Файл: В. Ф. Пономарев математическая логика.doc

Калининградский государственный технический университетВ.Ф. Пономаревматематическая логикачасть 1 Логика высказываний. Логика предикатовУтверждено Ученым советом университета в качестве учебного пособия для студентов направления 552800 – Информатика и вычислительная техника и специальности 654600 – Информатика и вычислительная техникаКалининград2001г.ББК. 22Л 55В.Ф. Пономарев Математическая логика. часть 1. Логика высказываний. Логика предикатов. Учебное пособие – Калининград: КГТУ, 2001, с.140Учебное пособие предназначено для студентов университета, изучающих “Математическую логику”. В нем изложены основные принципы формирования языка, основные правила дедуктивного вывода, основные механизмы доказательства истинности заключения в логике высказываний и логике предикатов. Все доказательства подкреплены множеством примеров. Каждый студент выполняет расчетно-графическую работу. В расчетно-графической работе по логике высказываний доказывается истинность заключения методами дедуктивного вывода и по принципу резолюции. В расчетно-графической работе по логике предикатов выполняется преобразование формулы к виду ПНФ и ССФ с последующей унификацией контрарных атомов дизъюнктов. ВВЕДЕНИЕРодоначальником науки о логике является греческий философ Аристотель (384-322 г. до н.э.). Он, используя законы человеческого мышления, формализовал известные до него правила рассуждений. Лишь в конце XVII века немецкий математик Г. Лейбниц предложил математизировать формальные рассуждения Аристотеля, вводя символьное обозначение для основных понятий и используя особые правила, близкие к вычислениям. Лейбниц утверждал, что “мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления”.Применение математики в логике определило новую науку – математическую логику. Математическое описание рассуждений позволило получить точные утверждения и эффективные процедуры в решении конкретных задач логики. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы описания процесса, явления или события и формального преобразования этого описания. Такой процесс называют выводом заключения

---

Иногда математическое описание рассуждений называют логико-математическим моделированием.

Основными объектами при изучения математической логики являются формальный язык логики и правила вывода. Формальный язык необходим для символьного описания процессов, явлений или событий и логических связей между ними. Правила вывода необходимы для формирования процедуры рассуждения. Для обеспечения вывода вводится система аксиом, формализующая весь механизм вывода заключения.

Математическое описание логики следует воспринимать, как некую формальную систему, оперирующую с символами по определенным правилам, об­легчающим интерпретацию в реальном мире.

Выделяют несколько типов математических моделей формальной логики. Среди них можно выделить Логику высказываний, Логику предикатов, Логику нечетких множеств и отношений, Реляционную логику и др.

Логика высказываний (prepositional calculus)есть модель формальной системы, предметом которой являются высказывания или повествовательные предложения, взятые целиком без учета их внутренней структуры.

Логика предикатов (predicate calculus) есть модель формальной сис­темы, предметом которой являются повествовательные предложения с учетом их внутренних состава и струк­туры.

Логика нечетких множеств и отношений (fuzzi calculus) есть модель формальной системы, предметом кото­рой являются повествовательные предложения с учетом их внутреннеих состава и структуры и при нечетком (размытом) задании характер­ных признаков отдельных элементов или отношений между ними.

Логика реляционная (relation calculus) есть модель формальной системы, предметом кото­рой являются отношения в виде множества однородных повествовательных предложений, существенно расширяющие логику предикатов.

Учебное пособие состоит из четырех частей, знакомящих студента с методами рассуждения и вывода заключения в четырех вышеуказанных логоках. По каждому разделу студент выполняет индивидуальное задание в виде расчетно-графической работы.

1.Логика высказываний

Исходным понятием математической логики является “высказывание”. Поэтому любое повествовательное предложение, которое может быть признано истинным или ложным, называют высказыванием. Логическим значением высказывания являются “истина” или “ложь”.

Например, повествовательное предложение "З есть простое число" является истинным, а “3.14… - рациональное число" - ложным, "Колумб открыл Америку" - истинным, а "Киев - столица Узбекистана" – ложным, “Число 6 делится на 2 и на 3” – истинным, а “Сумма чисел 2 и 3 равна 6” – ложным и т.п.

