Файл: Экономические задачи в заданиях егэ по математике.pptx

Экономические задачи в заданиях ЕГЭ по математике

Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами. Существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.

Решение задач о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.

Решение основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной.

Задача № 1 на нахождение ежегодной выплаты

28 декабря 2018 года клиент взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 20 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем клиент переводит в банк х рублей не позднее 28 декабря. Какой должна быть сумма х, чтобы клиент выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Год	Долг банку	Остаток после ежегодной выплаты
0	S	-
1	1,2S	1,2S - x
2	1,2(1,2S - x) = 1,44S - 1,2x	1,44S - 1,2x - x= 1,44S - 2,2x
3	1,2(1,44S - 2,2x)=1,728S - 2,64x	1,728S - 2,64x - x= 1,728S - 3,64x

1,728S - 3,64x=0

3,64x=1,728∙5460000

x=2592000 Ответ: 2592000 рублей

Задача № 1 на нахождение ежегодной выплаты

При решении таких задач можно увидеть закономерность и, оформив решение в общем виде, получить формулу.

S-сумма кредита,

р=, где r - процентная ставка,

х – сумма ежегодных выплат;

I год: S·p-х

II год:

III год:

IV год:

и т.д.

 

Задача № 2 на нахождение суммы кредита

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

---

Задача № 2 на нахождение суммы кредита

Пусть начальная сумма кредита равна S. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно: ; ; ; …; . Погашение долга состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов ; ; ; ; ...; .

 

Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370тыс. рублей. Поэтому составляем уравнение:

12*+( =1370

 

S = = 2000тыс Ответ: 2 000 000 руб

 

Арифметическая прогрессия

Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

an = a1 + d(n-1)

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

Sn = n

 

Задача № 3 на нахождение общей суммы выплат

15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
• Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.

Задача № 3 на нахождение общей суммы выплат

Решение: S - сумма кредита, r = 3%

Вначале найдем сумму кредита. Известно, что восьмая выплата = 99,2тыс. Находим размеры выплат:

1-й месяц: + ; 2-й месяц: + ∙; ...; 8-й месяц: + ∙

= 99200 → S = 99 200∙ = 1 200 000, то есть планируется взять в кредит 1 200 000 рублей.

Общая сумма, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, складывается из суммы кредита и суммы ежемесячно начисляемых процентов на остаток долга по сумме кредита :

+ +…+)= + 1 200 000=1 488 000

 

Задача № 4 на вычисление процентной ставки

15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

---

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r?

Задача № 4 на вычисление процентной ставки

Пусть S сумма кредита. Долг перед банком должен уменьшаться до нуля равномерно. Тогда последовательность остатка по кредиту на конец каждого месяца будет иметь вид: ; ;….

Найдем выплаты: 1 месяц: + S; 2 месяц: + ; …9 месяц:

По условию общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, значит: + = 0,15 ; r = 3.

 

Клиент взял кредит в банке на срок 40 месяцев. По договору он должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется р% этой суммы, затем следует платеж.

а) Ежемесячные выплаты подбираются таким образом, чтобы долг уменьшался равномерно.

б) Известно, что наибольший платеж был в 25 раз меньше первоначальной суммы долга. Найдите р.

Задача № 5 на вычисление процентной ставки

Задача № 5 на вычисление процентной ставки

S - сумма кредита, р - процентная ставка.

Ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.

Выплата в 1-й месяц: + ∙S и так как это наибольший платеж составим уравнение: ( + ∙S)∙25 = S → + p = 1, p = 1,5

 

Задача № 6 на нахождение количества лет выплаты кредита

В июле клиент планирует взять в кредит 1,1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года клиент должен выплатить некоторую часть долга.

На какое минимальное количество лет клиент может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300тысяч рублей?

Задача № 6 на нахождение количества лет выплаты кредита

1) В конце первого года долг составит:

1100000∙1,1 - 300000 = 910000

2) В конце второго года долг составит:

---

910000∙1,1 - 300000 = 701000

3) В конце третьего года долг составит:

701000∙1,1 - 300000 = 471000

4) В конце четвертого года долг составит:

471000∙1,1 - 300000 = 218210

5) В конце пятого года долг составит:

218210∙1,1 - 300000 0 , т.е. кредит будет погашен за 5 лет.

Ответ: 5 лет

 

Задача № 7 на нахождение количества лет выплаты кредита

В июле взял кредит на сумму 9 млн рублей на несколько лет. Условия его возврата следующие:

• В начале каждого следующего года остаток долга увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• До 1 июля каждого года клиент должен вернуть банку часть долга таким образом, чтобы по состоянию на 1 июля долг ежегодно уменьшался на одну и ту же сумму.

Известно, что последняя выплата составила 1,25 млн рублей.

Найдите общую сумму выплат, которую клиент заплатит банку.

Задача № 7 на нахождение количества лет выплаты кредита

Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

9; ;…;

По условию каждый январь долг возрастает на 25%, т.е. последовательность начисленных процентов в январе такова:

0,25*9; 0,25* ;…; 0,25*

последняя выплата составила 1,25 млн рублей : =1,25; =9.

Значит, всего следует выплатить:

9+0,25**9*=20,25 (млн руб)

 

Задача № 8 на нахождение суммы кредита, в случае неравномерного погашения долга

15-го марта планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
• К 15-му числу 11 месяца долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1388 тысяч рублей?

Задача № 8 на нахождение суммы кредита, в случае неравномерного погашения долга

---

Решение: S - сумма кредита, r = 1%

Известно, что 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей. И 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Т.е. за первые 10 месяцев необходимо погасить S-300 тысяч рублей одинаковыми платежами, т.е. уменьшение долга с 1-го по 10-й месяц составляет тысяч рублей ежемесячно. Т.о., ежемесячный долг перед банком за первые 10 месяцев составляет: ; ; ; …; . Погашение долга за первые 10 месяцев состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов ; ; ; …; .

В последний 11-й месяц общая выплата составила 300 + 300 тысяч рублей.

общая сумма выплат за 11 месяцев 1388=10 + + + … + 300 + 300 .

Ответ: 1300 тысяч

 

Задача № 8а на нахождение суммы кредита, в случае неравномерного погашения долга

15-го марта планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15-го числа 16-го месяца долг составит 400 тысяч рублей;
• К 15-му числу 17 месяца долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1608 тысяч рублей? (ответ: 1200 тысяч рублей)

Задача № 8а на нахождение суммы кредита, в случае неравномерного погашения долга

Решение: S - сумма кредита, r = 3%

Известно, что 15-го числа 17-го месяца долг составит 400 тысяч рублей. И 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Т.е. за первые 16 месяцев необходимо погасить S-400 тысяч рублей одинаковыми платежами, т.е. уменьшение долга с 1-го по 16-й месяц составляет тысяч рублей ежемесячно. Т.о., ежемесячный долг перед банком за первые 16 месяцев составляет: ; ; ; …; . Погашение долга за первые 16 месяцев состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов ; (; (); …; .

В последний 17-й месяц общая выплата составила 400 + 400 тысяч рублей. Общая сумма выплат

за 17 месяцев 1608=16 + ++ …+ 400 + 400 .

---