Файл: The major disciplines within mathematics first arose out of the need to do calculations in commerce, to understand the relationships between numbers, to measure land, and to predict astronomical events.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 28
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
The major disciplines within mathematics first arose out of the need to do calculations in commerce, to understand the relationships between numbers, to measure land, and to predict astronomical events. These four needs can be roughly related to the broad subdivision of mathematics into the study of quantity, structure, space, and change.
Quantity
The study of quantity starts with numbers, first the familiar natural numbers and integers ("whole numbers") and arithmetical operations on them, which are characterized in arithmetic. The deeper properties of integers are studied in number theory.
As the number system is further developed, the integers are recognized as a subset of the rational numbers ("fractions"). These, in turn, are contained within the real numbers, which are used to represent continuous quantities. Real numbers are generalized to complex numbers. Consideration of the natural numbers also leads to the transfinite numbers, which formalize the concept of counting to infinity.
Space
The study of space originates with geometry – in particular, Euclidean geometry. Trigonometry combines space and numbers, and encompasses the well-known Pythagorean theorem. The modern study of space generalizes these ideas to include higher-dimensional geometry, non-Euclidean geometries (which play a central role in general relativity) and topology. Quantity and space both play a role in analytic geometry, differential geometry, and algebraic geometry. Within differential geometry are the concepts of fiber bundles and calculus on manifolds. Within algebraic geometry is the description of geometric objects as solution sets of polynomial equations, combining the concepts of quantity and space, and also the study of topological groups, which combine structure and space.
Change
Understanding and describing change is a common theme in the natural sciences, and calculus was developed as a powerful tool to investigate it. Functions arise here, as a central concept describing a changing quantity. The rigorous study of real numbers and functions of a real variable is known as real analysis, with complex analysis the equivalent field for the complex numbers. Functional analysis focuses attention on (typically infinite-dimensional) spaces of functions. One of many applications of functional analysis is quantum mechanics. Many problems lead naturally to relationships between a quantity and its rate of change, and these are studied as differential equations. Many phenomena in nature can be described by dynamical systems.
Structure
Many mathematical objects, such as sets of numbers and functions, exhibit internal structure. The structural properties of these objects are investigated in the study of groups, rings, fields and other abstract systems, which are themselves such objects. This is the field of abstract algebra. An important concept here is that of vectors, generalized to vector spaces, and studied in linear algebra. The study of vectors combines three of the fundamental areas of mathematics: quantity, structure, and space. Vector calculus expands the field into a fourth fundamental area, that of change.
Основные дисциплины в математике сначала возникли из-за необходимости производить расчеты в торговле, понимать отношения между числами, измерять землю и предсказывать астрономические события. Эти четыре потребности могут быть грубо связаны с широким подразделением математики на изучение количества, структуры, пространства и изменения.
Количество
Изучение количества начинается с чисел, сначала знакомых нам натуральных и целых чисел («целых чисел») и арифметических действий над ними
, характерных для арифметики. Более глубокие свойства целых чисел изучаются в теории чисел.
По мере дальнейшего развития системы счисления целые числа распознаются как подмножество рациональных чисел («дроби»). Они, в свою очередь, содержатся в действительных числах, которые используются для представления непрерывных величин. Действительные числа обобщаются до комплексных чисел. Рассмотрение натуральных чисел также приводит к трансфинитным числам, которые формализуют понятие счета до бесконечности.
Космос
Изучение пространства берет начало с геометрии, в частности, евклидовой геометрии. Тригонометрия сочетает в себе пространство и числа и включает в себя известную теорему Пифагора. Современные исследования пространства обобщают эти идеи, включая многомерную геометрию, неевклидову геометрию (играющую центральную роль в общей теории относительности) и топологию. Количество и пространство играют роль в аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии. В дифференциальной геометрии есть понятия расслоений и исчисления на многообразиях. В рамках алгебраической геометрии находится описание геометрических объектов как систем решений полиномиальных уравнений, сочетающих понятия количества и пространства, а также изучение топологических групп, объединяющих структуру и пространство.
Изменять
Понимание и описание изменений — обычная тема в естественных науках, и исчисление было разработано как мощный инструмент для его исследования. Здесь возникают функции как центральное понятие, описывающее изменяющуюся величину. Тщательное изучение действительных чисел и функций действительной переменной известно как действительный анализ, а комплексный анализ — эквивалентное поле для комплексных чисел. Функциональный анализ фокусирует внимание на (обычно бесконечномерных) пространствах функций. Одним из многих приложений функционального анализа является квантовая механика. Многие проблемы естественным образом приводят к соотношению между величиной и скоростью ее изменения, и они изучаются как дифференциальные уравнения. Многие явления в природе могут быть описаны динамическими системами.
Состав
Многие математические объекты, такие как наборы чисел и функций, обладают внутренней структурой. Структурные свойства этих объектов исследуются при изучении групп, колец, полей и других абстрактных систем, которые сами являются такими объектами. Это область абстрактной алгебры. Важным здесь является понятие векторов, обобщенное на векторные пространства и изучаемое в линейной алгебре. Изучение векторов объединяет три фундаментальные области математики: количество, структуру и пространство. Векторное исчисление расширяет поле до четвертой фундаментальной области, области изменений.