---

Такие высказывания называют простыми или элементарными. При формальном исследовании сложных текстов вместо понятие “простые высказывания” замещают понятием “пропозициональные переменные” (от лат. propositio - предложение), которые обозначают прописными буквами латин­ского алфавита “A”, “B”, “C”,… Истинность или ложность высказывания будем отмечать символами “и” – истина или “л” – ложь.Пример:

1. 
   если A₁:=“3 - простое число”, то A₁ = и;
   
2. 
   если A₂:=“3 - вещественное число”, то A₂ = и;
   
3. 
   если A₃:=“3 - целое число”, то A₃ = и;
   
4. 
   если B₁:=“3, 14…- рациональное число”, то B₁ = л;
   
5. 
   если B₂:=“3, 14…- не рациональное число”, то B₂ = и;
   
6. 
   если C:=“Колумб открыл Америку”, то C = и;
   
7. 
   если D:=“Киев - столица Узбекистана”, то D = л;
   
8. 
   если E:= “Число 6 делится на 1, 2 и 3”, то E = и;
   
9. 
   если G:=“Число 6 есть сумма чисел 1, 2, 3”, то G = и.
   

Примечание: символ “:=” означает, что пропозициональной переменной, стоящей слева, присвоить значение высказывания, стоящего справа от символа.Высказывания, которые получаются из простых предложений с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если…, то…”, “… тогда и только тогда, когда…” и т.п., называют сложными или составными. Для обозначения грамматических связок вводят символы, которые называют логическими(илипропозициональными)связками. Например, :=”или”, &:=“и”, :=”не”, :=“если…, то…”, :=“…тогда и только тогда, когда …”.Для построения сложных пропозициональных высказываний используют вспомогатель­ные символы “(“, “)” - скобки. Пример:

1. 
   если высказывание “3 – вещественное или целое число”, то формула (A₁A₂) = и;
   
2. 
   если высказывание ”3,14… - рациональное число”, то формулы B₁=л или B₁ = и;
   
3. 
   если высказывание “число 6 делится на 1, 2, 3 и представляет сумму делителей 1, 2, 3”, то формула (E&G)= и;
   
4. 
   если высказывание “если 3 - целое число, то оно вещественное”, то формула (A₃ A₂)=и;
   
5. 
   если высказывание ”если 3 – простое число ,то оно целое”, то формула (A₁ A₃)=и;
   
6. 
   если высказывание “3 есть простое число тогда и только тогда, когда оно целое”, то формула (А₁А₂)=и.
   

Обозначения элементарных высказываний А₁, А₂, А₃, В₁, Е, G взяты из предыдущего примера. Правила построения сложных высказываний в виде последователь­ности пропозициональных переменных, логических связок и вспомогательных символов определяют возможность формального описания любого текста.

---

При формальной записи сложного высказывания всегда нужно исходить из его содержания. До тех пор пока не определена логическая структура сложного высказывания, его нельзя формально описывать. Правила исполнения логических операций над сложными высказываниями на основе заданных логических связок и пропозициональных переменных формирует алгебру высказываний. Правила вывода новых высказываний, основанные на известных отноше­ниях между заданными пропозициональным переменными, формируют исчисление высказываний. Высказывания, из которых делают вывод новых высказываний, называют посылками, а получаемое высказывание – заключением. Математическая логика рассматривает формальный способ рассуждения, встречающийся не только в математике, но и в повседневной жизни. 1.1 Алгебра высказыванийМножество пропозициональных переменных T={A, B, C,…} с заданными над ним логическими операциями F={; ; ; ;  } формируют алгебру высказываний, т.е.A_в=F;>

Символы логических операций заданы логическими связками:

 - отрицание,  - конъюнкция,  - дизъюнкция,  - импликация,  - эквиваленция.

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических связок отрицания, коньюнкции, дизьюнкции, импликации и эквиваленции, называютформулой алгебры логики.

Любую пропозициональную переменную можно назвать формулой нулевого порядка, т. е. A_i =F_i.

Если F₁ и F₂ – пропозициональные формулы, то F₁; F₂; F₁F₂; F₁F₂; F₁F₂ и F₁F₂ также пропозициональные формулы.

Никаких других формул в исчислении высказываний нет.

Множество формул образуют язык математической логики. Это множество перечислимо и разрешимо.

Для формирования сложных формул используют вспомогательные символы “(“ и “)”.
1.1.1 Логические операции

Логическая связка указывает на необходимость исполнения логической операции над пропозициональными переменными или формулами, окружающими логическую связку.

Логические операции бывают унарные (или одноместные) и бинарные (или двухместные). Этому отвечает наличие одного или двух операндов у данной операции.

Значение формулы полностью определяется значениями входящих в нее пропозициональных переменных.

Значения логических операций также принадлежат множеству {и; л}.

Все значения логической формулы в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть полностью описаны с помощью таблицы истинности.

