести их в таблицу 2 как теор. Сравнить теоретически рассчитанные значения длин волн с экспериментально измеренными и рассчитать относительную ошибку экспериментальных измерений

23 100%
эксп
теор
теор







Список литературы
1.
Трофимова Т.И. Физика учебник для студентов учреждений высшего профессионального образования, обучающихся по техническим направлениям подготовки, - Москва : Академия, 2012. - 316 с.
2.
Фриш С. Э. Оптические спектры атомов / С. Э. Фриш. – Москва Лань, 2010. - 644 с.
3.
Кустанович ИМ. Спектральный анализ / ИМ. Кустанович. - М, Высшая школа, 1972. – 352 с.