Файл: Развитие математических методов теории эволюции 3 Роль компьютера в математическом анализе жизни 4.docx

Содержание

Оглавление

Математическая биология

Введение

Эволюция – одна из важнейших тем биологии, которой уделяется большое внимание и в математической биологии с момента ее зарождения в 1930-е годы. В целом эволюция – это физиологические и другие изменения, претерпеваемые живыми существами с течением времени. По прошествии миллионов лет в результате этих изменений, а также изменений окружающей среды одни виды выживают, другие – вымирают. Известно, что изменения живых существ вызваны определенными биологическими механизмами. Среди всех теорий, известных на сегодняшний день, наибольший успех имела теория естественного отбора Чарльза Дарвина, представленная им в 1859 году, в расцвет викторианской эпохи, в книге «Происхождение видов».



Рисунок 1 «Происхождение видов», Чарльз Дарвин

Согласно теории Дарвина, живые существа, будь то растения, животные или микроорганизмы, представляют собой различные решения задачи адаптации к окружающей среде. Под окружающей средой понимаются различные условия существования, начиная от океанов или озер и заканчивая наземно-воздушной средой. При этом в каждой отдельно взятой среде наблюдается большое разнообразие живых существ: например, джунгли, дубовый лес или пустыня очень отличаются между собой. Согласно Дарвину, чем лучше «решение», которое представляет собой живой организм

---

, точнее биологический вид, тем лучше он приспособлен. А чем выше приспособленность организма, тем больше его шансы на выживание и, следовательно, на достижение репродуктивного возраста. Репродукция, по Дарвину, является наградой: если организму удалось размножиться, гены счастливчика будут переданы следующему поколению.

Но как живые организмы находят новые решения в изменяющейся или неблагоприятной среде? Ответить на этот вопрос помогает генетика. За поиск новых решений отвечают механизмы, случайным образом меняющие генетический код, – мутации. Чем выше изменение генов в определенных пределах, тем лучше для вида: его представители получают большой набор возможных «решений», который поможет им адаптироваться к будущим изменениям окружающей среды. По Дарвину, окружающая среда отбирает виды, наиболее пригодные для обитания в ней.

Развитие математических методов теории эволюции

В второй половине XIX века, после публикации книги Дарвина, в Великобритании возникла английская биометрическая школа, к которой принадлежали такие видные ученые, как Фрэнсис Гальтон и Карл Пирсон. Представители этой школы впервые применили в биологии методы статистики. Позднее, в 1930 году, Рональд Эйлмер Фишер, внесший огромный вклад в развитие биоматематики и биостатистики, сформулировал основную теорему естественного отбора, в которой дарвиновская теория эволюции путем естественного отбора объясняется на языке математики.

Согласно Фишеру, при определенных условиях и за определенное время t ритм или скорость, с которой повышается средняя приспособленность конкретного вида, равна разнообразию возможных значений генов. Обозначим средний рост приспособленности через , среднюю приспособленность – через , множество возможных значений генов (генных вариаций) – через ²_w и получим обычную запись теоремы Фишера в математической биологии:

(1)

Эта теорема – прекрасный пример того

---

, сколь важную роль сыграла математика в последующем развитии биологии. Фишеру всего в одной формуле удалось точно выразить описанные выше идеи. В итоге биологические задачи начиная с 1930-х годов начали выражаться на языке математики, и развитие количественных методов биологии было уже не остановить. Еще одним важным событием для математической биологии стала модель, известная как модель «хищник–жертва» Лотки – Вольтерры (ее предложил Альфред Джеймс Лотка в 1925 году и Вито Вольтерра годом позже). Это одна из самых ярких математических моделей математической биологии и одна из самых популярных моделей в экологии.

---

Роль компьютера в математическом анализе жизни

По окончании Второй мировой войны в Великобритании и США появились первые компьютеры. Два союзных государства начали борьбу за право называться их родиной, и толчком к началу этого соперничества стала возможность использования компьютеров прежде всего в военных целях. Новая техника создавалась для борьбы с общим врагом – СССР. Напомним, что именно эти годы стали началом эпохи холодной войны, и изменение политической обстановки повлияло на работы ученых во всем мире.