Отрицание ( F) есть одноместная операция, посредством кото­рой ее значение есть отрицание значения операнда. В программировании для этого используют оператор NOT:

NOT F истинно тогда и только тогда, когда F ложно.

Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности, связывающей значения истинности операнда и операции. F	F
и	л
л	и

На естественном языке эта операция определяет высказывание “неверно, что F истинно (ложно)”.

Если F есть высказывание, то F также высказывание. Если F есть высказывание, то (F) также есть высказывание.
Пример: Пусть есть высказывание “А:=“4 - простое число”.

Такое высказывание ложно или “неверно, что 4 –простое число”, т.е.

 А = и ;

Пусть высказывание D:=“Киев - столица Узбекистана”.

Такое высказывание ложно или “неверно, что Киев – столица Узбекистана”, т.е.  D = и.

Конъюнкция (F₁F₂) есть двухместная операция, посредст­вом которой из двух формул F₁ и F₂ получают новую формулу F = F₁F₂, описывающую сложное высказывание. Значение этого высказывания истинно тогда и только тогда, когда истинны значения двух операндов F₁ и F₂.

В про­граммировании для этого используют оператор AND:

F₁ AND F₂ истинно тогда и только тогда, когда истинны F₁ и F₂.

Таблица истинности операции конъюнкции, описывающая значения истинности операндов и операции имеет следующий вид: F1	F2	F1F2
л	л	л
л	и	л
и	л	л
и	и	и

Из определения операций коньюнкции и отрицания очевидно, что (FF)=л.

Если даны формулы F₁, F₂,…F_n, то истинное значение формулы

F= F₁F₂…F_n определяется истинностью всех формул F₁, F₂,…F_n.

На естественном языке эта операция выражается соединительными словами:

“..и..“, “..также..“, “как ..,так..“, “..несмотря на ..“ и т.п.

Пример: Пусть даны высказывания A:="компьютер содержит основной микропроцессор", B:="компьютер содержит оперативную память", C:=”компьютер содержит контроллеры"; D:="компьютер содержит порты ввода - вывода".

Тогда формула F = (A&B&C&D) отражает высказывание "компью­тер содержит основной микропроцессор, оперативную память, контроллеры и порты ввода-вывода" [8].

Дизъюнкция (F₁F₂) есть двухместная операция, посред­ством которой из двух формул F₁ и F₂ получают новую формулу F= F₁F₂, описывающую сложное высказывание. Значение этого высказывания ложно тогда и только тогда, когда ложны значения двух операндов F₁ или F₂.

В программировании для этого используют оператор OR:

F₁ OR F₂ ложно тогда и только тогда, когда ложны F₁ и F₂.

F1	F2	F1 F2
Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности. л	л	л
л	и	и
и	л	и
и	и	и

Из определения операций дизьюнкции и отрицания очевидно, что (FF)=и.

Если даны формулы F₁, F₂,…F_n, то истинностное значение формулы

F= F₁F₂…F_n определяется истинностью хотя бы одной формулы F₁, F₂,…или F_n.

В естественном языке эта операция выражается разъединительными словами “..или..“, “..либо.. “ и т.п. Следует обратить внимание, что в повседневной речи союз “или” употребляется в двух смыслах: “исключающее или”, когда истинность составного высказывания определяется истинностью только одного из высказываний, и “не исключающее или”, когда истинность составного высказывания определяется истинностью хотя бы одного из высказываний.

Пример: Пусть даны высказывания A:="монитор есть машинная программа, которая наблюдает, регулиру­ет, контролирует или проверяет операции в системе обработки данных", B - "монитор в языках програм­мирования есть высокоуровневый механизм взаимодействия и синхронизации процессов, обеспечивающий доступ к неразделяемым ресурсам” и C - "монитор есть дисплей, ис­пользуемый для контроля процессов и уп­равления системой".

Тогда формула F = (ABC) отражает высказывание "монитор есть машинная про­грамма, которая наблюдает, регулирует, контролирует или проверяет операции в системе обработки данных, или в языках про­граммирования - это высокоуровневый механизм взаимодействия и синхронизации процессов, обеспечивающих доступ к неразделяемым ресурсам или дисплей, используемый для контроля процессов и управления системой"[8].

Пример: Пусть даны высказывания A:="в компьютере применяют матричный принтер", B:="в компьютере применяют струйный принтер", C:="в компьютере применяют лазерный принтер"; D:="в компьютере применяют литерный принтер".

Тогда формула F = (ABCD) отражает высказывание " в компьютере применяют матричный, струйный, лазерный или литерный принтеры"[8].

