Файл: Программа курса подготовка к олимпиаде по математике.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 423
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 5 или 8. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 5 или 8. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно.Обозначается с восклицательным знаком в конце. n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · nСлучай 0! определен и имеет значение 0!=1, соответствующее комбинаторной интерпретации комбинации нуля объектов, другими словами, есть единственная комбинация нуля элементов, а именно: пустое множество.Ниже приведены значения факториалов от 0 до 10.0! = 11! = 12! = 1 · 2 = 23! = 1 · 2 · 3 = 64! = 1 · 2 · 3 · 4 = 245! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 1206! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 7207! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 50408! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 403209! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 36288010! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3628800Свойство факториала: (n + 1)! = (n + 1) · n!Например: (5 + 1)! = (5 + 1) · 5!Действительно 6! = (1 · 2 · 3 · 4 · 5) · 6 = 720А значение (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 5! = 120В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.2. Примеры решения задач1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?1 способ. Перечислим возможные варианты
18 вариантов.2 способ. Дерево возможностей.
3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=182. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?1 способ. Обозначим мячи - М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5. Перечислим возможные варианты:М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5Ответ: 40 вариантов.2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 403. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?1 способ. Перечислим возможные варианты.
2 способ. Дерево возможностей.3 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15 .4. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)№2 - Петя - 4 варианта№3- Денис - 3 варианта№4- Оля - 2 варианта№5 - Настя- 1 вариантИспользуя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=1202 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=1206. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:
11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11ДОтвет: 10 пар.2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.Число элементарных событий = = 107. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.Получаем следующие пары:В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.Ответ: 6 пар.2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем: х = 68. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6Р1 - имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантовИ2 - 5 вариантовУ3- 4 вариантаН4- 3 вариантаК5- 2 вариантаФ6- 1 вариантИспользуя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 7202 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=7209. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.Возможны следующие тройки:Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-ВС-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В, Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 1510. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?
Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети: =35, число четверок у Вали из 9 дисков - = 126По правилу умножения находим число обменов 35х126=441011. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 - . По правилу умножения находим число выбора отряда:10х70х = 700х
12. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 - =126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=5292013. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?Здесь речь идет о размещениях Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя - из 8, на профорга - из 7По правилу умножения получаем 9х8х7=50414. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?
На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной - из 24, завуча среднего звена - из 23, завуча по воспитательной работе - 22. По правилу умножения получаем:25х24х23х22 = 303600Или, зная формулу размещения, получаем 15. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи - 5х7х9=315, для Коли - 4х6х8=192. По правилу умножения получаем480х315х192=29030400 способами. 16. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?В русском языке 9 гласных букв - а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно =120 способами. Применяя правило умножения, получаем:36х120=432017. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?Эта задача на размещение Другой способ решения.
1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами2цвет выбирается 7 способами3 цвет - 6способамиИспользуя правило умножения, получаем 8х7х6=336 способов.18. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?Из 15 предметов 5 любых можно выбрать 19. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?
| Чай(Ч) Компот (К) | Мясо с макаронами(М) | Рыба с картошкой(Р) | Курица с рисом(Кр) |
| Борщ (Б) | БМЧ/ БМК | БРЧ/БРК | БКрЧ/БКрК |
| Солянка(С) | СМЧ/ СМК | СРЧ/СРК | СКрЧ/СКрК |
| Грибной суп(Г) | ГМЧ/ГМК | ГРЧ/ГРК | ГКрЧ/ГКрК |
3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=182. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?1 способ. Обозначим мячи - М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5. Перечислим возможные варианты:М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5Ответ: 40 вариантов.2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 403. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?1 способ. Перечислим возможные варианты.
| | 0 | 2 | 6 |
| 2 | 20 | 22 | 26 |
| 3 | 30 | 32 | 36 |
| 6 | 60 | 62 | 66 |
| 7 | 70 | 72 | 76 |
| 9 | 90 | 92 | 96 |
11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11ДОтвет: 10 пар.2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.Число элементарных событий = = 107. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.Получаем следующие пары:В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.Ответ: 6 пар.2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем: х = 68. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6Р1 - имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантовИ2 - 5 вариантовУ3- 4 вариантаН4- 3 вариантаК5- 2 вариантаФ6- 1 вариантИспользуя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 7202 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=7209. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.Возможны следующие тройки:Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-ВС-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В, Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 1510. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?
Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети: =35, число четверок у Вали из 9 дисков - = 126По правилу умножения находим число обменов 35х126=441011. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 - . По правилу умножения находим число выбора отряда:10х70х = 700х
12. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 - =126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=5292013. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?Здесь речь идет о размещениях Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя - из 8, на профорга - из 7По правилу умножения получаем 9х8х7=50414. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?
На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной - из 24, завуча среднего звена - из 23, завуча по воспитательной работе - 22. По правилу умножения получаем:25х24х23х22 = 303600Или, зная формулу размещения, получаем 15. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи - 5х7х9=315, для Коли - 4х6х8=192. По правилу умножения получаем480х315х192=29030400 способами. 16. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?В русском языке 9 гласных букв - а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно =120 способами. Применяя правило умножения, получаем:36х120=432017. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?Эта задача на размещение Другой способ решения.
1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами2цвет выбирается 7 способами3 цвет - 6способамиИспользуя правило умножения, получаем 8х7х6=336 способов.18. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?Из 15 предметов 5 любых можно выбрать 19. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?