Хотя историки науки считают, что первый компьютер, известный как ENIAC¹ был сконструирован в США в 1946 году, сегодня мы знаем, что до него существовал «Колосс», созданный в Великобритании в 1944 году.

В 1950 году Алан Тьюринг, один из самых лучших британских ученых XX столетия, сконструировал компьютер АСЕ² в Национальной физической лаборатории. Этот компьютер имел возможности хранения данных и работы программ, весьма схожие с возможностями первых компьютеров Macintosh, созданных только в 1980-е годы. Компьютер Тьюринга был британским конкурентом американского EDVAC³, созданного на базе EN1AC. В конструировании EDVAC участвовал еще один ученый того времени – Джон фон Нейман.



Рисунок 2 «Колосс» – первый компьютер в истории, построенный в Великобритании в 1944 году

Британским ответом на EDYAC стал EDSAC⁴ – еще один компьютер с похожими характеристиками. В это же время в США был сконструирован UNIVAC⁵ – прямой потомок ENIAC и EDVAC. Изготовившая его компания Remington Road стала первым в мире производителем коммерческих компьютеров.

Открытия Алана Тьюринга

В 1948 году в Университете Манчестера находился один из самых мощных компьютеров того времени, а в 1951 году университет получил компьютер Ferranti Mark 1, на котором работал Тьюринг. С 1952 года до своей смерти в 1954 году Тьюринг был одним из первых ученых, кто использовал компьютер для математического моделирования биологических задач.



Рисунок 3 Компьютер Ferranti Mark I, на котором работал Алан Тьюринг (на фото справа)

В то время Тьюринга очень интересовало математическое изучение морфогенеза. Одна из самых любопытных задач этой дисциплины заключается в том, чтобы объяснить, как живые организмы обретают конечную форму: почему ветви деревьев образуют именно такую структуру, почему членистоногие словно состоят из отдельных кусочков, а кольчатые черви – из колец. Еще одна классическая задача морфогенеза заключается в изучении узоров, например, на коже некоторых позвоночных – полосок у зебр или круглых пятен у далматинцев.

---

Тьюринг первым попытался решить биологические задачи с помощью компьютера, став одним из пионеров вычислительной биоматематики. Таким образом, его исследования придали этой дисциплине более прикладной характер, сблизив ее с привычными биологическими исследованиями в лаборатории. Биологи и другие ученые под влиянием работ Тьюринга также начали изучать жизнь с математической точки зрения. Подобные исследования проводились в разные годы XX века; проводятся они и сейчас. Кроме того, Тьюринг открыл новую область математической биологии, предложив первую математическую теорию морфогенеза. В одной из своих работ для анализа формы растений он использовал числа Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. образуется по следующему правилу: если принять первое число Фибоначчи, а₁, равным 0, второе число, а₂, равным 1, то каждое последующее число будет определяться как сумма двух предыдущих. Иными словами, а_n = а_n-1+ а_n-2. Любопытно, что числа Фибоначчи описывают количество лепестков цветов, расположение чешуек шишек и листьев растений.



Рисунок 4 Число спиралей на этой шишке в каждом направлении (8 и 13 соответственно) выражается последовательными числами Фибоначчи

Эта особенность растений получила название филлотаксиса Фибоначчи. Так, числа Фибоначчи описывают расположение листьев растений, при котором их освещенность будет оптимальной. Представьте, что лист соперничает с соседними за доступ к солнечному свету. Каким будет оптимальное расположение листьев, обеспечивающее наибольшую освещенность каждого листа? Ответ дает последовательность Фибоначчи.

Продолжив исследования, Тьюринг совершил свое самое знаменитое открытие в этой области – он создал математическую модель «реакция – диффузия». Свои идеи ученый изложил в статье «химическая основа морфогенеза», опубликованной в престижном научном журнале Лондонского королевского общества в 1952 году. Тьюринг был математиком, а не биологом, поэтому он попытался объяснить интересовавшее его явление с помощью дифференциальных уравнений. Он задался вопросом: каким образом в однородной ткани клеток, в зачаточном состоянии очень похожих друг на друга, например, клеток кожи позвоночных, образуются полоски или пятна? С биологической точки зрения эти полоски или пятна – проявление различий между пигментными и непигментными клетками. Как следствие, полоски на шкуре зебры будут результатом нарушения изначального единообразия зародышевых клеток кожи.

---