Импликация (F₁F₂) есть двуместная операция, посредством ко­торой из формул F₁ и F₂ получают новую формулу F=(F₁F₂), отражающую сложное высказывание. Значение этого высказывания ложно тогда и только тогда, когда истинно значение F₁ и ложно F₂.

В программировании для этого используют оператор IMPLIES:

F₁ IMPLIES F₂ ложно тогда и только тогда, когда F₁ истинно, а F₂ ложно.

Таблица истинности имеет следующий вид:

Высказывание F1 называют посылкой, а F2 – заключением. F1	F2	F1F2
л	л	и
л	и	и
и	л	л
и	и	и

Импликация играет особую роль в математической логике, т.к. многие доказательства представляются в условной форме: “если…, то…”. При этом из истинности посылки (F₁) и истинности импликации (F₁F₂) следует истинность заключениея F₂.

На естественном языке эта операция выражается словами "если ..., то ... ", "тогда ..., когда ... ", "постольку ..., поскольку ... ", "при наличии ..., следует ... ", " ... есть достаточное условие для ... ", "... есть необходимое условие для ... ", "... при условии, что ..." и т. п..

Употребление в повседневной речи слов “если…, то…” несколько отличается от использования их в математической логике. Так в повседневной речи, если высказывание F₁ ложно, то сложное высказывание F₁F₂ вообще не имеет смысла. В математической логике при ложном высказывании F₁ значение сложного высказывания (импликации) всегда истинно.

Пример: Пусть даны высказывания A:="по проводнику протекает электричес­кий ток" и B - "вокруг проводника есть магнитное поле".

Тогда формула F=AB отражает высказывание "если по проводнику протекает электрический ток, то вокруг проводника возникает магнитное поле".

Пример: Пусть даны высказывания A:="на упругое тело оказывают влияние внешние силы" и B:="в упругом теле возникают внутренние силы, препятствующие изменению формы”. Тогда формула F=(AB) отражает высказывание "если на упругое тело оказывают влияние внешней силы, то в нем возника­ют внутренние силы, препятствующие изменению формы"

Эквиваленция (F₁F₂) есть двухместная операция, посредством ко­торой из двух формул F₁ и F₂ получают новую формулу F=(F₁F₂), описывающую сложное высказывание. Значение этого высказывания истинно тогда и только тогда, когда оба операнда F₁ и F₂ имеют одинаковые значения.

В программирова­нии для этого используют оператор IFF:

F₁ IFF F₂ истинно тогда и только тогда, когда F₁ и F₂ имеют одинаковое значение.

Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности.


Эквиваленция позволяет выполнять в процессе логического доказательства теорем замещения одной формулы другой.

F1	F2	F1F2
л	л	и
л	и	л
и	л	л
и	и	и

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

---

На естественном языке это выражается словами "для того чтобы…, необходимо и достаточно…", "… лишь при ус­ловии..." и т. п..Пример: Пусть даны высказывания A:="быть четным числом" и B:="число делится на два". Тогда формула F=(AB) отображает высказывание “для того, чтобы число было четным необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на два”.Пример: Пусть даны высказывания A:=“выполнить загрузку операцион­ной системы в kомпьютер” и B:=“установить в компьютер диске­ту с записанной операционной системой“. Тогда формула F= (AB) отображает высказывание “для того, чтобы выпол­нить загрузку операционной системы в компьютер, необходимо и достаточно установить в компьютер дискету с запи­санной операционной системой"[9].Пример: Пусть даны высказывания S:=“полная система функций матема­тической логики ", A:="система функций содержит хотя бы одну нелинейную функцию", B:="система функций содержит хотя бы одну немонотонную функцию", C:="система функций содержит хотя бы одну не самодвойственную функцию", D:="система функций содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую "0" ", E:="система функций содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую “1“”. Тогда формула F=(S(A&B&C&D&E)) отражает сложное высказывание “для того чтобы система функций математической логики была полной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы по одной нелинейную, немо­нотонную и не самодвойственную функции, а также функции, не сохраняющие “0“ и “1“[9].Пример: Пусть даны высказывания A:=”урожай будет стабильным еже­годно” и B:="выполнены все ирригационные работы". Тогда формула F=(AB) отображает высказывание "урожай будет еже­годно стабильным тогда и только тогда, когда будут выполне­ны все ирригационные работы"[10]. 1.1.2 Правила записи сложных формул Для определения ис­тинности сложного суждения необходимо анализировать значение истинности каждого составного высказывания и формировать последовательно значение истинности каждой подформулы, входящей в формулу сложного суждения. Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в нее пропозициональных переменных. Все возможные логические значения формулы в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть полностью описаны с помощью

---